资源简介

10.2 排列、组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
2.排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
3.排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
一、 排列问题
【典例1】现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【答案】C
【解析】共有种不同的选派方案，故选：C.
【典例2】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排即可，则不同的排法共有，故选：B．
【典例3】某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【答案】D
【解析】根据题意，在3首合唱歌曲中任选1首，安排在最后，有3种安排方法，在其他6首歌曲中任选3首，作为前3首歌曲，有种安排方法，则有种不同的安排方法，故选：D．
【典例4】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
【答案】C
【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个），
故选：C．
【典例5】一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单.
（1）3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示）
（2）2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示）
【答案】（1）36（2）72
【解析】解：（1）将三个相声节目看成一个整体，总共三个节目排列：（种）；
（2）先将相声节目排好，然后再将唱歌节目插入其中的空中：（种）；
1、现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【解析】因为三本书编号为1，2，3，且每个人只能领取一本书，所以所有领书方案的情况总数为，故选：C.
2、北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰 花样滑冰 冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ）
A．10 B．27 C．36 D．60
【答案】D
【解析】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目，不同的安排方法有（种），故选：D.
3、“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】B
【解析】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，且领取的礼品种类都不相同的方法种数为，故选：B．
4、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ．
【答案】2880
【解析】先把4名女生捆绑在一起，看成一个整体，有种，再把这个整体与另外4名男生进行排列，有种，故不同的排法种数有种，故答案为：.
5、用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】若个位数是，则有个；若个位数不是，则有个，则共有个，故选：B．
二 、组合问题
【典例1】北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答）
【答案】30
【解析】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种；若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种；
综上可得一共有种，故答案为：.
【典例2】某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【解析】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程，从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理，不同的选修方案有种，故选：B.
【典例3】为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ）．
A．12种 B．14种 C．16种 D．32种
【答案】C
【解析】根据题意，分2种情况讨论：①选出的宣讲员中有3名女宣讲员，有种选法；②选出的宣讲员中有2名女宣讲员和1名男宣讲员，有种选法；则一共有1+15＝16种选法，故选：C．
【典例4】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 .
【答案】
【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C12 C34+C22 C24=2×4+1×6=14；
法二：从4男2女中选4人共有C46种选法，4名都是男生的选法有C44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C46-C44=15-1=14．
故答案为：14.
【典例5】班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.
（1）每个小组的代表队有多少种选法？
（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？
【答案】（1）495；（2）1980.
【解析】解：（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有种选法.
（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有种选法；再选出3名队员，有种选法，故共有选法.
1、某地区为了组建抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是 ．
【答案】
【解析】从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，可分为两类：第一类：1名医生2名护士，共有种不同的选法；第二类：2名医生1名护士，共有种不同的选法，由分类计数原理可得，共有种不同的选法，故答案为：.
2、某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【解析】方法数有：种，故选：B．
3、第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
【答案】A
【解析】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：
第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种.
第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案.
故选：A.
4、从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 .
【答案】20
【解析】先从6个数中任意取三个数，有种选法，再把三个数里最大的数排列在个位，有1种排法，把最小的排在百位，有1种排法，剩下的排在十位，有1种排法，共有种方法，故答案为：20.
5、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆，故不同的安排方法共有种，故选：C．10.2 排列、组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从个不同元素中取出（）个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合
2.排列数与组合数
（1）排列数：
从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示
（2）组合数：
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示
3.排列数、组合数的公式及性质
（1）
（2）
（3）
（4）；
一、 排列问题
【典例1】现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【典例2】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（ ）
A．24种 B．6种 C．4种 D．12种
【典例3】某学校社团为举办庆祝中国共产党成立102周年革命歌曲展演．现从《歌唱祖国》《英雄赞歌》《南泥湾》《没有共产党就没有新中国》4首独唱歌曲和《保卫黄河》《唱支山歌给党听》《我和我的祖国》3首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【典例4】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
【典例5】一场小型晚会有2个唱歌节目和3个相声节目，要求排出一个节目单.
（1）3个相声节目要排在一起，有多少种排法？（结果用数值表示）
（2）2个唱歌节目不相邻，有多少种排法？（结果用数值表示）
1、现有甲、乙、丙三个人来领取编号为1，2，3的三本书，每个人只能领取一本书，则所有领书方案的情况总数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
2、北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰 花样滑冰 冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（ ）
A．10 B．27 C．36 D．60
3、“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
4、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为 ．
5、用0，1，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二 、组合问题
【典例1】北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答）
【典例2】某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【典例3】为了宣讲新型冠状病毒肺炎的正确预防措施，某社区拟从5名男志愿宣讲员和3名女志愿宣讲员中任选3人，参加本社区的宣讲服务，则选中的3人中至少有2名女宣讲员的选法共有（ ）．
A．12种 B．14种 C．16种 D．32种
【典例4】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 .
【典例5】班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛.
（1）每个小组的代表队有多少种选法？
（2）如果每支代表队还必须指定1名队长，那么每个小组的代表队有多少种选法？
1、某地区为了组建抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是 ．
2、某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
3、第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
4、从2，3，4，5，6，7任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为 .
5、6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种

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