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期末重难点模拟练习卷（一）2023-2024学年数学八年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第___________块去，这利用了三角形全等中的___________原理（　　）
A．1；SAS B．2；AAS C．3；SSS D．4；ASA
3．点关于x轴对称的点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知分式（，均为正数），若分式中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来3倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的
6．如图，在中，于点D，于点E、AD、CE交于点F，已知，则CF=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图所示，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的面积为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．计算的结果是 ．
10．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D．请添加一个条件 ，使△ABF≌△DCE
11．若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是 ．
12．已知关于x的分式方程
（1）若此方程无解，则m的值为 ；
（2）若此方程的解为正数，则m的取值范围为 ．
13．如图， ．
14．如图，在中，是边上的一点，，是边的中点．设，，的面积分别为，，，且，则 ．
15．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是 （填序号）．
16．如图，中，，，是边上的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题
17．先化简，再求值
，其中，满足代数式：
18．如图，AB=DF，AC=DE，BE=CF．求证：∠A=∠D．
19．已知：如图，O是内一点，且OB、OC分别平分、．
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，利用第（2）题的结论求．
20．图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
(1)求证：△PMN是等边三角形；
(2)若AB＝12cm，求CM的长．
21．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．
“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，求的值；
(3)的三边a，b，c满足，判断的形状并说明理由．
22．杭州丝绸历史悠久，质地轻软，色彩绮丽，早在汉代，就已通过“丝绸之路”远销国外．小汪在网上开设杭州丝绸专卖店，专卖丝巾、旗袍等，发现一张进货单上的一个信息是：款丝巾的进货单价比款丝巾多40元，花960元购进款丝巾的数量与花720元购进款丝巾的数量相同．
(1)问，款丝巾的进货单价分别是多少元？
(2)小汪在销售单上记录了两天的数据，如下表所示：
日期 款丝巾（条） 款丝巾（条） 销售总额（元）
12月10日 4 6 2160
12月11日 6 8 3040
问：两款丝巾的销售单价分别是多少？
(3)根据（1）（2）所给的信息，小汪要花费1400元购进，两款丝巾若干条，问：有哪几种进货方案？根据计算说明哪种进货方案的总利润最高．
23．【问题提出】
（1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立．
小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．根据多边形的内角和公式及外角的特征转化为方程的问题来解决．
【详解】解：多边形的外角和是，根据题意得：
解得．
故选：C．
2．D
【分析】根据全等三角形的判断方法解答．
【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃．
故答案为：4；ASA．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
4．C
【分析】根据多项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公进行计算可得出答案．
【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题的关键．
5．B
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
∴分式的值缩小为原来的，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．
6．C
【分析】先利用同角的余角相等得到，然后再证明，利用三角形全等的性质，从而得解．
【详解】解：，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
故选C．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，熟练运用同角的余角相等、三角形全等的判定与性质是解此题的关键．
7．C
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解．
【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
8．B
【分析】根据剩余部分面积等于长方形的面积即可求．
【详解】解：根据题意得剩余部分面积为：
则长方形的面积为
故选：B．
【点睛】本题考查了图形剪拼问题中的列代数式，关键明确剩余部分面积等于长方形面积．
9．
【分析】利用分式的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式的乘除，掌握分式的乘除法运算法则是解题的关键．
10．∠B＝∠C(答案不唯一)
【分析】求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
添加∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
11．
【分析】利用因式分解得到，利用非负性，求出的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
设：，
∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴边上高，
∴当时，的面积最大，最大值为；
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
12． -6 m＜－2且m≠－6
【分析】（1）先将分式方程化为整式方程，再求．
（2）先表示分式方程的解，再求范围．
【详解】（1）原方程两边同乘得：．
．
方程无解，
，
．
．
．
故答案为：．
（2）由（1）知：．
．
方程的解为正数．
．
．
，
．
．
且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键．
13．720°/720度
【分析】连接DH，利用三角形外角性质得∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解．
【详解】解：如图，连接DH，
∵∠1=∠A+∠F，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B+∠C=360°
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C=360°，
∵∠4+∠6+∠E+∠G=360°，
∴∠A+∠F+∠3+∠5+∠B+∠C +∠4+∠6+∠E+∠G=720°，
∵∠3+∠4=∠BHG，∠5+∠6=∠ADE，
∴∠A+∠F+∠B+∠C+∠E+∠G+∠BHG+∠ADE=720°，
故答案为：720°．
【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键．
14．6
【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形面积比等于底边的比，则然后利用即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵点是的中点，
∴
∴
即
∴
故答案为6．
【点睛】本题考查了三角形面积：三角形面积等于底边长与高线乘积的一半，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
15．①②③
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD， 故①②正确；
由三角形的内角和定理得： ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC=∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=α， ，故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
△AOC≌△BOD，
∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO=∠DMO， 假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM， 即∠AOM=∠DOM，
在△AMO与△DMO中， ，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA=OD， ∵OC=OD，
∴OA=OC， 而OA＜OC，故④错误； 正确的个数有3个；
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．
16．
【分析】要求CF+EF的最小值，需考虑通过作辅助线转BE的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：∵AB=AC，AD是BC边的中线.
∴AD垂直平分BC，
∴点C与点B关于AD对称，
连接BE⊥AC于E，交AD于F．则此时，BF+EF的值最小，且等于CE的长，
∵D为BC的中点，BC=12，
∴CD=BC=×16=8，
∴，
∵．
∴
∴CF+EF的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
17．，
【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．
18．见解析
【分析】由BE与CF相等，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DFE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
【详解】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠A=∠D．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】证明∠BOC＝90°＋ ∠A，（1）（2）（3）利用这个公式计算即可解决问题；
【详解】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2＝∠ABC，∠3＝∠4＝∠ACB，
∵∠BOC＝180° （∠2＋∠4），
∴∠BOC＝180° （∠ABC＋∠ACB）＝180° （180° ∠A）＝90°＋∠A．
（1）∵∠A＝48°，
∴∠BOC＝90°＋×48°＝114°．
（2）∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝90°＋n°，
∴.
（3）∵∠BOC＝130°，
∴130°＝90°＋∠A，
∴∠A＝80°．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠BOC＝90°＋∠A．
20．(1)见解析
(2)4cm
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可证得是等边三角形；
（2）易证得，得出，，从而求得cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得PB的长，进而得出CM的长．
【详解】（1）证明：∵是正三角形，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
（2）解：∵是等边三角形，是正三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
在和中，
∴，
同理可得
∴，
∴，，
∴cm，
∵△ABC是正三角形，
∴，
∴，
∴cm，
∴cm，
∴cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定和性质等，得出是本题的关键．
21．(1)
(2)7
(3)等腰三角形，理由见解析
【分析】（1）首先将前两项组合提取公因式，后两项组合提取公因式，然后提取新的公因式即可；
（2）首先将前两项以及后两项组合，前两项利用平方差公式分解因式，后两项提取公因式法分解因式，再提取新的公因式即可；
（3）先将原式变形为，前三项利用完全平方公式分解因式，后两项提取公因式，得到，再提取一次公因式即可判断．
【详解】（1）解：
；
（2）
，
，，
原式；
（3）是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，即，
是等腰三角形．
【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解是解题关键．
22．(1)款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元
(2)款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元
(3)有三种进货方案，方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条；方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条；方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条．选择方案一利润最高．
【分析】（1）设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出分式方程，求解即可获得答案；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，根据题意列出方程组并求解即可；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，根据题意可列出方程，由均为正整数，确定的值，得到进货方案，再分别求出总利润，比较即可确定答案．
【详解】（1）解：设款丝巾的进货单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴，
∴款丝巾的进货单价是160元，则款丝巾的进货单价是120元；
（2）设款丝巾的销售单价是元，则款丝巾的进货单价是元，
根据题意，可得，
解得，
∴款丝巾的销售单价是240元，则款丝巾的进货单价是200元；
（3）设购进款丝巾条，购进款丝巾条，
根据题意，可得 ，
整理，可得，
∴，
∵均为正整数，
∴；；，
即有三种进货方案：
方案一：购进款丝巾2条，购进款丝巾9条，
则利润为：元；
方案二：购进款丝巾5条，购进款丝巾5条，
则利润为：元；
方案三：购进款丝巾8条，购进款丝巾1条，
则利润为：元；
综上所述，选择方案一利润最高．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用、二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系是解题关键．
23．（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果．
（2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可．
（3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：（1）当时，，理由如下，
延长FD到点G，使，连接AG，
在和中，
在和中，
；
（2）当时，成立，
理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴（SAS），
∴；
（3）∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴，
∴，
∴AD+CD=8，
∴，
∴正方形ABCD的面积．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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