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第七讲 比例尺
1、结合具体情境,体会比例尺产生的必要性,理解比例尺的意义,认识数值比例尺和线段比例尺。
2、会求一幅图的比例尺,能运用比例尺画图、求图上距离或实际距离。
3、能运用比例尺的相关知识,通过测量、绘图、计算等活动,学会解决生活中的一些实际问题,体会数学与日常生活的密切联系。
1、意义。
一副图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。
比例尺是一个比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。
2、比例尺的书写形式。
图上距离：实际距离=比例尺或=比例尺。
3、比例尺的应用。
（1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图；
（2）图上距离：实际距离=比例尺。
（3）实际距离=图上距离÷比例尺。
（4）图上距离=实际距离×比例尺。
3、比例尺的分类。
比例尺根据表现形式的不同，可分为线段比例尺和数值比例尺；根据世纪距离是缩小还是方法，还可分为缩小比例尺和放大比例尺。
一、选择题
1．（2023下·广东深圳·六年级校考期中）有一张边长为65cm的正方形图纸，要在上面画出长为120m、宽为90m的长方形菜地的平面图，你认为最合适的比例尺是（ ）。
A．200∶1 B．1∶150 C．1∶200 D．1∶20000
2．（2023下·山西吕梁·六年级校联考期末）在一张比例尺是1∶5的设计图纸上，一种机械配件的两个部分的夹角是25度，这个夹角的实际度数是（ ）度。
A．5 B．25 C．125 D．625
3．（2021下·安徽亳州·六年级统考期末）在比例尺是1∶10的图纸上，甲、乙两个圆的半径的比3∶4，甲、乙两个圆实际半径的比是（ ）。
A．3∶4 B．1∶10 C．6∶8 D．9∶16
4．甲、乙两地相距l2千米，如果用的比例尺画在图纸上，甲、乙两地间的距离应用（　　）厘米的线段表示。
A．30 B．3 C．5 D．15
5．（2023下·陕西咸阳·六年级统考期末）校园长270米，宽160米，而画校园平面图的纸只有3分米长，2分米宽，那么选择下面（ ）的比例尺比较适当。
A．1∶100000 B．1∶10000 C．1∶1000 D．1∶100
6．实验小学新建一个长方形游泳池，长50米，宽30米。选用比例尺（ ）画出的平面图最大。
A． B．1∶1500 C． D．
二、填空题
7．木兰溪被称为莆田人民的母亲河。在一幅比例尺为的莆田地图上，量得木兰溪全长是4.2厘米，木兰溪的实际长度是（ ）千米，这幅地图的数值比例尺是（ ）。
8．（2023下·广东深圳·六年级校考期中）我国“神舟六号”载人飞船着陆在内蒙古的四子王旗，在一幅比例尺为1∶5000000的地图上，量得四子王旗和北京的图上距离为9cm，则两地之间的实际距离大约是 km。
9．（2023下·江苏·六年级小升初模拟）一幅地图的比例尺是千米，在这幅地图上测得甲、乙两地相距6厘米，如果一辆汽车以每小时80千米的速度从甲地开往乙地，那么这辆汽车需要（ ）小时才能到达乙地。
10．（2023下·广东湛江·六年级校考期末）一种8毫米长的机器零件，画在比例尺是100∶1的图纸上，应画（ ）厘米。
11．华兴小学的操场长150 m，宽50 m，在一张平面图上用6厘米的线段表示操场的长，则这张平面图的比例尺是（ ），宽应画（ ）厘米。
12．（2022下·辽宁丹东·六年级统考期末）下图是游乐园的一角。

（1）跳跳床的位置是（ ）；碰碰车的位置是（ ）；跷跷板的位置是（ ）；摩天轮的位置是（ ）。
（2）如果图上每格边长是1厘米，那么上边这幅图的比例尺是（ ）。
（3）从大门出发，向东走（ ）米，再向北走（ ）米，到达摩天轮位置。
三、作图题
13．学校要建一个长80m、宽60m的长方形操场。按1∶2000的比例尺，先计算出操场长和宽的图上距离，再画出操场的平面图。
14．（2021下·陕西商洛·六年级统考期末）已知小刚家正东方向800米是电影院，电影院东偏北65°方向600米是学校，学校南偏东40°方向500米是图书馆，在图中标出电影院、学校、图书馆的位置。
四、解答题
15．（2023下·北京东城·六年级期末）“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？
16．（2023下·陕西汉中·六年级统考期中）在比例尺是1∶5000000的地图上，量得甲、乙两地相距22.05厘米，A，B两列火车同时从甲，乙两地相对开出，经过3.5小时相遇。A，B两列火车的速度分别是多少？
17．（2023下·河南洛阳·六年级统考期中）“洛阳牡丹甲天下，花开时节动京城”。2023年4月1日，洛阳牡丹文化节在洛阳盛大开幕。洛阳牡丹诚邀天下人，相聚洛阳城，共赴牡丹之约。真真和自己的家人想利用周末时间去洛阳参加牡丹盛会。他们在比例尺是1∶2500000的地图上，量得自己家到洛阳国花园的距离是3.6厘米，他们的开车速度在75千米/时，真真他们一家需要多长时间能到达国花园？
18．（2023下·辽宁大连·六年级统考期末）下面是淘气家周围的平面图。

（1）淘气家到图书馆的实际距离是800米，这幅图的比例尺是（ ）。（测量时取整厘米）
（2）超市在淘气家东偏北（ ）°方向，距淘气家（ ）米。（测量时精确到0.1厘米）
（3）体育馆在淘气家西偏南20°方向，实际距离为600米的位置，请你在图中标出体育馆的位置。
19．看图回答问题。
（1）少年宫在体育馆北偏（ ）（ ）°的方向。
（2）育英小学在体育馆的（ ）方向，距体育馆约（ ）米。
（3）新华书店在A点正北方500米处，用★标出新华书店的位置。
20．（2022下·陕西咸阳·六年级统考期中）迷人的乐园设施如下图。
（1）百宝园距开心乐园门口有300米，图上距离是（ ）厘米，这个示意图的比例尺是（ ）。
（2）若卡卡从展台出发，经过开心乐园门口，到书画乐园的实际距离是（ ）米。
（3）游乐园在展台北偏东45°，距展台实际距离为400米处，请在图中标出游乐园的位置。
参考答案
1．C
【分析】根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出长方形的长和宽的图上距离，再与65cm对比即可。
【详解】120m＝12000cm；90m＝9000cm。
A．12000×200＝2400000（cm）
比例尺是扩大比例尺，不合适；
B．12000×＝80（cm）
因为正方形图纸的边长是65cm，所以比例尺不合适；
C．12000×＝60（cm）
9000×＝45（cm）
因为正方形图纸的边长是65cm，所以比例尺合适；
D．12000×＝0.6（cm）
9000×＝0.45（cm）
画出来的图形太小，所以比例尺不合适
有一张边长为65cm的正方形图纸，要在上面画出长为120m、宽为90m的长方形菜地的平面图，你认为最合适的比例尺是1∶200。
故答案为：C
2．B
【分析】比例尺＝图上距离÷实际距离，是指长度尺寸按比例放大或缩小。
【详解】根据比例尺是1∶5的设计图纸，即图上距离是1厘米，实际距离是5厘米，是长度尺寸是按比例缩小，角的大小与边的长度无关，只与两边叉开的程度有关，
所以角的度数是不会变的，这个夹角的实际度数还是25度。
故答案为：B
【分析】此题主要考查了比例尺的意义以及角的意义。
3．A
【分析】令甲乙两圆的图上半径为3r，4r，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际圆的半径分别是30r，40r，进一步得出半径的比；据此解答。
【详解】设甲乙两圆的图上半径分别为3r，4r；则甲乙两圆的实际半径为30r，40r。
所以甲乙两个圆实际半径的比是：30r∶40r＝3∶4
故答案为：A
【分析】解答此题的关键是理解图上距离、实际距离、和比例尺的关系。
4．A
【解析】比例尺等于图上距离与实际距离的比。根据题目中给出的比例尺，实际距离×比例尺=图上距离。
【详解】12千米=1200000厘米
1200000×=30厘米
故答案为：A
【分析】本题主要考查比例尺在实际生活中的应用。易错点在于图上距离和实际距离的单位要相同，所以本题先变换单位再求值。
5．C
【分析】图上距离和实际距离已知，依据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可求得长和宽的图上距离，再与纸的长和宽相比即可进行选择。
【详解】270米＝27000厘米；160米＝16000厘米；3分米＝30厘米；2分米＝20厘米。
A．27000×＝0.27（厘米）；160×＝0.16（厘米），纸张的空余太多，不合适；
B．27000×＝2.7（厘米）；160×＝1.6（厘米），纸张的空余太多，不适合；
C．27000×＝27（厘米）；160×＝16（厘米），比较合适；
D．27000×＝270（厘米）；270＞30，不合适。
校园长270米，宽160米，而画校园平面图的纸只有3分米长，2分米宽，那么选择下面1∶1000的比例尺比较适当。
故答案为：C
【分析】解答此题的关键是先按所给比例尺求出图上距离，再联系生活实际进行选择。
6．D
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，所以比例尺越大，这个游泳池画出的平面图越大。
【详解】＞＞＞
所以，选用比例尺，画出的游泳池的平面图是最大的。
故答案为：D
【分析】本题考查了比例尺，掌握比例尺的意义是解题的关键。
7．168 1∶4000000
【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米相当于实际距离40千米，已知地图上量得木兰溪全长是4.2厘米，那么木兰溪的实际长度是（40×4.2）千米。
根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，以及进率“1千米＝100000厘米”，即可将线段比例尺改写成数值比例尺。
【详解】40×4.2＝168（千米）
1厘米∶40千米
＝1厘米∶（40×100000）厘米
＝1∶4000000
木兰溪的实际长度是168千米，这幅地图的数值比例尺是1∶4000000。
8．450
【分析】要求两地之间的实际距离大约是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。
【详解】9÷
＝9×5000000
＝45000000（cm）
45000000cm＝450km
两地之间的实际距离大约是450km。
【分析】此题考查了比例尺的实际应用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
9．3
【分析】线段比例尺表示：图上距离1厘米表示实际距离40千米，在这幅地图上测得甲、乙两地相距6厘米，则实际距离是（6×40）千米。根据时间路程速度，总距离除以80即为所求。
【详解】
（小时）
这辆汽车需要3小时才能到达乙地。
【分析】此题主要考查了比例尺的应用和时间路程速度这个公式，要熟练掌握。
10．80
【分析】这道题是已知实际距离、比例尺，求图上距离，用图上距离＝实际距离×比例尺，统一单位代入即可解决问题。
【详解】8毫米＝0.8厘米
0.8×100＝80（厘米）
一种8毫米长的机器零件，画在比例尺是100∶1的图纸上，应画80厘米。
【分析】本题考查图上距离和实际距离的换算，注意单位名数的统一。
11．1∶2500 2
12．（1）（3，2） （5，1） （2，4） （6，5）
（2）1∶10000/
（3）600 500
【分析】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此解答；
（2）根据题意可知，1厘米表示实际100米，先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出这幅图的比例尺；
（3）根据题意可知，从大门出发，向东走图上6厘米，再向北走5厘米，到达摩天轮位置。根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出图上6厘米和5厘米的实际距离。
【详解】（1）跳跳床的位置是（3，2）；碰碰车的位置是（5，1）；跷跷板的位置是（2，4）；摩天轮的位置是（6，5）。
（2）100米＝10000厘米
根据题意可知，如果图上每格边长是1厘米，那么上边这幅图的比例尺是1∶10000。
（3）6÷
＝6×10000
＝60000（厘米）
60000厘米＝600米
5÷
＝5×10000
＝50000（厘米）
50000厘米＝500米
从大门出发，向东走600米，再向北走500米，到达摩天轮位置。
【分析】本题主要考查了数对表示位置、比例尺的意义、图上距离和实际距离的换算，要熟练掌握每个知识点。
13．4厘米；3厘米
图见详解
【分析】根据图上距离＝比例尺×实际距离，求出长方形操场的长和宽在图上的长度，再画出图形。
【详解】80米＝8000厘米
60米＝6000厘米
8000×＝4（厘米）
6000×＝3（厘米）
如图：
【分析】考查了应用比例尺画图，注意单位的换算。
14．见详解
【分析】根据图上确定方向的方法：上北下南、左西右东，以小刚家为观测点，即可确定电影院的方向，以电影院为观测点，即可确定学校的方向，以学校为观测点，即可确定图书馆的方向；然后根据图上1厘米表示实际200米，分别求出800米、600米、500米的图上距离，据此进行作图。
【详解】20000厘米＝200米
比例尺1∶20000代表图上1厘米表示实际200米，
800÷200＝4（厘米）
600÷200＝3（厘米）
500÷200＝2.5（厘米）
如图：
【分析】此题主要考查依据方向（角度）和距离确定物体位置的方法。
15．6440千米
【分析】根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。
【详解】92÷
＝92×7000000
＝644000000（厘米）
644000000厘米＝6440千米
答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。
16．A火车126千米/小时；B火车189千米/小时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据求出实际距离；再根据路程和÷时间＝速度和，代入数据求出速度和；最后根据和倍问题的解题方法求出两车的速度即可。
【详解】22.05÷
＝22.05×5000000
＝110250000（厘米）
110250000厘米＝1102.5千米
1102.5÷3.5＝315（千米/小时）
315÷（1＋1.5）
＝315÷2.5
＝126（千米/小时）
126×1.5＝189（千米/小时）
答：A火车的速度是126千米/小时，B火车的速度是189千米/小时。
【分析】本题考查比例尺与路程问题、和倍问题的综合应用。
17．1.2小时
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此求出真真家到洛阳国花园的实际距离，再根据路程÷速度＝时间，据此进行计算即可。
【详解】3.6÷＝3.6×2500000＝9000000（厘米）
9000000厘米＝90千米
90÷75＝1.2（小时）
答：真真他们一家需要1.2小时能到达国花园。
18．（1）1∶40000
（2）30；880
（3）见详解
【分析】（1）图上距离与实际距离的比叫做这幅图的比例尺；先用直尺量出淘气家到图书馆的图上距离是2厘米，再根据1米＝100厘米，那么800米＝80000厘米，再算出图上距离与实际距离的最简整数比即可；
（2）观察上图并用量角器测量可知，超市在淘气家东偏北30°方向，然后测出超市与淘气家图上距离是2.2厘米，根据（1）中比例尺的意义可知，比例尺1∶40000表示图上距离1厘米相当于实际距离40000厘米，也就是实际距离是图上距离的40000倍，所以超市到淘气家实际距离就用2.2乘40000，即2.2×40000＝88000（厘米），88000厘米＝880米；
（3）由（2）可知，实际距离是图上距离的40000倍，600米＝60000厘米，所以体育馆到淘气家的图上距离就用60000除以40000，即60000÷40000＝1.5（厘米），然后再用直尺和量角器标出体育馆的位置即可。
【详解】由分析可知：
（1）如上图，量得淘气家到图书馆的图上距离是2厘米，
800米＝80000厘米，
2∶80000＝1∶40000，
所以淘气家到图书馆的实际距离是800米，这幅图的比例尺是1∶40000；（测量时取整厘米）
（2）观察上图并用量角器测量可知，超市在淘气家东偏北30°方向，超市与淘气家图上距离是2.2厘米，
2.2×40000＝88000（厘米），
88000厘米＝880米，
所以超市在淘气家东偏北30°方向，距淘气家880米；（测量时精确到0.1厘米）
（3）600米＝60000厘米
体育馆到淘气家的图上距离为：60000÷40000＝1.5（厘米）
所以体育馆在淘气家西偏南20°方向，图上距离淘气家1.5厘米处；
画图如下：

【分析】本题考查图上距离和实际距离的换算，理解比例尺的意义是关键。
19．（1）西；30；
（2）正东；600；
（3）见详解
【分析】（1）描述物体的方向时，先确定观测点，再根据“上北下南，左西右东”结合图上角度描述方向；
（2）由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离100米，育英小学在体育馆正东方向，距离体育馆约6×100＝600米；
（3）以A点为观测点，在A点正北方向500÷100＝5厘米处标出新华书店的位置，据此解答。
【详解】（1）90°－60°＝30°
由图可知，少年宫在体育馆北偏西30°的方向。
（2）6×100＝600（米）
分析可知，育英小学在体育馆的正东方向，距体育馆约600米。
（3）分析可知：
【分析】本题主要考查根据方向、角度、距离确定物体的位置，结合线段比例尺确定两地之间的距离是解答题目的关键。
20．（1）3；1∶10000
（2）700
（3）见详解
【分析】（1）首先测量出百宝园到开心乐园门口的图上距离，再根据比例尺的意义，图上距离∶实际距离＝比例尺，据此求出这幅图的比例尺。
（2）量出展台到开心乐园再到书画乐园门口的图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出卡卡从展台出发，经过开心乐园门口，到书画乐园的实际距离。
（3）首先根据图上距离＝实际距离×比例尺，求出展台到游乐园的图上距离，然后根据方向和距离确定游乐园的位置。
【详解】（1）百宝园到开心乐园门口的图上距离是3厘米；
3厘米∶300米
＝3厘米∶30000厘米
＝3∶30000
＝1∶10000
所以这个示意图的比例尺是1∶10000。
（2）展台到开心乐园门口的图上距离是2厘米；开心乐园门口到书画乐园的图上距离是5厘米；
（2＋5）÷
＝7÷
＝70000厘米
＝700（米）
（3）游乐园距展台实际距离为400米，图上距离为：
40000×＝4（厘米）
作图如下：
【分析】此题考查的目的是理解比例尺的意义，掌握比例尺的实际应用，以及利用方向和距离确定物体位置的方法及应用。

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