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第三讲 圆柱的体积
1、通过具体情境观察，实物感知等活动，感受物体体积的大小,发展空间观念。
2、通过圆柱与长方体的“类比”,经历“猜想与验证”探索圓柱体积计算方法的过程，体会“类比”的数学思想方法。
3、掌握圆柱体积的计算方法，能正确计算圆柱的体积，能运用圆柱的体积计算方法解决简单的实际问题。
1、意义：圆柱形物体所占空间的大小叫作圆柱的体积。
2、圆柱的体积的计算公式。
圆柱的体积=底面积×高。
如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圆柱体积公式的应用。
圆柱的体积=底面积×高。
①如果已知圆柱的高和底面卓径，那么圆柱的体积计算公式是V=πr2h。
②如果已知圆柱的高和底面直径，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
③如果已知圆柱的高和底面周长，那么圆柱的体积计算公式是V=π（）2h。
4、圆柱形容器的容积。
圆柱形容器的容积=圆柱形容器内部的底面积×内部的高，当容器壁的厚度忽略不计时，容器的体积等于容积。
5、不规则物体的体积。
计算不规则物体的体积，可以借助圆柱形容器和水，给圆柱形容器里装适量的水，量出水的高度，把不规则物体放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，这时测量水的高度，上升的水的体积就是不规则物体的体积。
一、选择题
1．一个长6米的圆柱体状的木头，把它平均截成相等的三段，表面积增加了20平方分米，则这个圆柱体木头的体积是（ ）。
A．30立方米 B．300立方分米 C．600立方分米 D．60立方米
2．下面运用了“转化”思想方法的有（ ）。
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
3．（2023下·陕西汉中·六年级统考期中）一瓶装满水的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），整个瓶子容量是372.6mL。乐乐口渴了一大半后，发现正放时水的高度是6cm，倒放时无水的高度是12cm，乐乐喝了（ ）。
A．124.2mL B．248.4mL C．246.2mL D．168.4mL
4．（2021下·陕西咸阳·六年级统考期末）一个从里面测得底面半径是2分米，高是5分米的圆柱形桶中装有一些牛奶已知桶中牛奶的体积是桶容积的，那么桶中装有（ ）升牛奶。
A．47.1 B．62.8 C．43.96 D．50.24
5．（2021下·陕西榆林·六年级统考期中）一个圆柱，如果高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，体积减少，这个圆柱原来的体积是（ ）立方厘米。
A．251.2 B．125.6 C．94.2 D．62.8
6．（2023下·河南洛阳·六年级统考期末）下面运用了“转化”的思想方法的有（ ）。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2023下·山西吕梁·六年级校考阶段练习）如图所示，把一个长24cm的圆柱模型平均切成两部分后，表面积增加了( )，每个小圆柱的体积是( )。
8．（2023下·陕西汉中·六年级统考期中）一个圆柱的底面半径是2dm，把它沿底面半径切开，拼成一个与它等底等高的近似长方体，如图所示。长方体表面积比原来圆柱的表面积增加了，原来圆柱的体积是( )。
9．（2022·陕西西安·统考小升初真题）丁丁把10枚相同的纪念币摞在一起形成一个圆柱（如图），圆柱的底面直径是2厘米，高是2.5厘米。一枚纪念币的体积是( )立方厘米。
10．（2023下·山西吕梁·六年级校考期中）把一根3米长的圆柱形木头平均截成3个小圆柱，表面积增加了12.56平方分米，这根木头的体积是( )立方分米。
11．（2023下·陕西宝鸡·六年级统考期末）一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是( )cm，侧面积是( )，体积是( )。
12．（2023下·陕西·六年级校考期末）一根自来水管的内直径是2cm，齐齐出去玩，将水龙头开到最大，此时水管内水的流速是20cm/s，50秒后被另一名同学发现并关上，此时已经浪费了( )mL水。
三、计算题
13．（2024下·全国·六年级专题练习）计算下面图形的表面积和体积。
14．（2023下·安徽阜阳·六年级校考期末）求出立体图形的体积。（单位：cm）
四、解答题
15．（2023下·北京东城·六年级期末）人民大会堂壮观巍峨，建筑平面呈“山”字形，两翼略低，中部稍高，四面开门。人民大会堂正门面对天安门广场，正门门额上镶嵌着中华人民共和国国徽，正门迎面有十二根浅灰色大理石门柱，正门柱每根直径2米，高25米。建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米？
16．（2022下·四川成都·六年级统考期末）张师傅用白铁皮做了一个圆柱形无盖水桶，底面直径是6分米，高是5分米。

（1）做一个这样的水桶（提手不计）至少需要多少平方分米的白铁皮？
（2）这个水桶能装多少升的水？
17．（2023下·辽宁大连·六年级统考期末）一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径8分米，高12分米，里面装有6分米深的水。
（1）做这个水桶至少用了多少铁皮？
（2）王叔叔把一个假山石放入桶中，完全浸没在水里，结果水面上升了25厘米。这个假山石的体积是多少立方分米？合多少立方米
18．（2021下·陕西宝鸡·六年级统考期中）牙膏的出口处是直径为5毫米的圆形。思思每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，这支牙膏可用36次。该品牌牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，思思还是按照原来的习惯每次挤出1厘米长的牙膏。这支牙膏比之前的少用多少次？
19．（2023下·安徽亳州·六年级校考期中）阅读下面材料并解决问题。
水是生命之源，是人类赖以生存的物质基础。党和政府历来把安全饮水列为头等民生大事，集中人力、物力全力保障职工群众的用水需求。但是好多地方每到夏季用水高峰期，出现水压低、水量小的现象，有时候甚至无水可用，严重影响着居民日常生活。自从开展“我为群众办实事”活动以来，地方政府都积极调研。
一个山区的学校修建一个圆柱形蓄水池，水池的底面直径是8米，深是2.5米。
（1）把水池的内侧壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？
（2）这个蓄水池能容纳多少吨水？（1立方米水的质量是1吨）
20．（2022下·广东茂名·六年级统考期中）做一个无盖圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。（单位：分米）
（1）你选择的是（ ）和（ ）搭配使用。（填序号）
（2）你选择的材料制成水桶需要铁皮多少平方分米？
（3）你选择的材料制成的水桶最多能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计）
参考答案
1．B
【分析】沿着与底面平行的方向截成相等的三段，增加了4个底面积，增加的面积÷4＝圆柱的底面积，圆柱的底面积×圆柱的高＝圆柱的体积，代入数值即可解答。
【详解】20÷4＝5（平方分米）
6米＝60分米
5×60＝300（立方分米）
这个圆柱体木头的体积是300立方分米。
故答案为：B
【分析】本题主要考查了圆柱的体积、表面积、先求出圆柱的底面积是关键。
2．D
【分析】转化是数学的一种思想方法，是把新知识转化为学过的旧知识解决新问题的方法，根据分数除法的计算方法、圆周长公式的推导过程、圆面积公式的推导过程逐个进行分析得出结论。
【详解】①一个数除以分数：一个数除以分数，等于这个数乘分数的倒数，再利用分数乘法的计算法则计算，利用了转化思想；
②计算小数乘法，根据小数的基本性质，先把小数化成整数，运用了转化的思想；
③探索平行四边形的面积时，利用割补法，将平行四边形剪切成长方形，运用了转化的思想；
④求圆柱的体积，利用割补法，将圆柱沿着底面半径和高切拼成小长方体，运用了转化的思想。
①②③④都运用了转化的思想。
故答案为：D
【分析】本题是考查分数除法、小数乘法的计算方法，平行四边形面积公式的推导，圆柱的体积公式的推导，关键是利用“转化”思想解决问题。
3．B
【分析】可以设瓶子的底面积是Scm2，根据圆柱的体积公式：底面积×高，即此时水的量是：6S，空着的部分是12S，由于剩下的水的量＋空着的部分＝372.6，据此即可列方程求出底面积，用底面积乘12即可求出喝的部分。
【详解】解：设瓶子的底面积是Scm2。
6S＋12S＝372.6
18S＝372.6
S＝372.6÷18
S＝20.7
20.7×12＝248.4（cm3）
248.4cm3＝248.4mL
所以乐乐喝了248.4mL。
故答案为：B
【分析】本题主要考查圆柱的体积公式，关键是要注意瓶子中空白部分是喝的量。
4．A
【分析】根据圆柱的体积（容积）公式：V＝πr2h，用3.14×22×5即可求出桶的容积，然后把桶的容积看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用桶的容积×即可求出牛奶的体积，再把单位换算成升。
【详解】3.14×22×5×
＝3.14×4×5×
＝47.1（立方分米）
47.1立方分米＝47.1升
桶中装有47.1升牛奶。
故答案为：A
【分析】本题主要考查了圆柱的体积公式的应用以及分数乘法的应用，注意求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。
5．B
【分析】根据题干，高减少2厘米，表面积就减少25.12平方厘米，减少部分就是高2厘米的圆柱的侧面积，利用侧面积公式即可求得这个柱的底面周长，从而求得这个圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积公式求得减少部分的体积，根据减少部分的体积是原来圆柱体积的，利用分数除法计算即可求得这个圆柱原来的体积。
【详解】圆柱的底面半径为：
25.12÷2÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
减少部分的体积为：
3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝12.26×2
＝25.12（立方厘米）
原来圆柱的体积为：
25.12÷＝125.6（立方厘米）
这个圆柱原来的体积为125.6立方厘米。
故答案为：B
【分析】抓住高减少2厘米时，表面积减少25.12平方厘米，从而求得这个圆柱的底面半径是解决本题的关键。
6．C
【分析】转化思想是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为已知知识范围内已经解决或容易解决的问题方法的数学思想。据此分析即可。
【详解】观察多边形内角和的规律，总结出内角和与边的关系，运用了数形结合思想。
将圆柱的体积转化为长方体的体积，用到转化思想。
是把异分母分数转化为同分母分数，运用了“转化”思想方法。
将平行四边形的面积转化为长方形的面积，用到转化思想。
运用了“转化”的思想方法的有3个。
故答案为：C
【分析】此题考查了对“转化”思想方法的运用。
7． 56.52 339.12
【分析】根据题意可知：把圆柱模型平均切成两部分后，增加了2个截面的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，分成2部分后的圆柱的高为24÷2＝12（cm）， 把数据代入公式解答即可。
【详解】3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（）
表面积增加了56.52。
3.14×32×（24÷2）
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（）
每个小圆柱的体积是339.12。
【分析】此题解答关键是明确：把圆柱模型平均切成两部分后，增加了2个截面的面积，根据圆的面积公式和体积公式解答。
8．1.0048
【分析】根据长方体的体积公式的推导过程可知，近似长方体的表面积比圆柱体的表面积多了长方体左右两个面，这两个面是长方形，它的长和宽就是长方体的高和底面半径，所以用36除以2求出增加的一个长方形的面积，再用增加的一个长方形的面积除以底面半径（2dm）就是圆柱的高，再根据圆柱体的体积公式：，把数据代入计算即可解答。
【详解】32÷2＝16（）
2dm＝20cm
16÷20＝0.8（cm）＝0.08dm
3.14×2×2×0.08
＝12.56×0.08
＝1.0048（）
原来圆柱的体积是（1.0048）。
【分析】此题考查的目的是理解掌握圆柱体积公式的推导过程及应用。
9．0.785
【分析】根据圆柱的底面直径是2厘米，先求出半径是多少。再根据底面积＝πr2，代入数值求出底面积，再用总高度除以10，求出一枚纪念币的高度，根据圆柱体体积＝底面积×高，用一枚纪念币的高与底面积相乘，即可求出一枚纪念币的体积。
【详解】半径：2÷2＝1（厘米）
底面积：3.14×12＝3.14（平方厘米）
一枚纪念币的高：2.5÷10＝0.25（厘米）
一枚纪念币的体积：3.14×0.25＝0.785（立方厘米）
一枚纪念币的体积是0.785立方厘米。
【分析】此题考查了圆柱体积公式的掌握与运用情况，即运用“底面积×高＝体积”进行解答。
10．94.2
【分析】把一根圆柱形木头平均截成3个小圆柱，要截2次，表面积比原来增加（2×2）个横截面的面积，据此用（12.56÷4）即可求出横截面的面积，就是圆柱的底面积，再根据“圆柱的体积公式V＝sh”进行计算即可。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
3米＝30分米
12.56÷4×30
＝3.14×30
＝94.2（立方分米）
即这根木头的体积是94.2立方分米。
11． 25.12 251.2 502.4
【分析】圆柱的底面是圆形，，据此可求出圆柱的底面周长，，据此可求出圆柱的侧面积，，据此可求出圆柱的体积。
【详解】由分析可知：
＝2×3.14×4
＝25.12（cm）
＝25.12×10
＝251.2（）
＝3.14××10
＝50.24×10
＝502.4（）
所以一个圆柱的底面半径是4cm，高是10cm，它的底面周长是25.12cm，侧面积是251.2，体积是502.4。
【分析】本题考查圆柱侧面积和体积公式的灵活运用，记住公式是关键。
12．3140
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出1秒流出水的体积，然后再乘流水的时间即可。
【详解】3.14×（2÷2）2×20×50
＝3.14×1×20×50
＝62.8×50
＝3140（cm3）
3140cm3＝3140mL
一根自来水管的内直径是2cm，齐齐出去玩，将水龙头开到最大，此时水管内水的流速是20cm/s，50秒后被另一名同学发现并关上，此时已经浪费了340mL水。
【分析】此题主要考查圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
13．表面积：188.4cm2；体积：178.98 cm3
【分析】观察图形可知，该立体图形的表面积等于下方圆柱的表面积加上上方圆柱的侧面积，根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，圆柱的侧面积公式：S＝πdh，据此代入数值进行计算即可；该立体图形的体积等于下方圆柱的体积加上上方圆柱的体积，再根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算即可。
【详解】表面积：
＝
＝
＝
＝188.4（cm2）
体积：
＝
＝
＝178.98（cm3）
14．13256cm3
【分析】根据对图片的分析，该立体图形体积为下面的长方体加上上面的圆柱体的体积之和。
长方体体积公式：V＝长×宽×高，圆柱体积公式为：V＝r2h，将数据代入求解即可。
【详解】由分析可得：
长方体体积为：
40×30×10
＝1200×10
＝12000（cm3）
圆柱底面半径为：8÷2＝4（cm）
圆柱体积为：
3.14×42×25
＝3.14×16×25
＝50.24×25
＝1256（cm3）
立体图形的体积为：12000＋1256＝13256（cm3）
15．942立方米
【分析】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，据此求出1根大理石门柱所用石材的体积，再乘12即可求出建造这十二根大理石门柱共用石材多少立方米。
【详解】3.14×（2÷2）2×25×12
＝3.14×12×25×12
＝3.14×1×25×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方米）
答：建造这十二根大理石门柱共用石材942立方米。
16．（1）122.46平方分米
（2）141.3升
【分析】（1）求做一个这样的水桶至少需要多少平方分米的白铁皮，就是求圆柱的表面积。这个水桶无盖，则它的表面积＝侧面积＋底面积＝πdh＋πr2，据此解答。
（2）求这个水桶能装多少升的水，就是求圆柱的容积。圆柱的容积＝底面积×高＝πr2h，据此解答。
【详解】（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2
＝94.2＋3.14×9
＝94.2＋28.26
＝122.46（平方分米）
答：做一个这样的水桶（提手不计）至少需要122.46平方分米的白铁皮。
（2）3.14×（6÷2）2×5
＝3.14×9×5
＝141.3（立方分米）
＝141.3升
答：这个水桶能装141.3升的水。
【分析】本题考查了圆柱的表面积和容积的应用。熟练掌握圆柱的表面积和容积公式是解题的关键。
17．（1）351.68平方分米
（2）125.6立方分米；0.1256立方米
【分析】（1）要求做这个水桶至少用了多少铁皮，就是求圆柱的底面积加一个侧面积的和，，，据此代入数据计算即可；
（2）假山石的体积就相当于上升的水的体积，根据1厘米＝0.1分米，所以25厘米＝2.5分米，，据此即可求出圆柱形水柱的体积，即假山石的体积；再根据1立方分米＝0.001立方米，即可把单位立方分米换算成立方米。
【详解】（1）底面积：
＝3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（平方分米）
侧面积：
＝3.14×8×12
＝25.12×12
＝301.44（平方分米）
需要铁皮：50.24＋301.44＝351.68（平方分米）
答：做这个水桶至少用了351.68平方分米的铁皮。
（2）25厘米＝2.5分米
＝50.24×2.5
＝125.6（立方分米）
125.6立方分米＝0.1256立方米
答：这个假山石的体积是125.6立方分米，合0.1256立方米。
【分析】本题考查圆柱表面积和体积的灵活运用，注意：要看清关键词“无盖”和单位。
18．11次
【分析】由题意知，一支牙膏的容积没有变，只是原来和现在每次挤出的牙膏体积不同，因而使用的次数也就不同；可利用先求出这支牙膏的体积，再求按现在每次挤出的牙膏量能用多少次，再用原来用的次数减去现在用的次数即可。
【详解】1厘米＝10毫米
3.14×（5÷2）2×10×36÷[3.14×（6÷2）2×10]
＝3.14×62.5×36÷[3.14×90]
＝7065÷282.6
＝25（次）
36－25＝11（次）
答∶这支牙膏比之前的少用11次。
【分析】此题是考查用圆柱知识解决实际问题，求体积可运用体积公式来解答。
19．（1）113.04平方米
（2）125.6吨
【分析】（1）由于蓄水池无盖，所以抹水泥部分是这个圆柱的侧面和一个底面，根据圆柱的侧面积＝底面周长×高，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。
（2）根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出水的体积，然后用水的体积乘每立方米水的质量即可。
【详解】（1）3.14×8×2.5＋3.14×（8÷2）2
＝25.12×2.5＋3.14×16
＝62.8＋50.24
＝113.04（平方米）
答：抹水泥部分的面积是113.04平方米。
（2）3.14×（8÷2）2×2.5×1
＝3.14×16×2.5×1
＝50.24×2.5×1
＝125.6×1
＝125.6（吨）
答：这个蓄水池能容纳125.6吨水。
【分析】此题主要考查圆柱的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
20．（1）②③；
（2）75.36平方分米；
（3）62.8升
【分析】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，与之相配的是②号和③号；
（2）由于水桶无盖，使用只求这个圆柱的一个底面和侧面的总面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，圆柱的侧面积公式：S＝ch，把数据代入公式解答；
（3）求水桶的容积就是求底面周长是12.56分米，高是5分米的圆柱的体积。
【详解】（1）要做成一个无盖圆柱形水桶，长方形的长应等于底面圆的周长，
2号周长是：3.14×4＝12.56（分米）
4号周长是：
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（分米）
所以相配的是②号和③号。
（2）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：你选择的材料制成水桶需要铁皮75.36平方分米。
（3）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝3.14×20
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：你选择的材料制成的水桶最多能装水62.8升。
【分析】本题主要考查了圆柱的体积公式V＝Sh＝πr2h在实际生活中的应用。

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