资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
长方体和正方体思维拓展（难题卷）数学六年级上册苏教版
一、选择题
1．下面图形不能围成一个长方体的是（ ）。
A． B．
C． D．
2．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（ ）。
A． B． C． D．
3．小刚要做一个无盖的玻璃鱼缸，已经准备了2块长方形玻璃，其中1块长5dm、宽3dm，1块长4dm、宽3dm，还需再配3块玻璃。下列不合适的是（ ）。
A．2块长5dm、宽4dm，一块长4dm、宽3dm
B．2块长5dm、宽4dm，一块长5dm、宽3dm
C．1块长4dm、宽3dm，1块长5dm、宽4dm，1块长5dm、宽3dm
D．1块长5dm、宽4dm，2块长5dm、宽3dm
4．把两个完全一样的长方体拼成一个新的长方体，由于拼的方法不同，表面积分别比原来减少了24平方分米、16平方分米、12平方分米，原来每个长方体的表面积是（ ）平方分米．
A．26 B．52 C．104 D．208
5．火车站为旅客提供打包服务，如果长宽高分别为a，b，c的箱子按如图的方式打包，则打包带长至少为（ ）
A．4a＋4b＋10c B．a＋2b＋3c C．2a＋4b＋6c D．6a＋8b＋6c
6．一根长4米的长方体木材，锯成相等的三段后表面积增加了24cm2，原来体积是（　　）
A．96cm3 B．1600cm3 C．24cm3 D．2400cm3
二、填空题
7．有一个上、下两个面是正方形的长方体饼干盒，量出它的两条棱长分别是6厘米和20厘米，这个饼干盒的表面积最小是( )平方厘米，体积最大是( )立方厘米。
8．用一个长和宽是36厘米，高是15厘米的长方体纸箱，来装棱长5厘米的正方体，最多能装( )个。
9．下图是用棱长1厘米的小正方体拼成的，下图中物体表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米．
10．用棱长1厘米的正方体摆长方体，像下面这样摆下去。
（1）把下表填完整。
摆小正方体的个数 1 2 3 …
摆成长方体的表面积 ( ) ( ) ( ) …
（2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是( )平方厘米。
（3）当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了( )个小正方体。
（4）当摆个小正方体时，摆成长方体的表面积是( )平方厘米。
11．一个长方体纸盒，左右两边是完全一样的正方形，已知其中一个正方形的面积是这个长方体表面积的，那么这个长方体的宽是长的( )（填分数）。
12．一个长方体，如果高减少2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来减少56平方厘米。原来长方体的体积是( )立方厘米。
三、判断题
13．把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状和体积都发生了改变。( )
14．从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少。( )
15．10立方米10立方厘米＝10.01立方米。( )
16．如果一个长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，那么表面积就扩大到原来的4倍，体积就扩大到原来的8倍。( )
17．两个体积相等的长方体和正方体，长方体的表面积比正方体的表面积大．( )
四、计算题
18．求下列立体图形的表面积与体积。
（1） （2）
五、解答题
19．如下图，一个长、宽、高分别为30厘米、16厘米、21厘米的长方体容器中水位高度是10厘米，如果将另一个长方体（长、宽、高分别为16厘米、10厘米、36厘米的铁块竖直）放入左边的容器中（贴底面齐平），那么这个容器中的水会溢出吗？如果不溢出，那么容器中水位将上升至多少高度？如果溢出，那会溢出多少立方厘米的水量？
20．下图是李师傅为小明做的一个底面为正方形，内高是20厘米的无盖玻璃容器。

（1）把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，再把一个苹果沉入容器（苹果被水全部淹没），结果水面上升了3厘米，这个苹果的体积是多少立方厘米？
（2）制作这个玻璃容器至少需要玻璃多少平方厘米？
21．如图一个长方体的玻璃鱼缸，长9分米，宽7分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一块棱长为5分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？

22．小强要用家里的一块长方形纸板做一个物品收纳盒。这块纸板长20厘米，宽16厘米，四个角减去相同的小正方形（如图所示），就能围成无盖的长方体收纳盒。
（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体收纳盒的容积是多少？
（2）减去的小正方形的边长还可以是多少厘米（长度取整厘米数）？这时围成的长方体收纳盒的表面积是多少？
（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，请你用字母公式表示出这个无盖长方体收纳盒的容积或表面积。
23．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10cm、3cm、10cm，乙容器长、宽、高分别是5cm、4cm、15cm。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。
（1）甲容器中水的体积是多少？
（2）如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？
参考答案：
1．D
【分析】观察长方体展开图，可以发现：①展开图都是由3对长方形组成的，每对长方形的大小完全相同；②长方体长、宽、高均不相等，那么其展开图，在同一行或同一列中，如有3个或4个长方形的，其中同样大小的两个长方形中间一定只隔一个其他的长方形；如果是两个长方形相连，那么这两个长方形一定不完全相同，（有两个相对的面是正方形的长方体的表面展开图例外）；③长、宽、高均不相等的长方体的表面展开图：一四一式27种；二三一式18种；二二二式6种；三三式3种，共计54种，据此解答。
【详解】根据分析可知，
选项A、B属于一四一型，是长方体的展开图；
选项C属于三三型，是长方体的展开图；
选项D不是长方体展开图的类型。
故答案为D。
2．D
【分析】观察图形可知，图中的长方体由12个小正方体组成，分为前后两排，前排的6个小正方体是由第二部分的4个小正方体和第一部分中的2个小正方体组成，第三部分和第一部分剩下的2个小正方体组成后面一排，观察图形可知，第一部分的4个小正方体分别放在前排最右边一列和后排的下层的中间和最右边，所以第三部分的4个小正方体分别在后排的上面一层（有3个）和后排下层的最左边，图形如下：。
【详解】根据分析可知，第三部分所对应的几何体应是：。
故答案为：D
【点睛】认真观察，找出各个部分所在的位置，是解答此题的关键。
3．D
【分析】一个无盖的长方体鱼缸，需要5个面来拼成。题目中已给了其中的2个面，可以根据折2个面的数据，确定其他2个面玻璃的数据。
【详解】有1块玻璃长5dm，宽3dm，还有1块玻璃长4dm，宽3dm；
由分析可得：不合适的是1块长5dm、宽4dm，2块长5dm、宽3dm。
故答案为：D
【点睛】还是要发挥空间想象能力，用大脑把几块玻璃尽可能拼成一个长方体，再把题目提供的数据对号入座，看缺少哪一块，就是所求。
4．B
【详解】【解答】解：24+16+12=52（平方分米），
答：原来每个长方体的表面积是52平方分米．
故选B．
【分析】两个长方体拼成一个大长方体后，表面积是比原来减少了原长方体的两个面：据此可以得出原长方体最大的两个面的面积是24平方分米，最小的两个面的面积是12平方分米，另外两个面的面积是16平方分米，把这几个面加起来，就是其中一个小长方体的表面积．解答此题的关键是明确增加的不同的面，正好分别是原来的小长方体的各个相对的面的面积．
5．C
【详解】【解答】解：打包带的长度：a×2+b×4+c×6=2a+4b+6c
故答案为C
【分析】与a相等的有两条，与b相等的有4条，与c相等的有6条，把这些长度相加就是打包带的长度.
6．D
【详解】4米＝400厘米，
24÷[（3﹣1）×2]×400
＝6×400
＝2400（立方厘米）
答：原来的体积2400立方厘米．
故选：D．
【点睛】我们把单位进行统一把米化成厘米，运用横截面积乘长就是这块长方体木块原来的体积．
7． 552 2400
【分析】要使饼干盒的表面积最小，那么它的长宽高要最小，即为6厘米，20厘米，6厘米，又因为上、下两个面是正方形所以长和宽相等为6厘米，根据长方体的表面积计算公式代入数值即可解答；体积最大，因为长方体体积＝长×宽×高，所以上、下两个面是正方形所以长和宽相等为20厘米，高为6厘米，代入公式即可解答。
【详解】（6×6＋20×6＋20×6）×2
＝276×2
＝552（平方厘米）
20×20×6＝2400（立方厘米）
【点睛】考查了长方体表面积及体积公式的实际应用。
8．147
【分析】根据题意分别算出长方体纸箱的长宽高里面各有多少个正方体的棱长，得数利用去尾法保留整数，防止装不下，然后算出总数即可。
【详解】长可装：
36÷5＝7（个）……1（厘米）
宽可装：
36÷5＝7（个）……1（厘米）
高可装：
15÷5＝3（个）
最多能装：
7×7×3
＝49×3
＝147（个）
【点睛】此题考查的是长方体的容积，解题时注意小正方体是不可切拼的。
9． 40 13
【解析】略
10． 6 10 14 26 12 4n＋2
【分析】根据正方体的体积公式：棱长×棱长×6，求出小正方体的表面积，即：1×1×6＝6平方厘米；根据题意，一个小正方体摆成长方体表面积是6平方厘米，可以写成：4×1＋2平方厘米；摆成2个小正方体，摆成长方体表面积是10平方厘米，可以写成：4×2＋2平方厘米；摆成3个小正方体，摆成长方体表面积可以写成：4×3＋2＝14平方厘米……；由此可以推出一般规律。
【详解】（1）根据分析可知，摆1个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×1＋2＝6（平方厘米）；
摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×2＋2＝10（平方厘米）；
摆2个小正方体，摆成的长方体的表面积是：4×3＋2＝14（平方厘米）；
（2）摆6个小正方体，摆成的长方体的表面积是：6×4＋2＝26（平方厘米）；
（3）（50－2）÷4
＝48÷4
＝12（个）
当摆成的长方体的表面积是50平方厘米时，一共摆了12个小正方体；
（4）4×n＋2＝4n＋2（平方厘米）
当摆n个小正方体时，摆成长方体的表面积是：4n＋2平方厘米。
【点睛】根据题干中已知图形的排列特点，以及数量关系，推理得出一般规律进行解答，是此类问题的关键。
11．
【分析】根据长方体的特征，长方体6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）， 当长方体有两个相对的面是正方形时，其他4个面是完全相同的长方形。本题可以逆向思考，两个完全相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积和减少了正方体的2个面的面积。也就是这个长方体的表面积相当于正方体的10个面的面积，即正方体一个底面的面积是这个长方体表面积的，由此可以推出这个长方体的长是宽（高）的2倍， 再根据求一个数是另－个数的几分之几，用除法解答。
【详解】因为两个完全相同的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积比原来两个正方体的表面积和减少了正方体的2个面的面积。也就是这个长方体的表面积相当于正方体的10个面的面积，即正方体一个底面的面积是这个长方体表面积的，由此可以推出这个长方体的长是宽（高）的2倍，所以宽是长的。
【点睛】本题采用了逆向思维的方式，两个完全相同的正方体拼成一个长方体这个长方体的长是宽（高）的2倍。
12．441
【分析】减少的表面积是一个长为底面周长，宽为2厘米的长方形，据此求出底面周长，除以4，求出长方体的长、宽，长方体的高＝长＋2厘米，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。
【详解】56÷2÷4
＝28÷4
＝7（厘米）
7×7×（7＋2）
＝7×7×9
＝441（立方厘米）
原来长方体的体积是441立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体体积和表面积的综合应用，明确表面积减少的部分包含哪些面是解题关键。
13．×
【分析】根据长方体的特征和长方体体积的计算方法，由题意知：把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。
【详解】把一块不规则的橡皮泥捏成长方体形状（均为实心），橡皮泥的形状改变了，体积没有发生改变。
故答案是：×
【点睛】能理解把不规则物体捏成长方体（均为实心），形状改变了，体积没有改变，是解决此题的关键。
14．√
【分析】画图，从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，少了一部分，体积肯定是减少的，求表面积的话，可以画出现在这个图形的三视图，三视图的面积之和是不变的，所以表面积也是不变的。
【详解】如图所示：
从长方体的一个顶点处切去一个小正方体后，它的表面积不变，体积减少，题干阐述正确。
故答案为：√
【点睛】从顶点处切，表面积不变，从棱上切，表面积增加两个小正方体的面，从面上切，表面积增加4个小正方体的面。
15．×
【分析】本题要把10立方厘米转化为立方米，是小单位变成大单位，要除以进率1000000，据此解答。
【详解】10立方厘米＝10÷1000000＝0.00001（立方米）
10＋0.00001＝10.00001（立方米）
故原题说法错误。
【点睛】明确立方厘米和立方米之间的进率是1000000，是解答此题的关键。
16．√
【分析】首先根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则长×宽、长×高、宽×高都扩大到原来的4倍，所以表面积扩大为原来的4倍；然后根据长方体的体积＝长×宽×高，如果长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍，则长×宽×高扩大到原来的8倍，所以体积扩大为原来的8倍。
【详解】可以先假设原长方体的长、宽、高分别是a、b、h，则表面积，体积。长方体的长、宽、高都扩大到原来的2倍后，分别是、、，则表面积，体积。
故判断正确。
【点睛】此题主要考查了长方体的体积、长方体的表面积的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：长方体的长、宽、高都扩大到原来的n倍，那么表面积扩大为原来的n2倍，体积扩大为原来的n3倍。
17．√
【详解】略
18．（1）324cm2；360cm3
（2）30m2；6m3
【分析】（1）根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
（2）组合图形的表面积＝正方体表面积－长方体上下面的面积＋长方体的侧面积，其中长方体上下面是2个边长为1m的正方形，长方体的侧面是4个相同的长为2m、宽为1m的长方形；根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方形的面积公式S＝a2，长方形的面积公式S＝ab；代入数据计算求解；
组合图形的体积＝正方体的体积－长方体的体积；根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。
【详解】（1）表面积：
（12×6＋12×5＋6×5）×2
＝（72＋60＋30）×2
＝162×2
＝324（cm2）
体积：
12×6×5＝360（cm3）
长方体的表面积是324cm2，体积是360cm3。
（2）表面积：
2×2×6－1×1×2＋2×1×4
＝24－2＋8
＝30（m2）
体积：
2×2×2－1×1×2
＝8－2
＝6（m3）
组合图形的表面积是30m2，体积是6m3。
19．不会溢出；15厘米
【分析】根据题意可知，长方体容器中水是一个长30厘米、宽16厘米、高10厘米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积；
放入铁块后，水面会上升，底面积由（30×16）平方厘米变成了（30×16－16×10）平方厘米，水的体积不变，根据长方体的高＝体积÷底面积，求出此时容器内水的高度；
用此时容器内水的高度与长方体容器的高度进行比较，如果小于或等于容器的高度，则水不会溢出；反之，水的高度大于容器的高度，水会溢出，进而求出溢出水的体积。
【详解】容器内水的体积：
30×16×10
＝480×10
＝4800（立方厘米）
放入铁块后水深：
4800÷（30×16－16×10）
＝4800÷（480－160）
＝4800÷320
＝15（厘米）
15＜21
答：这个容器中的水不会溢出，容器中水位将上升至15厘米。
【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，抓住水的体积不变是解题的关键，掌握放入的物体没有完全浸没时，水上升高度的求法。
20．（1）300立方厘米
（2）900平方厘米
【分析】（1）已知把1升水倒入玻璃容器，水深10厘米，先根据进率“1升＝1000立方厘米”换算单位，然后根据长方体的底面积S＝V÷h，求出这个容器的底面积；
再把一个苹果完全沉入容器，水面上升了3厘米，则水上升部分的体积等于这个苹果的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算，即可求出这个苹果的体积。
（2）已知这个容器的底面为正方形，由上一题可知容积的底面积为100平方厘米，根据正方形的面积＝边长×边长，确定容器的底面边长为10厘米；
因为这个容器是一个无盖的长方体，求制作这个玻璃容器至少需要玻璃的面积，就是求长方体的底面和4个侧面的面积之和，4个侧面都是长为20厘米、宽为10厘米的长方形，求出一个面的面积，再乘4即是4个侧面的面积之和，最后加上底面积即可。
【详解】（1）1升＝1000立方厘米
1000÷10＝100（平方厘米）
100×3＝300（立方厘米）
答：这个苹果的体积是300立方厘米。
（2）100＝10×10
所以，这个长方体容器的底面是边长为10厘米的正方形。
100＋10×20×4
＝100＋800
＝900（平方厘米）
答：制作这个玻璃容器至少需要玻璃900平方厘米。
【点睛】（1）本题考查长方体体积公式的灵活运用以及体积、容积单位的换算，把求苹果的体积转移到求水上升部分的体积是解题的关键。
（2）弄清无盖长方体容器缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。
21．87.4升
【分析】根据题意可知，把铁块放入玻璃缸中，溢出水的体积等于浸入水中铁块的体积减去玻璃缸内无水部分的体积，但正方体铁块的高为5分米，不会全部浸入水中，所以浸入水中铁块的体积实际是一个长和宽都为5分米，高为4分米的长方体，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】5×5×4－9×7×（4－3.8）
＝100－63×0.2
＝100－12.6
＝87.4（立方分米）
87.4立方分米＝87.4升
答：缸里的水溢出87.4升。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明确正方体不会全部浸入到水中，其次因为原来长方体玻璃缸有一部分空余的空间，所以溢出水的体积不完全等于浸入的正方体铁块的体积。
22．（1）300立方厘米
（2）2厘米；304平方厘米
（3）长方体收纳盒表面积：20×16－4a2，或长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a
【分析】（1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，那么这个收纳盒的长为（20－2×5）厘米，宽为（16－2×5）厘米，高为5厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，计算出结果即可；
（2）根据题意，减去的小正方形的边长必须要小于16厘米的一半，并且长度取整厘米，答案不唯一，取值符合实际；收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，代入数据正确计算即可；
（3）如果用a厘米表示要减去的小正方形的边长，那么这个收纳盒的长为（20－2a）厘米，宽为（16－2a）厘米，高为a厘米；再根据收纳盒的容积＝长×宽×高，收纳盒的表面积＝长方形的面积－4个小正方形的面积，列出算式化简即可。
【详解】（1）20－5×2
＝20－10
＝10（厘米）
16－5×2
＝16－10
＝6（厘米）
10×6×5
＝60×5
＝300（立方厘米）
答：围成的长方体收纳盒的容积是300立方厘米。
（2）16÷2＝8（厘米）
减去的小正方形的边长还可以是1cm、2cm、3cm、4cm、6cm或7cm。
例如，减去的小正方形的边长是2厘米。
20－2×2
＝20－4
＝16（厘米）
16－2×2
＝16－4
＝12（厘米）
20×16－2×2×4
＝320－16
＝304（平方厘米）
答：减去的小正方形的边长还可以是2厘米（长度取整厘米数），这时围成的长方体收纳盒的表面积是304平方厘米。
（3）长方体收纳盒容积：（20－2a）×（16－2a）×a
或长方体收纳盒表面积：20×16－4a2（写出一个即可）
【点睛】此题考查了长方体的体积、表面积以及展开图的知识，关键能够正确找出长、宽、高再解答。（写出一个即可）
23．（1）150cm3；（2）60cm3
【分析】（1）根据图意可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，进行解答即可；
（2）用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，求出容器中水面的高度，再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。
【详解】（1）10×10×3÷2
＝100×3÷2
＝150（cm3）
答：甲容器中水的体积是150cm3。
（2）150÷（10×3＋5×4）
＝150÷（30＋20）
＝150÷50
＝3（cm）
5×4×3＝60（cm3）
答：需要从甲容器中倒出60cm3的水。
【点睛】本题考查了长方体体积的实际应用，灵活运用长方体的体积公式求解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑