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第五讲 展开与折叠
1、经历长方体和正方体的展开与折叠的过程，体险长方体、正方体等图形展开与折叠之间的关系，加深对长方体和正方体的认识。
2、能正确判断长方体和正方体与展开图之间的对应关系。
3、在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
1、长方体的展开图。
长方体的展开图是由6个长方形组成的，相对面的面积相等，而且相邻面的面积一般不相等(特殊情况也有4个面的面积相等)。
2、正方体的展开图。
正方体的展开图是由6个正方形组成的，而且6个正方形的面积相等。
3、判断一个图形折叠后相对的面，可以根据长方体，正方体的特点，先确定一个面为下底面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物图折一折。
一、选择题
1．（2022下·陕西咸阳·五年级统考期中）如下图，每颗骰子上分别刻有个圆点，用于表示数字，且相对的两个面的点数之和为7，下列展开图中，有（ ）幅图能够折成这样的骰子。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021下·陕西咸阳·五年级统考期中）下图是一个长方体的展开图（单位：），则阴影部分的面积是（ ）。
A．15 B．21 C．35 D．50
3．（2023下·陕西安康·五年级校考期中）将下图沿虚线折起来，可折成一个小正方体。这个小正方体1号面的对面是（ ）号面。
A．2 B．6 C．4 D．5
4．（2023下·浙江金华·五年级统考期末）下边图形的展开图，不正确的是（ ）。

A． B．
C． D．
5．（2023下·辽宁大连·六年级统考期末）下面四个图形中，不能折叠成正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
6．（2023下·陕西榆林·五年级统考期末）如图是一个正方体的平面展开图，与汉字“塞”相对面上的汉字是（ ）。
A．榆 B．林 C．明 D．珠
二、填空题
7．（2023下·广东深圳·五年级统考期末）如图是正方形展开图，将相对面上的字母填在括号里：A与( )相对，C与( )相对。
8．（2022下·陕西汉中·五年级统考期末）下面各展开图中，可以围成长方体的是( )，可以围成正方体的是( )。
9．（2022下·黑龙江大庆·五年级统考期末）如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是( )，4的相对面是( )，5的相对面是( )。
10．一个长方体的长是7厘米，宽是5厘米，高是3厘米。说出这个长方体的底面、前面和左面的面积各是多少平方厘米？
底面的面积是( )平方厘米。
前面的面积是( )平方厘米。
左面的面积是( )平方厘米。
11．（2022下·辽宁大连·五年级校考期末）下图是一个长方体的展开图，围成长方体时，点C与点( )重合。
12．（2022下·山西吕梁·六年级统考期末）如图，将一张纸对折再对折，把对折的角剪下，纸上有一个洞，如果将一张纸对折4次，把对折的角剪下，纸上有( )个洞。（可以动手试一试哦！）
三、作图题
13．（2023下·广东深圳·五年级统考期末）如图，有一个正方体的上半部分涂上了黑色，请在展开图上涂出剩余的黑色部分。

14．（2023下·广东清远·五年级统考期中）下面是一个正方体的表面展开图的一部分，请你添上两个正方形，将图形补完整。
四、解答题
15．如图，一张硬纸板剪下4个边长4厘米的小正方形后，可以做成一个没有盖子的盒子。请你求出剪后的硬纸板的面积？
16．（2022下·四川成都·五年级统考期末）如图，将此平面图沿虚线折叠出来是一座房屋的模型。制作这座房屋模型的屋顶，至少要用去多大面积的纸板？
17．贝贝为妈妈准备了一份生日礼物（如下图）。他用下面第（ ）种尺寸的包装纸包装这个礼物盒比较合适。先画一画这个礼物盒的展开图，再选择。
18．宣纸质地柔软，经久耐用，被称为“千年寿纸”。陈师傅将宣纸裁成了如图A的形状，艺术创作后，准备加上木条制作成如图B所示的长方体灯罩，要做出这样一个灯罩，至少需要多少厘米的木条？
19．（2023下·广东清远·五年级统考期中）在下面方格图（每个小正方形边长均为1厘米）上补全这个长方体展开图的上面、右面和后面，并填空。

上图长方体的长（ ）厘米，宽（ ）厘米，高（ ）厘米。
20．熊妈妈在魔方的六个面上各贴了一个数字，分别是1，2，3，4，5，6。第一次熊宝宝看到了，第二次熊宝宝又看到了。数字1，2，3对面分别是多少？
参考答案
1．B
【分析】根据正方体的展开图可知，该展开图属于1－4－1结构，即最上面和最下面的两个面是相对的，然后中间的4个小正方形，左边数第一个和第三个相对，第二个和第四个相对，据此即可逐项分析。
【详解】，，，第一个展开图不符合题意；
，，，第二个展开图符合题意；
，，，第三个展开图符合题意；
，，，第四个展开图不符合题意。
即上列展开图中有2幅图能够折成这样的骰子。
故答案为：B
【分析】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握它的展开图的特点并灵活运用。
2．B
【分析】观察图形可知，长方体的长是7dm，宽是5dcm，高是3dm，阴影部分的长是等于长方体的长，等于7dcm，宽等于长方体的高，等于是3dm，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。
【详解】7×3＝21（dm2）
则阴影部分的面积是21dm2。
故答案为：B
【分析】解答本题的关键是根据长方体展开图的特征确定阴影部分的长和宽的长度。
3．D
【分析】将图沿虚线折起来，使它成为一个正方体，这个正方体1号面对的面是5号，2号面对的面是4号，3号面的对面是6。
【详解】由分析可得：这个小正方体1主要是号面的对面是5号面；
故答案为：D
【分析】本题是考查正方体的展开图,训练学生的观察能力和空间想象能力。
4．C
【分析】观察图形，可知这是一个特殊的长方体，有2个相对的面是正方形，有4个完全相同的长方形；沿着长方体的一些棱剪开，可以得到长方体的展开图，在展开图中，长方体相对的面完全相同；据此分析即可。
【详解】据上分析可知：A、B、D三个选项的展开图是正确的，而C选项中有4个正方形面，是不正确的。
故答案为：C
【分析】此题重点考查对长方体特征的认识和展开图的识别。
5．B
【分析】正方体的展开图类型：（1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放；
（2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便；
（3）“2—2—2”型：两两相连各错一；
（4）“3—3”型：三个两排一对齐；
不能围成正方体的展开图类型：
（1）一条线上不过四；
（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；据此解答。
【详解】由分析可知：
A.属于“2—3—1”型，能折叠成正方体；
B．不属于正方体的展开图类型，不能折叠成正方体，折叠时有重叠的面；
C．属于“2—3—1”型，能折叠成正方体；
D．属于“1—4—1”型，能折叠成正方体。
故答案为：B
【分析】本题考查正方体展开图。有11种情况，分四种类型： “1－4－1”结构、“2－2－2”结构、“3－3”结构和“2－3－1”结构。
6．C
【分析】此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，“1－4－1”型需要中间4个一连串，两边各一随便放，也就是一个的正方形需要在4个的正方形两边，不能同时出现在一边；
相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此答题即可。
【详解】由分析可得：
如图：折成正方体后，“榆”与“林”相对，“塞”与“明”相对，“上”与“珠”相对。
故答案为：C
【分析】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，掌握规律是解答本题的关键。
7．F E
【分析】据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据特征进行判断即可。
【详解】由分析可得：
该展开图中，折成正方体后，“A”和“F”相对，“B”和“D”相对，“C”和“E”相对。
综上所述：A与F相对，C与E相对。
【分析】本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。
8．⑥ ①⑤
【分析】根据正方形展开图的特征、长方形展开图的特征进行解答。
【详解】①符合正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体；
②不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体；
③围成几何体时，相交的棱长不相等，不符合长方体展开图的特征，不能围成长方体；
④不符合正方体展开图的特征，不能围成正方体；
⑤符合正方体展开图的“2－2－2”型，能围成正方体；
⑥符合长方体展开图的“1－4－1”型，能围成长方体。
⑥能围成长方体；①⑤能围成正方体。
【分析】利用长方体展开图和正方体展开图的特征进行解答，关键是熟记展开图的特征。
9．6 1 2
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方形展开图的“2－2－2”型，并且根据正方体展开图的相对面辨别方法：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面，据此判断即可。
【详解】由分析可得：
通过对展开图的观察，1和4在对面，3和6在对面，剩下的2和5在对面。
综上所述：如下图，正方体的展开图上有编号，请你写出相对面的号码：3的相对面是6，4的相对面是1，5的相对面是2。
【分析】本题考查了正方体展开图的特征，总共分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并且记住规律。
10．35 21 15
【分析】根据题意可知，底面面积＝长×宽，前面面积＝长×高，左面面积＝宽×高，以此解答。
【详解】底面的面积：7×5＝35（平方厘米）
前面的面积：3×7＝21（平方厘米）
左面的面积：3×5＝15（平方厘米）
【分析】此题主要考查学生对长方体表面积的理解与应用。
11．D
【分析】由图可知，此题属于长方体展开图中的“1-4-1”型，折叠成长方体后，点C与点D重合，据此选择。
【详解】由分析可知，围成长方体时，点C与点D重合。
【分析】本题主要考查长方体的展开图。
12．4
【分析】对折1次纸分成21份，4次以后，纸被分成24；在角上剪一刀，纸上洞的个数为24－2＝22个，依此即可求解。
【详解】由分析可知，如果将一张纸对折4次，把对折的角剪下，纸上有24－2＝22＝4个洞
【分析】此题考查了剪纸问题，解题的关键是让学生亲自动手操作，培养学生的动手能力和空间想象能力。
13．见详解
【分析】此正方体展开图属于“1-4-1”型，折成正方体后，1号面与6号面相对，2号面与4号面相对，3号面与5号面相对，其中4号面涂色，进而推出，与4号面相邻的4个面是1号、3号、5号、6号。根据左边的正方体涂色部分可知，1号左部边涂色，3号面右部涂色，5号面左部涂色，6号面下部涂色。
【详解】如图：

【分析】解答此题的关键是弄清右边的展开图折成正方体后哪些面相对，进而推出哪些面相邻。
14．见详解（答案不唯一）
【分析】正方体展开图一共有11种。
（1）“1－4－1”型： 中间4个一连串，两边各一随便放。
（2）“2－3－1”型： 二三紧连错一个，三一相连一随便。
（3）“2－2－2”型：两两相连各错一。
（4）“3－3”型：三个两排一对齐。
据此解答。
【详解】根据正方体展开图的特点，可作图如下：
【分析】掌握正方体11种展开图的特点是解题的关键。
15．456平方厘米
【分析】由题意可知，剪后的硬纸板的面积＝原长方形面积－4×小正方形面积，将数值代入长方形面积计算公式求值即可。
【详解】26×20－4×4×4
＝520－64
＝456（cm2）
答：剪后的硬纸板的面积是456平方厘米。
【分析】此题主要考查了学生动手操作的能力，在计算不规则图形的面积时，一般都会把它转化成几个规则图形的面积之和或差，再利用规则图形的面积公式进行解答。
16．32平方厘米
【分析】先将平面图折叠成立体图，判断出房屋模型中的屋顶面是哪个面，然后根据屋顶面形状，求出它的大小。在此模型中，屋顶面是由两个长方形面组成，所以运用长方形面积计算公式计算即可。
【详解】由分析可知：屋顶是由两个长为8厘米，宽为2厘米的长方形组成的。
8×2×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：至少要用去32平方厘米的纸板。
【分析】本题主要考查对图形的展开与折叠灵活运用。
17．①；
【分析】先画出长方体礼盒展开图，分别计算出长＋高×2，宽＋高×2，与①号和②号长方形的长和宽进行比较即可。
【详解】作图如下：
21＋13×2＝21＋26＝47（厘米）
15＋13×2＝15＋26＝41（厘米）
60＞47，50＞41；②70＞47，40＜41
所以用第①中尺寸的包装纸比较合适。
【分析】本题考查了长方体的展开图，长方体有6个面，相对的面完全一样。
18．280厘米
【分析】根据题意可知，灯罩的长36厘米、宽12厘米、高22厘米，根据长方体的棱长和公式：长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据解答，即可求出至少需要多少厘米的木条。
【详解】（36＋22＋12）×4
＝70×4
＝280（厘米）
答：至少需要280厘米的木条。
【分析】本题主要考查了长方体棱长和公式的灵活应用，要熟练掌握公式。
19．画图见详解；5；4；2
【分析】根据长方体的特征，长方体的上面和下面完全相同，左面和右面完全相同，前面和后面完全相同，据此画图即可；由上图可数出长方体的长为5格，即5厘米，宽为4格，即4厘米，高为2格，即2厘米。
【详解】如下如：

长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。
【分析】本题考查长方体的特征以及长方体的展开图，学生需熟练掌握长方体的基本特征。
20．见详解
【分析】从两次的图形中可以得知：3是和1、2、4、6相邻，所以3的对面就是5；由第二次看到的图形可以得知2与1、3、5、6相邻，据此可推出2的对面是4，进而推出1的对面是6。据此解答。
【详解】根据分析可得，以3为中心的展开图如下：
答：数字1的对面是数字6；数字2的对面是数字4；数字3的对面是数字5。
【分析】本题的关键是明确数字6是靠着数字2的。

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