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第四讲 圆锥的体积
1、结合具体情境了解圆锥的体积的意义，经历探索圆锥的体积的计算方法的过程。
2、采用“类比猜想——验证说明”的方式来探索圆锥的体积计算公式，能准确地掌握圆锥的体积计算方法，会正确计算圆锥的体积，并能解决一些简单的实际问题。
3、在活动中增强动手操作、观察、分析的能力，发展空间观念，体验探索的乐趣。
1、意义：圆锥形物体所占空间的大小叫作圆锥的体积。
2、圆锥的体积公式。
一个圆锥和一个圆柱的底面积和高都相等，将圆锥形容器装满沙子，再倒入圆柱形容器，3次可以倒满。所以说圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的。
圆锥的体积=圆柱的体积×
用字母表示为V=Sh
V=πr2h×
3、求圆锥体积时，方法如下：
（1）如果题中给出底面积和高这两个条件，可以直接运用V=Sh这一公式。
（2）如果题中给出底面半径和高这两个条件，可以运用V=πr2h这一公式。
（3）如果题中给出底面直径和高这两个条件，可以运用V=π（）2h这一公式。
一、选择题
1．如图，圆锥体积是圆柱（ ）体积的。

A．① B．② C．③ D．无法确定
2．（2021下·陕西咸阳·六年级统考期中）一个圆锥和一个圆柱底面积相等，体积的比是2∶9。如果圆锥的高是3厘米，那么圆柱的高是（ ）厘米。
A．54 B．13.5 C．9 D．4.5
3．（2022上·黑龙江大庆·六年级校考期中）把一个圆柱体削去18立方厘米，得到一个最大的圆锥体，圆锥体的体积是（ ）立方厘米。
A．9 B．18 C．27 D．36
4．（2021下·陕西西安·六年级统考期中）一个圆锥的底面周长是12.56分米，高9厘米，它的体积是（ ）立方分米。
A．113.04 B．11304 C．37.68 D．3.768
5．把一块圆柱形的钢锭熔铸成与它等底的圆锥，高将（ ）。
A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
6．（2022下·辽宁大连·六年级期末）一个圆柱和一个圆锥，它们的体积相等，高都是10厘米。如果圆柱的底面积是36平方厘米，那么圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
A．36 B．12 C．108 D．24
二、填空题
7．（2023下·陕西·六年级校考期末）在长15cm、宽10cm的长方体容器中注入一些水，将等底等高的圆柱和圆锥浸没在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圆柱的体积是( )cm3，圆锥的体积是( )cm3。
8．（2021下·陕西西安·六年级统考期中）将一个容积为15升的圆柱形塑料桶盛满水，再把一个与它等底等高的实心圆锥倒放入桶中，此时桶中还剩( )升水。
9．（2021下·安徽阜阳·六年级统考期中）把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去的体积是18立方分米。原来圆柱的体积是( )立方分米，削成的圆锥的体积是( )立方分米。
10．（2023下·山西吕梁·六年级校考期中）一个圆柱的侧面展开图是一个长方形，已知圆柱的高是20厘米，底面周长是62.8厘米，那么长方形的长是( )厘米，圆柱的底面直径是( )厘米。这个圆柱的侧面积是( )平方厘米，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是( )。（得数保留一位小数）
11．（2022下·辽宁丹东·六年级统考期末）如图，绕这个直角三角形的一条直角边旋转，形成的最大的圆锥的体积是( )。
12．（2023下·陕西延安·六年级统考期末）5月30日上午，神舟十六号载人飞船成功发射，延安苹果又一次随航天员去“天宫”。小温观看了神舟十六号载人飞船发射后，打算做一个火箭模型，他把棱长8厘米的正方体橡皮泥做成了组合在一起的等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体（如图），这个圆柱体的体积是( )立方厘米，这个圆锥体的体积是( )立方厘米。
三、计算题
13．（2023上·黑龙江大庆·六年级校考期末）求体积。（单位：分米）
14．（2022下·陕西咸阳·六年级校考期中）计算下左图中图形的体积与下右图中图形的表面积。
四、解答题
15．（2021下·陕西西安·六年级统考期中）一个圆柱形容器，从里面量得底面直径是12厘米，此时水面高度是底面直径的，将一底面直径比圆柱底面直径少的圆锥形钢材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水没有溢出），圆锥形钢材的高是多少厘米？
16．（2023下·山西吕梁·六年级校考期中）笑笑的外公家今年收获的小麦堆放在一起，形状近似一个圆锥形，高是3米，底面半径是2米，如果每立方米麦子重500千克，那么这堆麦子重多少千克？
17．（2023下·辽宁大连·六年级统考期末）明明家院子里有一堆沙子，堆成了圆锥形，明明量得它的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果每立方米沙子的质量约为1500千克，这堆沙子的质量约为多少千克？
18．（2023·四川成都·统考小升初真题）测量与计算。
有一顶圆锥帐篷，底面直径约6米，高约3.6米。（取3.14）
（1）它的占地面积约是多少平方米？
（2）它内部的空间约是多少立方米？
19．（2022·陕西西安·统考小升初真题）沙漏又称沙钟，是我国古代一种计量时间的仪器，它是根据沙流从一个容器到另一个容器的数量来计算时间，如图展示了一个沙漏记录时间的情况。（单位：厘米）
（1）求出沙漏此时上部分的体积。
（2）如果再过1分，沙漏上部的沙子就可以全部被漏到下部，那么现在已经计量了多少分钟？
20．（2021下·广东深圳·六年级统考期末）一个圆锥形麦堆，量得地面周长为12.56米，高1.8米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤，刚好装满这个粮囤。
（1）这堆小麦的体积是多少立方米？
（2）量得粮囤内底面直径是2米，这个粮囤的高是多少米？
参考答案
1．A
【分析】等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，据此解答。
【详解】观察图形可知，圆锥和圆柱①等底等高，则圆锥体积是圆柱①体积的。而圆柱②和③的体积明显小于圆柱①的体积，则圆锥体积不是圆柱②和③体积的。
故答案为：A
【分析】掌握圆柱和圆锥体积的关系是解题的关键。也可以根据圆柱和圆锥的体积公式分别计算。
2．D
【分析】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是2∶9；由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是2∶3，根据圆锥高于与圆柱高的比例关系进行解答即可得到答案。
【详解】解：设圆柱和圆锥的底面积为S，圆锥高为h，圆柱的高为H。
圆锥的体积∶圆柱的体积
Sh∶SH＝2∶9
2SH＝3Sh（S一定）
h∶H＝2∶3
所以圆锥与圆柱高的比是2∶3。
圆柱的高：2∶3＝3∶H
2H＝9
2H÷2＝9÷2
H＝4.5
圆柱的高是4.5厘米。
故答案为：D
【分析】此题主要根据等底等高的圆锥的体积是圆柱的体积的这一关系，由已知圆锥和圆柱体积的比是2∶9，推导出这个圆锥与圆柱高的比是2∶3；由此解答即可。
3．A
【分析】以圆柱的底为底，圆柱的高为高的圆锥是圆柱里面最大的圆锥，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的，削去部分体积占圆柱体积的1－＝，则削去部分体积是圆锥体积的2倍，圆锥的体积＝削去部分的体积÷2，据此解答。
【详解】（1－）÷
＝÷
＝×3
＝2
18÷2＝9（立方厘米）
所以，圆锥体的体积是9立方厘米。
故答案为：A
【分析】掌握等底等高的圆柱与圆锥之间的体积关系是解答本题的关键。
4．D
【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥底面的半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，即可解答。
【详解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（分米）
9厘米＝0.9分米
3.14×22×0.9×
＝3.14×4×0.9×
＝12.56×0.9×
＝11.304×
＝3.768（立方分米）
一个圆锥的底面周长是12.56分米，高9厘米，它的体积是3.768立方分米。+
故答案为：D
【分析】熟练掌握和灵活运用圆的周长公式和圆锥的体积公式是解答本题的关键。
5．A
【分析】把一块圆柱形的钢锭熔铸成圆锥，说明体积没有变，根据圆锥的体积公式：，可推出圆锥的高：，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
设圆柱的底面积为S，高为h，则圆柱的体积为Sh。
圆锥的高为：h＝3V÷S＝3Sh÷S＝3h
3h÷h＝3
所以把一块圆柱形的钢锭熔铸成与它等底的圆锥，高将扩大到原来的3倍；
故答案为：A。
【分析】本题考查圆柱与圆锥的体积关系，明确圆锥高的求法是本题的解题关键。
6．C
【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆柱和圆锥体积相等、高也相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的3倍；据此解答。
【详解】36×3＝108（平方厘米）
圆锥的底面积是108平方厘米。
故答案为：C
【分析】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用。
7．225 75
【分析】根据题意可知，水面上升部分的体积就是圆柱和圆锥的体积和，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出圆柱和圆锥的体积和；等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，由此可知，圆柱和圆锥的体积和等于4个圆锥的体积，用圆柱和圆锥的体积和÷4，求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。
【详解】15×10×2÷4
＝150×2÷4
＝300÷4
＝75（cm3）
75×3＝225（cm3）
在长15cm、宽10cm的长方体容器中注入一些水，将等底等高的圆柱和圆锥浸没在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圆柱的体积是225cm3，圆锥的体积是75cm3。
【分析】解答本题的关键明确等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍。
8．10
【分析】根据圆柱的体积公式：底面积×高；圆锥的体积公式：底面积×高÷3，由此即可知道等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍，由于桶中放入一个与它等底等高的圆锥，那么剩下部分水的量相当于2个圆锥的容积，用圆柱的容积除以3即可求出圆锥的容积，再乘2即可求出剩下多少升水。
【详解】15÷3×2
＝5×2
＝10（升）
此时桶中还剩10升水。
【分析】本题主要考查圆柱和圆锥的体积公式，熟练掌握它们体积之间的关系是解题的关键。
9．27 9
【分析】将一个圆柱削成一个最大的圆锥，可知圆柱和圆锥是等底等高的，根据等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，削去的体积是圆锥体积的（3－1）倍，用削去的体积除以（3－1）倍可求出圆锥的体积，再乘3即可得圆柱体积。
【详解】由分析可得：
18÷（3－1）
＝18÷2
＝9（立方分米）
9×3＝27（立方分米）
综上所述：把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，削去的体积是18立方分米。原来圆柱的体积是27立方分米，削成的圆锥的体积是9立方分米。
【分析】本题考查了等底等高的圆柱和圆锥之间的体积关系，明确等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍是解题的关键。
10．62.8 20 1256 1884 6280 2093.3
【分析】将一个圆柱的侧面展开，得到一个长方形，长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；圆柱的底面直径＝周长÷π；圆柱的侧面积＝底面周长×高；圆柱的表面积＝侧面积＋底面积×2；圆柱的体积＝底面积×高；与它等底等高的圆锥的体积＝圆柱的体积×，得数保留一位小数看小数点后面第二位，然后运用“四舍五入”法即可解答。
【详解】由分析可知，长方形的长是62.8厘米，
62.8÷3.14＝20（厘米）
即圆柱的底面直径是20厘米；
62.8×20＝1256（平方厘米）
即这个圆柱的侧面积是1256cm2；
1256＋3.14×（20÷2）2×2
＝1256＋3.14×100×2
＝1256＋314×2
＝1256＋628
＝1884（平方厘米）
即圆柱的表面积是1884cm2；
3.14×（20÷2）2×20
＝3.14×100×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
即圆柱的体积是6280cm3；
6280×≈2093.3（立方厘米）
即与它等底等高的圆锥的体积是2093.3立方厘米。
11．150.72
【分析】如果以4的边为轴旋转一周，可得到一个底面半径是6，高是4的圆锥；如果以6的边为轴旋转一周，可得到一个底面半径是4，高是6的圆锥；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答，然后比较两个圆锥的体积即可。
【详解】以4的边为轴旋转一周得到的圆锥：
3.14×62×4×
＝3.14×36×4×
＝150.72
以6的边为轴旋转一周得到的圆锥：
3.14×42×6×
＝3.14×16×6×
＝100.48
150.72＞100.48
所以以4的边为轴旋转一周，得到的体积最大；是150.72。
【分析】本题主要考查了圆锥的认识以及圆锥的体积公式的应用。
12． 384 128
【分析】首先根据正方体的体积公式：V＝a3，求出这块橡皮泥的体积，因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以等底等高的圆柱与圆锥的体积和相当于圆锥体积的（3＋1）倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法求出圆锥的体积，进而求出圆柱的体积。
【详解】8×8×8÷（3＋1）
＝8×8×8÷4
＝128（立方厘米）
128×3＝384（立方厘米）
这个圆柱的体积是384立方厘米，这个圆锥的体积是128立方厘米。
【分析】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，关键是熟记公式。
13．1177.5立方分米
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。
【详解】3.14×（10÷2）2×12＋×3.14×（10÷2）2×9
＝3.14×52×12＋×3.14×52×9
＝3.14×25×12＋×3.14×25×9
＝942＋235.5
＝1177.5（立方分米）
体积是1177.5立方分米。
14．753.6立方厘米；1381.6平方厘米
【分析】根据作图可知，是由一个圆柱和一个圆锥组成，根据圆柱的体积公式：底面积×高，圆锥的体积同时：底面积×高÷3，把数代入即可求解；
第二个图的表面积：相当于下面一个圆柱的表面积加上上面圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：底面周长×高，圆柱的底面面积：S＝πr2，把数代入公式，把两个圆柱的侧面积相加，再加两个下面圆柱的底面积即可求解。
【详解】第一个：
3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（12÷2）2×5÷3
＝3.14×9×20＋3.14×36×5÷3
＝565.2＋188.4
＝753.6（立方厘米）
第二个：
3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×8＋3.14×8×10
＝3.14×100×2＋3.14×160＋3.14×80
＝628＋502.4＋251.2
＝1381.6（平方厘米）
15．12厘米
【分析】根据题意，首先求出圆柱形容器的水面高度和圆锥钢材的底面直径，圆柱形容器内放入圆锥后，上升部分水的容积等于这个圆锥的体积，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥钢材的体积，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答即可。
【详解】1215（厘米）
12
＝12
6（厘米）
3.14×（12÷2）2×（16－15）
＝3.14×62×1
＝3.14×36×1
＝113.04（立方厘米）
113.04×3÷[3.14×（6÷2）2]
＝339.12÷[3.14×9]
＝339.12÷28.26
＝12（厘米）
答：圆锥形钢材的高是12厘米。
【分析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16．6280千克
【分析】要求这堆麦子的重量，先求麦子的体积，麦堆是圆锥形，利用“圆锥的体积计算公式V＝Sh”求得体积，然后用小麦的体积乘每立方米小麦的质量即可。
【详解】
＝12.56×3×
＝37.68×
＝12.56（立方米）
12.56×500＝6280（千克）
答：这堆麦子重6280千克。
17．9420千克
【分析】根据，可推出，据此可求出圆锥的底面半径，根据，即可求出圆锥的体积，再乘1500，即可求出堆沙子的质量约为多少千克。
【详解】
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
×3.14×22×1.5×1500
＝3.14×2×1500
＝9420（千克）
答：这堆沙子的质量约为9420千克。
【分析】本题考查圆锥体积公式的灵活运用，记住公式是关键。
18．（1）28.26平方米
（2）33.912立方米
【分析】（1）半径＝直径÷2，据此求出该底面半径，根据圆的面积公式：S＝r2，将数值代入求出占地面积；
（2）根据圆锥的体积（容积）公式：V＝Sh，把数据代入求值即可。
【详解】由分析可得：
（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：它的占地面积约是28.26平方米。
（2）×28.26×3.6
＝9.42×3.6
＝33.912（立方米）
答：它内部的空间约是33.912立方米。
【分析】本题主要考查圆的面积公式和圆锥体积公式的掌握和灵活运用，解题的关键是熟记公式。
19．（1）3.14立方厘米
（2）56分钟
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝r2h，把数据代入公式解答；
（2）根据圆锥的体积公式：V＝r2h，分别求出沙漏下部整个圆锥的体积和空余小圆锥的体积，从而求出沙漏下部沙子的体积，根据题意可知，1分钟沙子漏下的体积是一定的，根据“包含”除法的意义，用现在沙漏下部沙子的体积除以1分钟漏下沙子的体积即可；据此列式解答。
【详解】（1）3.14×（2÷2）2×3÷3
＝3.14×1
＝3.14（立方厘米）
答：沙漏上部沙子的体积是3.14立方厘米。
（2）3.14×（8÷2）2×12÷3－3.14×（4÷2）2×（12－6）÷3
＝3.14×16×12÷3－3.14×4×6÷3
＝200.96－25.12
＝175.84（立方厘米）
175.84÷3.14＝56（分钟）
答：现在已经计量了56分钟。
【分析】这是一道关于圆锥应用的题目，关键是掌握圆锥的体积公式。
20．（1）7.536立方米；（2）2.4米
【分析】（1）麦堆的形状是圆锥形的，先求出麦堆的底面半径，利用半径＝底面周长÷圆周率÷2；再利用圆锥的体积计算公式V锥＝πr2h求得体积；
（2）由题意可知圆锥形麦堆的体积即是圆柱形粮囤的体积，根据圆柱的体积公式V柱＝πr2h，h＝ V柱÷πr2即可解答。
【详解】×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.8
＝×3.14×4×1.8
＝3.14×4×0.6
＝7.536（立方米）
答：这堆小麦的体积是7.536立方米。
（2）7.536÷3.14÷（2÷2）2
＝2.4÷1
＝2.4（米）
答：这个粮囤的高是2.4米。
【分析】此题考查的是圆的面积以及圆柱和圆锥的体积公式的应用；计算时注意小数点的位置。

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