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2024沪科版数学八年级下学期
第19章　四边形
专项素养综合全练(六)
与平行四边形有关的计算与证明
类型一　求线段长
1.(2023北京大兴二模)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,延长DC到点E,使CE=CD,过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F,连接AE,DF.
(1)求证:四边形ADFE是平行四边形;
(2)过点E作EG⊥DF于点G,若BD=2,AE=5,求EG的长.
类型二　求证线段相等
2.如图,在平行四边形ABCD中,E是BC边上一点,连接AE、AC、ED,AC与ED交于点O,AE=AB.
求证:(1)AC=DE;
(2)OE=OC.
3.如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥BC交AB于点E,EF交BC于点F,且∠C=∠BFE.
(1)证明:四边形CDEF为平行四边形;
(2)求证:BE=CF.
类型三　求角度数
4.(2023安徽六安舒城模拟)如图,在 ABCD中,E是BC上一点,连接AE、BD,AE、BD相交于点F,且∠EAD=∠CDA,∠C=110°.
(1)求∠EAD的度数;
(2)当AF⊥BD时,求∠ABD的度数.
5.如图,四边形ABCD为平行四边形,E为AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延长,使CG=CE,连接FG,取点H为FG的中点,连接DH、AF.
(1)求证:四边形AFHD为平行四边形;
(2)若CB=CE,∠BAE=80°,∠DCE=30°,求∠CBE的度数.
类型四　求证角相等
6.(2023安徽黄山月考)如图,△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF与AC相交于点G,且∠BDA+∠CEG=180°.
(1)求证:AD∥EF.
(2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C,则∠F与∠H相等吗 请说明理由.
类型五　求证两个三角形全等
7.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别是边AD,BC的中点,分别连接CE,AF交对角线BD于点G,H,连接EH,FG.
(1)求证:△ABF≌△CDE;
(2)求证:四边形EHFG是平行四边形.
类型六　求面积
8.如图,E,F是 ABCD的对角线AC上两点,DF∥BE.
(1)求证:四边形DEBF为平行四边形;
(2)若AC=8,AB=6,∠CAB=30°,求平行四边形ABCD的面积.
第19章　四边形
19.2　平行四边形
专项素养综合全练(六)
答案全解全析
与平行四边形有关的计算与证明
1.解析　(1)证明:∵EF∥AD,∴∠FEC=∠ADC.
又∵CE=CD,∠FCE=∠ACD,
∴△FCE≌△ACD(ASA),∴EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)如图,
由(1)可知,四边形ADFE是平行四边形,
∴DF=AE=5.
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴CD=BD=2,∴CE=CD=2,∴DE=2CD=4.
∵EF∥AD,∴EF⊥BC,∴∠DEF=90°,
∴EF===3.
∵EG⊥DF,∴S△DEF=DF·EG=DE·EF,
∴EG===.
2.证明　(1)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,∴∠B+∠BCD=180°.
∵AB=AE,∴AE=CD,∠B=∠AEB.
∵∠AEB+∠AEC=180°,∴∠AEC=∠BCD.
又∵EC=CE,∴△AEC≌△DCE(SAS),∴AC=DE.
(2)由(1)得△AEC≌△DCE,
∴∠OEC=∠OCE,∴OE=OC.
3.证明　(1)∵∠C=∠BFE,∴EF∥AC.
∵ED∥BC,∴四边形CDEF是平行四边形.
(2)∵四边形CDEF是平行四边形,∴DE=CF.
∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC.
∵ED∥BC,∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EBD=∠EDB,∴BE=ED,∴BE=CF.
4.解析　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠C+∠ADC=180°.
∵∠C=110°,∴∠ADC=180°-∠C=70°,
∴∠EAD=∠CDA=70°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠C=110°,
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=110°-70°=40°.
∵AF⊥BD,∴∠AFB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAF=50°.
5.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵BF=BE,CG=CE,∴BC是△EFG的中位线,
∴BC∥FG,BC=FG.
∵H为FG的中点,∴FH=FG,
∴BC∥FH,BC=FH,∴AD∥FH,AD=FH,
∴四边形AFHD是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠BAE=80°.
∵∠DCE=30°,∴∠BCE=80°-30°=50°.
∵CB=CE,
∴∠CBE=∠CEB=×(180°-50°)=65°.
6.解析　(1)证明:∵∠BDA+∠CEG=180°,∠BEG+∠CEG=180°,∴∠BDA=∠BEG,∴AD∥EF.
(2)∠F=∠H.理由如下:
∵∠EDH=∠C,∴AC∥DH.
又∵AD∥EF,
∴四边形ADHG是平行四边形,∴∠DAG=∠H.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAG.
∵AD∥EF,∴∠F=∠BAD=∠DAG,∴∠F=∠H.
7.证明　(1)∵点E,F分别是边AD,BC的中点,
∴DE=AE=AD,BF=CF=CB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AB=CD,∠ABF=∠CDE,∴DE=BF.
在△ABF和△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS).
(2)∵BC∥AD,∴∠FBH=∠EDG.
∵△ABF≌△CDE,∴∠BFH=∠DEG,BF=DE.
在△BFH和△DEG中,
∴△BFH≌△DEG(ASA),∴FH=EG.
∵AD=BC,∴CF=AE,
∵CF∥AE,∴四边形AECF是平行四边形,
∴AF∥CE,∴FH∥EG,∴四边形EHFG是平行四边形.
8.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB,∴∠DCF=∠BAE.
∵DF∥BE,∴∠CFD=∠AEB.
在△CFD和△AEB中,
∴△CFD≌△AEB(AAS),∴DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形.
(2)如图,作CG⊥AB交AB的延长线于点G,则∠G=90°,
∵∠CAB=30°,AC=8,∴CG=AC=×8=4,
∵AB=6,∴S平行四边形ABCD=AB·CG=6×4=24.
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