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第八讲 图形的放大和缩小
1、理解图形放大和缩小的含义，掌握图形放大和缩小的方法。
2、在方格图上将简单图形按一定的比放大或缩小。
3、进一步感受数学与生活的密切联系﹐发展空间观念。
1、图形的放大和缩小是生活中常见的现象。
保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变大了，叫做图形的放大；保持图形原来的形状不变，和原图相比，图形变小了，叫做图形的缩小。
2、图形的放大与缩小的意义。
把一个图形放大或缩小后得到的图形与原图形相比，形状相同，大小不同。
3、图形放大或缩小的方格。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步；
一看：看原图形每边各占几格；
二算：计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格；
三画：按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。
一、选择题
1．（2022·广东揭阳·统考小升初真题）把一个面积为12cm2的三角形按3∶1放大，放大后的三角形的面积是（ ）cm2。
A．4 B．36 C．72 D．108
2．（2023下·陕西西安·六年级校联考期中）一个平行四边形的底是4厘米，对应的高是2厘米，将这个平行四边形按放大，放大后图形的面积是（ ）平方厘米。
A．128 B．256 C．64 D．48
3．（2023下·陕西咸阳·六年级统考期中）将如图图形按1∶2的比缩小后的图形是（ ）。

A． B． C． D．
4．（2022下·六年级单元测试）把中的图形按照2∶1放大后的图形是（ ）。
A． B． C． D．
5．（2021下·四川成都·六年级校考期中）把一张长方形的照片按的比例放大后，长与宽的比（ ）。
A．不变 B．变了 C． D．
6．（2022下·广东清远·六年级统考阶段练习）一张明信片的长4厘米，宽6厘米，下面是三位小朋友画在方格纸上的明信片示意图，谁画得像？（ ）
A．依依 B．淘淘 C．壮壮 D．都不像
二、填空题
7．（2022下·广东深圳·六年级统考期末）如图，图（ ）是将图A按2∶1放大后的图形，图（ ）是将图A按1∶2缩小后的图形。
8．（2021下·山西晋城·六年级统考期中）亮亮画了一个底是2cm，高是3cm的直角三角形，按3∶1放大后，这个三角形的底是（ ）cm，高是（ ）cm，放大后三角形的面积是（ ）cm2。
9．（2023下·安徽亳州·六年级校考期中）把一个正方形按1∶4的比缩小后，周长缩小到原来的（ ），面积缩小到原来的（ ）。
10．（2023下·山西吕梁·六年级校考期中）如果把一个正方形按3∶1的比放大，放大后图形与原图形的边长比是（ ），面积比是（ ）。
11．（2023下·广东湛江·六年级校考期末）一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是（ ）平方厘米。
12．（2022下·辽宁朝阳·六年级统考期中）把边长为4cm的正方形按3∶1的比例放大，放大后的正方形边长为（ ）cm，周长是（ ） cm。
三、作图题
13．（2021下·陕西商洛·六年级统考期末）按要求画一画。
（1）将图形①按1∶3缩小。
（2）将图形②按2∶1放大。
14．（2023下·山西吕梁·六年级校联考期末）按下面的要求作图。
（1）以直线MN为对称轴作图形A的轴对称图形，得到图形B。
（2）将图形A绕点O逆时针旋转90°，得到图形C。
（3）将图形C按1∶2的比缩小，得到图形D。
四、解答题
15．（2023下·广东揭阳·六年级统考期中）把一个长方形按1∶3的比缩小，缩小后的长方形与原来的图形的面积相差64平方厘米。原来长方形的面积是多少平方厘米？
16．一张奖状长40厘米，宽30厘米，笑笑把它的平面图画在纸上，平面图的长是10厘米，宽是2厘米，笑笑画得像吗？
17．一个长方形的长是5厘米，按照4∶1放大后，面积增加了150平方厘米，原图形的宽是多少厘米？
18．（2021·陕西渭南·统考小升初真题）把中间的长方形分别按比例缩小和放大后得到了左、右两个长方形，请分别写出两个比例，并求出未知数x和y。
19．（2022下·广东揭阳·六年级统考期末）在“垃圾不落地，普宁更美丽”活动中，流沙某街道办准备增加垃圾桶的投放量。这种垃圾桶内胆是一个铁皮做的无盖圆柱，高45厘米，直径30厘米。（π取3）
（1）请你按照1∶15的比例尺为工人师傅画出内胆的展开图（焊接部分忽略不计）。
（2）做一个这样的垃圾桶内胆需要多少平方厘米铁皮？（结果保留整十厘米）
（3）这个垃圾桶的内胆的容积是多少立方厘米？
20．（2021下·陕西汉中·六年级统考期末）如图，已知点A用数对表示为（1，5），按要求填一填，画一面。
（1）点B用数对表示为（ ， ）点D用数对表示为（ ， ）。
（2）将图形①绕点C逆时针旋转90°。
（3）将图形①先向右平移4格，再向上平移3格。
（4）将图形①放大，使得放大后的图形与原图形对应线段长的比是3∶1。
参考答案
1．D
【分析】根据图形放大与缩小的意义，面积是12cm2的三角形可看作是底为6cm，高为4cm的三角形，按3∶1放大后的对应边底是18cm，高是12cm，再根据面积公式求出结果即可。
【详解】放大后的面积＝18×12÷2＝108（cm2）
故答案为：D。
【分析】熟练掌握图形方法与缩小的意义是解题的关键。
2．A
【分析】将这个平行四边形按放大，就是放大后的平行四边形的底和高是原平行四边形的底和高长度的4倍，则放大后的平行四边形的底是4×4＝16厘米，高是2×4＝8厘米，依据平行四边形面积，将数据代入即可。
【详解】（4×4）×（2×4）
＝16×8
＝128（平方厘米）
放大后图形的面积是（128）平方厘米。
故答案为：A
【分析】理解放大的意义，求得放大后平行四边形的底和高的长度是解答本题的关键。
3．C
【分析】把圆按1∶2缩小，就是将圆的半径缩小到原来的，缩小后圆的半径与原来圆的半径比是1∶2，据此按缩小后的半径画圆，据此解答。
【详解】A．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意；
B．，不是按照1∶2的比缩小后的图形，不符合题意。
C．，是按照1∶2的比缩小后的图形，符合题意；
D．，不是按照1∶2缩小后的图形，不符合题意。
将图形按1∶2的比缩小后的图形是。
故答案为：C
【分析】本题考查的目的是理解掌握图形放大、缩小的方法以及应用。
4．B
【分析】根据图形放大与缩小的特征可知，图形放大或缩小只是改变图形的大小，而不改变其形状，据此解答。
【详解】原图形的宽为1格，高2格，
按2∶1扩大后，宽应为2格，高应为4格，只有B选项符合题意。
故答案为：B
【分析】本题是考查图形的放大与缩小。使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
5．A
【分析】把长方形形按一定的比例放大，就是把长方形的长和宽扩大相同的倍数，根据比的基本性质，长与宽的比是不变的。
【详解】根据分析可知，把一张长方形的照片按10∶1的比例放大后，长与宽的比10∶1。
设原来长方形的长与宽的比是：a∶b，
放大后的比为：（a×10）∶（b×10）＝a∶b。
故答案为：A
【分析】本题考查长方形按一定的比例放大，长与宽的比是不变的。
6．B
【分析】由于贺卡的长是4厘米，宽是6厘米，它们的比是4厘米∶6厘米＝2∶3；找到方格纸上的贺卡示意图中的长和宽的比是2∶3即为所求。
【详解】A．依依画的长和宽比是1∶2，不符合题意；
B．淘淘画的长和宽比是2∶3，符合题意；
C．壮壮画的长和宽的比是2∶4＝1∶2，不符合题意。
故答案为：B
【分析】本题考查图形的放大与缩小的知识，根据比的意义进行解答。
7．D C
【分析】把一个图形按照2∶1放大，就是把这个图形的各条边按照2∶1进行放大，求出放大图形A后的长与宽，找出图形A放大后的图形；同样，把一个图形按照1∶2缩小，就是把这个图形的各条边按照1∶2进行缩小，求出缩小图形A后的长与宽，找出图形A缩小后的图形。
【详解】A图形的长是：4，宽是：2；放大后长是：4×2＝8，宽是：2×2＝4；
A图形缩小后长是：4÷2＝2，宽是：2÷2＝1。
图D是将图形A按照2∶1放大后的图形；图C是将图形A按照1∶2缩小后的图形。
【分析】本题考查图形的放大与缩小的意义，注意放大后缩小后的图形的边长：原图的对应边长＝放大或缩小的比。
8．6 9 27
【分析】把三角形按3∶1放大，三角形的每条边都扩大到原来的3倍，据此求出放大后的三角形的底和高；三角形的面积＝底×高÷2，据此把放大后的数据代入公式计算。
【详解】2×3＝6（cm），3×3＝9（cm），则按3∶1放大后，这个三角形的底是6cm，高是9cm；6×9÷2＝27（cm2），放大后三角形的面积是27cm2。
【分析】本题主要考查图形的放大与缩小。把图形按照n∶1放大，就是将图形的每一条边放大到原来的n倍。
9．
【分析】把一个正方形按1∶4的比缩小，是指边长缩小为原来的，可以假设缩小后边长为1，则原边长为4，缩小后正方形周长是原正方形周长的＝；缩小后正方形面积是原正方形面积的＝。
【详解】周长缩小到原来的，面积缩小到原来的。
【分析】此题重点考查图形缩小是指长度缩小，而面积缩小的倍数是长度缩小倍数的平方。
10．3∶1 9∶1
【分析】图形的放大或缩小是指围成图形的每条线段按比例放大或缩小。
已知一个正方形按3∶1的比放大，即正方形的边长扩大到原来的3倍；
可以设放大前正方形的边长是1，那么放大后正方形的边长是1×3＝3；
根据正方形的面积＝边长×边长，分别求出放大前后正方形的面积；
再根据比的意义分别写出放大后图形与原图形的边长比、面积比即可。
【详解】设放大前正方形的边长是1；
放大后正方形的边长是：1×3＝3
放大前正方形的面积：1×1＝1
放大后正方形的面积：3×3＝9
所以，放大后图形与原图形的边长比是3∶1，面积比是9∶1。
11．24
【分析】根据图形放大与缩小的意义，按2∶1放大后的长是3×2＝6（厘米），宽是2×2＝4（厘米），由此可求出这个图形的面积。
【详解】长是3×2＝6（厘米）
宽是2×2＝4（厘米）
6×4＝24（平方厘米）
一个长是3厘米，宽是2厘米的长方形，当这个长方形按2∶1扩大后，面积是24平方厘米。
【分析】此题主要是考查图形放大与缩小的意义，图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，面积是这个倍数的平方倍。
12．12 48
【分析】把边长为4cm的正方形按3∶1的比例放大，就是将正方形的边长扩大到原来的3倍，由此求出扩大后的边长，再代入正方形周长公式C＝4a求出周长。
【详解】3×4＝12（cm）
12×4＝48（cm）
所以把边长为4cm的正方形按3∶1的比例放大，放大后的正方形边长为12cm，周长是48cm。
【分析】本题主要考查图形的放大与缩小，求出正方形的边长是解题的关键。
13．见详解
【分析】假设每个方格的边长为1，
（1）原梯形的上底、下底、高分别是6、3、6，缩小后是2、1、2。
（2）原三角形的两条直角边是2和4，扩大后分别是4和8。
【详解】（1）（2）如图：
【分析】理解缩小与扩大的意义与方法是解决本题的关键。
14．（1）（2）（3）见详解
【分析】（1）作轴对称图形的画法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形，由此即可画出图形A的轴对称图形B。
（2）据旋转的特征，图形A绕点O逆时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形；
（3）按1∶2把图形C缩小，则缩小后的图形各边的长度是图形C的。
【详解】（1）（2）（3）如下图所示：
【分析】本题主要考查作轴对称图形、作旋转后的图形以及图形的放大和缩小，熟练掌握它们的作图方法并灵活运用。
15．72平方厘米
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，把长方形按1∶3的比缩小，那么面积会按照1∶32进行缩小，即原来的长方形的面积是缩小后长方形面积的9倍，用64÷（9－1）即可求出缩小后的面积，再乘9即可求解。
【详解】64÷（3×3－1）
＝64÷（9－1）
＝64÷8
＝8（平方厘米）
8×（3×3）
＝8×9
＝72（平方厘米）
答：原来长方形的面积是72平方厘米。
【分析】本题主要考查图形的放大和缩小以及长方形的面积公式，熟练掌握它的面积公式并灵活运用。
16．不像
【分析】根据比例尺的公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，把图形按照比例放大或缩小，才能保证奖状整体形状不变，只是大小变化，据此即可解答。
【详解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于长的图上距离和实际距离的比值与宽的图上距离和实际距离不相等。
答：笑笑画得不像。
【分析】熟练掌握比例尺的意义是解题的关键。
17．2厘米
【分析】根据题干，假设原来的宽为x，根据4∶1的比例放大后的长是5×4，宽为4x，然后根据长方形面积＝长×宽，放大后的面积减去原来的面积＝增加的面积，即可解答。
【详解】解：设原来的宽为x厘米，放大后的宽为4x厘米。
5×4×4x－5x＝150
80x－5x＝150
75x＝150
x＝2
答：原图形的宽是2厘米。
【分析】此题关键在于理解增加面积＝放大后的面积－原来的面积，用方程即可解答。
18．x∶12＝12∶18，x＝8；12∶18＝18∶y，y＝27（比例不唯一）
【分析】长方形按比例放大或缩小后，与原图形对应边的比相等，可以组成比例。据此列比例解答求出缩小后长方形的宽、放大后长方形的长。
【详解】x∶12＝12∶18（比例不唯一）
解：18x＝12×12
18x＝144
x＝8
12∶18＝18∶y（比例不唯一）
解：12y＝18×18
12y＝324
y＝27
答：可以写出比例x∶12＝12∶18和12∶18＝18∶y。x是8 cm，y是27cm。
【分析】根据图形放大或缩小的特征或意义，放大或缩小后的图形与原图形形状相同，对应边成比例。
19．（1）见详解
（2）4730平方厘米
（3）30375立方厘米
【分析】（1）按照1∶15的比例尺画图，就是把直径和高缩小到原来的，再根据圆柱展开图的特征画出即可；
（2）无盖的圆柱的表面积就是圆柱的底面积加圆柱的侧面积，根据圆的的表面积公式：底面积＋侧面积，代入数据，即可；
（3）再根据圆柱的体积公式：底面积×高，代入数据，即可解答。
【详解】（1）圆柱的底面直径：30×＝2（厘米）
底面周长：3×2＝6（厘米）
圆柱的高：45×＝3（厘米）
（2）3×（30÷2）2＋3×30×45
＝3×225＋90×45
＝675＋4050
＝4725
≈4730（平方厘米）
答：做一个这样的垃圾内胆需要4730平方厘米铁皮。
（3）3×（30÷2）2×45
＝3×225×45
＝675×45
＝30375（立方厘米）
答：这个垃圾的内胆的容积是30375立方厘米。
【分析】根据图形的放大和缩小、圆柱的表面积公式以及体积公式进行解答。
20．（1）B（3，5）；D（1，3）
（2）（3）（4）见详解
【分析】（1）根据数对的表示方法：第一个数字表示列，第二个数字表示行，由此即可解答。
（2）根据旋转的特征，图形①绕点C逆时针旋转90°，点C的位置不动，其余各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的图形。
（3）按照平移的特征，将图形①的所有点都向右平移4个，再向上平移3格，然后依次连接得到图形。
（4）按3∶1把图形①1放大，则放大后的图形各边的长度是图形①的3倍
【详解】（1）B（3，5）；D（1，3）
（2）（3）（4）如下图
【分析】本题考查的知识点比较多，要熟练掌握图形的旋转，平移的画法以及图形的放大和用数对表示位置的方法并灵活运用。

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