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第七讲 露在外面的面
1、在操作、观察、分析等活动中，经历求正方体搭成的组合体的表面积的探索过程，获得求物体露在外面的面积的计算方法。
2、掌握求物体露在外面的面积的计算方法，会解决有关的实际问题，进一步发展空间观念。
3、经历探索规律的过程，激发主动探索的欲望。
1、数露在外面的面的方法：逐一观察每一个小正方体，把它们露出来的面的数量分别数出来，然后相加。
2、数堆放在一起的正方体露在外面的面的个时，先观察小正方体的摆放特点，再从中找出正方体的个数与露在外面的面的个数间存在的规律。
3、计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积的方法：先数露在外面的面的总个数，再用1个面的面积乘露在外面的面的总个数。
一、选择题
1．（2022下·浙江丽水·五年级校联考期末）把5个棱长为1dm的正方体摆在桌面上（如下图4种摆法），露在外面的面积最大的是（ ）。
A．① B．② C．③ D．④
2．（2022下·陕西咸阳·五年级统考期中）5个棱长都是5cm的小方块堆放在墙角处（如图），露在外面的面积（ ）cm2。
A．270 B．260 C．250 D．240
3．（2023下·广东深圳·五年级校考期中）张华想将四个完全相同的小正方体纸箱堆放在墙角，（ ）露在外面的面积最小。
A． B． C． D．
4．（2022下·辽宁大连·五年级校考期末）按下图方式，将小正方体摆在地面上，这样摆100个，有（ ）个小正方形的面露在外面。
A．202 B．302 C．402 D．502
5．（2022下·广东深圳·五年级统考期末）放在桌面上的两个由棱长5厘米的小正方体拼成的立体图形，比较两个图形露在外面的面积，（ ）。

A．图甲大 B．图乙大 C．一样大 D．无法判断
6．（2023下·广东清远·五年级期末）3个小正方体并排摆在空地上，露在外面的面有（ ）。
A．3个 B．9个 C．11个 D．14个
二、填空题
7．（2023下·广东揭阳·五年级统考期末）下图中，3个棱长为acm正方体摆放在桌面上，露在外面的面积是( )cm2。

8．（2023下·陕西宝鸡·五年级统考期末）淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有( )个面露在外面。
9．（2023下·陕西榆林·五年级统考期末）将6个棱长为2cm的小正方体按如图所示的方式堆放在墙角处，则露在外面的面积是( )cm2。
10．（2022下·广东茂名·五年级统考期中）在墙角摆成下图形状，用棱长1分米的小正方体摆成下图形状，它的体积是( )立方分米，露在外面的面积是( )平方分米。
11．（2023下·陕西西安·五年级校考期中）一个长方体长6dm，宽和高都是3dm，把它截成两个一样的小正方体，表面积增加( )dm2；把它截成两个一样的长方体，表面积增加( )dm2。
12．4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，如图。有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
分析与解答：4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，有( )个面露在外面，求的就是( )个面的面积。计算正方体露在外面的面积时，可以先算出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数。列式计算为( )。
三、计算题
13．5个棱长5分米的正方体摆放在墙角（如下图），求露在外面的面积。
14．计算下面图形的表面积。（单位：）
四、解答题
15．将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开（如图），4个正方体的表面积之和是多少？与长方体的表面积相等吗？与同伴交流。
16．（2021下·陕西宝鸡·五年级统考期中）有5个棱长为3厘米的正方体小木块堆放在桌面上（如图），你能计算出露在外面的面的面积吗？
17．（2021下·黑龙江大庆·五年级校考期中）3个棱长都是20厘米的正方体堆放在墙角处（如下图），露在外面的面有几个？露在外面的面积是多少平方厘米？
18．（2023下·广东揭阳·五年级校考期末）如图所示，某艺术馆要给墙角处的三个正方体木箱（大小一样）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一个木箱的棱长是20厘米，则一共需要多少克油漆？
19．在下面的方格图中画出如图所示的几何体从正面、上面、右侧面看到的形状。
（1）有（ ）个面露在外面。
（2）如果每个正方体的棱长是20cm，则露在外面的面积是（ ）cm2。
20．（2022下·山西晋城·五年级统考期末）淘气将正方体按下面的方式摆放在桌面上。
（1）填一填。
小正方体的个数 1 2 3 4
露在外面的面/个
（2）你发现了什么规律？
（3）根据你发现的规律，10个这样的小正方体这样摆放，有（ ）个露在外面的面。
参考答案
1．C
【分析】先数清各选项露在外面的面的个数，再根据正方形面积公式：边长×边长，代入数据，求出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，求出露在外面的面的面积，进行比较，即可解答。
【详解】A． 一共有17个面露在外面；面积：1×1×17＝17（dm2）；
B． 一共有18个面露在外面；面积：1×1×18＝18（dm2）；
C．一共有19个面露在外面；面积：1×1×19＝19（dm2）；
D．一共有17个面露在外面，面积：1×1×17＝17（dm2）。
故答案为：C
【分析】解答本题的关键是数清楚露在外面的面积的个数，进行解答。
2．C
【分析】根据题意，露在外面的面一共有10个，一个面的面积为（5×5）cm2，据此用乘法求出10个面的面积即可。
【详解】根据题意得
5×5×10
＝25×10
＝250（cm2）
露在外面的面积250cm2。
故答案为：C
【分析】本题考查了正方体的表面积，解决本题的关键数出露在外面的面的个数。
3．A
【分析】分别求出每个选项中的图形露在外面的个数，然后比较解答即可。
【详解】A．露在外面8个面；
B．露在外面9个面；
C．露在外面9个面；
D．露在外面9个面；
所以露在外面的面最少。
故答案为：A
【分析】本题考查了露在外面的面，解答本题的关键是要先找出每个正方体露在外面的有几个面，然后再结合题意分析解答即可。
4．B
【分析】因为该组合体是放在地面上，所以可以从前、后、上、左、右几个方位观察。通过对该组合体的观察，该组合体从前面看，有100个小正方形；从上面看，有100个小正方形；从右面看，有1个小正方形；从左面看，有1个小正方形；从后面看，有100个小正方形，把这几个方位能看见的小正方形数量加起来即可。
【详解】由分析可得：
100＋100＋1＋1＋100
＝200＋1＋1＋100
＝201＋1＋100
＝202＋100
＝302（个）
故答案为：B
【分析】本题主要考查求组合体露在外面的面的个数问题，解题的关键是从各个方向看，能看到几个正方形，要求学生有一定的空间想象能力。
5．C
【分析】由图意可知，甲图露在外面的面积是前面、上面、后面各5个面的面积以及左右两侧的两个面的面积；乙图是前面、左面、右面、后面，每个面4个小正方形的面积以及最上面的小正方形的面积露在外面，由于每个小正方形的面积相等，只要求出露在外面小正方形的个数即可。
【详解】图甲：5×3＋2
＝15＋2
＝17（个）
图乙：4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
17＝17
所以图甲和图乙露在外面的面积一样大。
故答案为：C
【分析】本题主要考查组合体的表面积，可以根据三视图的方法来解答。
6．C
【分析】3个小正方体并排摆在空地上，两个正方体拼在一起会少2个面，所以正方体之间有4个面被挡住，有3个面贴着地面，共7个面看不见。所以露在外面的面有18－7＝11（个），据此解答。
【详解】6×3－（3＋4）
＝18－7
＝11（个）
3个小正方体并排摆在空地上，露在外面的面有11个。
故答案为：C
7．12a2
【分析】有从上、左、右、前、后五个方向看到的面露在外面，左面和右面看到的小正方形面数量一样，前面和后面看到的小正方形面数量一样；据此解答即可。
【详解】从上面看到2个小正方形面，
从右面看到2个小正方形面，
从前面看到3个小正方形面，
2＋2×2＋3×2
＝2＋4＋6
＝6＋6
＝12（个）
a×a×12
＝a2×12
＝12a2（cm ）
露在外面的面积是12a2cm2。
【分析】按一定的顺序计算立体图形从外面看到的面，避免出现遗漏和重复。
8．17
【分析】第一个图形有5个面露在外面，可以写成：4×1＋1；第二图形有9个面露在外面，可以写成：4×2＋1；第三个图形有13个面露在外面，可以写成：4×3＋1；……，第n个图形有4n＋1个面露在外面，当n＝4时，即可求出露在外面的面的个数。
【详解】根据分析可知，当n＝4时：
4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
淘气在摆方块，如果按下图中的规律继续往下摆，第4组有17个面露在外面。
【分析】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个图就多4个面露在外面是解本题的关键。
9．48
【分析】数出露在外面的面的个数，乘每个面的面积，根据正方形的面积＝边长×边长即可求解。
【详解】12×（2×2）
＝12×4
＝48（cm2）
即露在外面的面积是48 cm2。
【分析】本题主要考查露在外面的面的面积，关键数出露在外面的面的个数。
10．6 13
【分析】根据体积的意义可知，这个组合图形的体积等于6个棱长是1分米的正方体的体积和，根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出体积；前面外露正方体的4个面，上面外露正方体的5个面，右面外露正方体的4个面，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，然后再乘外露面的个数即可。
【详解】6×1＝6（立方分米）
13×1＝13（平方分米）
它的体积是6立方分米，露在外面的面积是13平方分米。
【分析】本题主要考查规则立体图形的表面积和体积。此题考查目的是理解掌握长方体拼组方法及及应用，正方体的体积公式、正方形的面积公式及应用，关键是弄清外露了多少小正方形的面。
11．18 36
【分析】如下图所示，把这个长方形截成两个一样的小正方体，表面积增加了两个边长为3dm的正方形的面积；把它截成两个一样的长方体，表面积增加了两个长6dm，宽3dm的长方形的面积。正方形的面积＝边长×边长，长方形的面积＝长×宽，据此解答。
【详解】3×3×2＝18（dm2）
6×3×2＝36（dm2）
把它截成两个一样的小正方体，表面积增加18 dm2；把它截成两个一样的长方体，表面积增加36dm2。
【分析】本题考查立体图形的切拼。明确切割后表面积增加的部分是解题的关键。
12．9 9 50×50×9＝22500（cm2）
【分析】先数出一共有几个面露在外面，再将一个面的面积乘露在外面的面的总个数，求出露在外面的面的面积和。据此解题。
【详解】4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，有9个面露在外面，求的就是9个面的面积。计算正方体露在外面的面积时，可以先算出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数。列式计算为50×50×9＝22500（cm2）。
【分析】本题考查了露在外面的面，解题关键是数清一共有几个面露在外面，数时要注意规律，避免多数或少数。
13．300平方分米
【分析】从上面看有5个面露在外面，从正面看有5个面露在外面，从右面看有2个面露在外面，一共有5＋5＋2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可解答。
【详解】5×5×（5＋5＋2）
＝25×（10＋2）
＝25×12
＝300（平方分米）
露在外面的面积是300平方分米。
14．148平方厘米；150平方厘米；440平方厘米
【分析】图1和图2利用长方体的表面积公式即可求得解。图3的表面积由长方体的表面积加一周四个正方形的面积组合而成，据此解答。
【详解】（6×5＋6×4＋5×4）×2
＝（30＋24＋20）×2
＝74×2
＝148（平方厘米）
5×5×6
＝25×6
＝150（平方厘米）
（15×8＋15×4＋8×4）×2＋2×2×4
＝（120＋60＋32）×2＋16
＝212×2＋16
＝424＋16
＝440（平方厘米）
15．1536cm2；不相等
【分析】4个正方体的表面积之和＝棱长×棱长×6×4，将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开，表面积增加了6个面的面积。
【详解】8×8×6×4
＝64×6×4
＝1536（cm2）
将一个由4个棱长是8cm的正方体拼成的长方体拆开，表面积增加了6个面的面积，与原来长方体的表面积不相等。
答：4个正方体的表面积之和是1536cm2，与长方体的表面积不相等。
【分析】考查了立体图形的切拼，解题的关键是分析出将长方体拆开，表面积增加了6个面的面积。
16．162cm
【分析】分别数出上面、左面、右面、前面、后面露在外面的正方形个数，求出面数之和，乘每个面的面积即可。
【详解】上面：4个；左面：3个；右面：3个；前面：4个；后面：4个
露在外面的面的总个数：4＋3×2＋4×2＝4＋6＋8＝18（个）。
3×3×18
＝9×18
＝162（平方厘米）
答：露在外面的面的面积是162平方厘米。
【分析】此题考查了有关露在外面的面，数面的时候要按一定的规律来数。
17．7个；2800平方厘米
【分析】观察图形可知，从前面看有3个面露在外面，从右面看有2个露在外面，从上面看有2个露在外面，一共露在外面的面：3＋2＋2个；再根据“露在外面的面积＝棱长×棱长×露在外面的正方形面的数量”，代入数据，即可解答。
【详解】3＋2＋2
＝5＋2
＝7（个）
20×20×7
＝400×7
＝2800（平方厘米）
答：露在外面的面有7个；露在外面的面的面积是2800平方厘米。
【分析】解答本题的关键是数清楚露在外面的面的个数。
18．70克
【分析】先数出露在的面的个数，从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面积露在外面，从右边看有2个面露在外面，一共有3＋2＋2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面面的个数，求出需要刷油漆的面积，再乘250，即可求出需要油漆的数量。
【详解】3＋2＋2
＝5＋2
＝7（个）
20厘米＝0.2米
0.2×0.2×7×250
＝0.04×7×250
＝0.28×250
＝70（克）
答：一共需要70克油漆。
【分析】解答本题的关键是数清楚露在外面面的个数，注意单位名数的换算。
19．图见详解；
（1）12；（2）4800
【分析】分别从正面、上面、右面观察几何体，画出三视图。
（1）根据所画图形，数出各个方向看到的小正方形个数，相加即可；
（2）小正方形的面积×露在外面的个数，即可。
【详解】画图如下：
（1）从上面看5个，从正面看4个，从右面看3个，则一共有5＋4＋3＝12（个）面露在外面。
（2）20×20×12
＝400×12
＝4800（平方厘米）
则露在外面的面积是4800cm2。
【分析】此题主要考查露在外面的面，数面的时候要按一定的顺序来数。
20．（1）5；8；11；14；（2）见详解；（3）32
【分析】（1）观察图形，小正方体的个数为1时，露在外面的面有5个面，小正方体的个数为2时，露在外面的面有（5＋3）个面，小正方体的个数为3时，露在外面的面有（5＋3×2）个面，小正方体的个数为4时，露在外面的面有（5＋3×3）个面，据此完成填空。
（2）通过前面计算出来的数据，我们可以看出随着小正方体的个数的增多，露在外面的面的个数也在增加，具体的变化规律是当前图形露在外面的面的个数比前一个露在外面的面的个数要多3个。
（3）依次类推，小正方体的个数为n时，露在外面的面有个面，当n＝10时，把数据代入，即可求出有多少个露在外面的面。
【详解】（1）5＋3＝8（个）
5＋3×2
＝5＋6
＝11（个）
5＋3×3
＝5＋9
＝14（个）
填表如下：
小正方体的个数 1 2 3 4
露在外面的面/个 5 8 11 14
（2）答：我发现当前图形露在外面的面的个数比前一个露在外面的面的个数要多3个。
（3）小正方体的个数为n时，露在外面的面有个面，
当n＝10时，
＝
＝
＝5＋27
＝32（个）
【分析】此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成数字，多多练习，培养数感。

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