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第六讲 长方体的表面积
1、在解决实际问题的过程中，探索长方体表面积的计算方法。
2、掌握长方体表面积的计算方法，能解决一些简单的应用问题。
3、初步发展空间观念，丰富对现实空间的认识，体会数学与生活的密切联系。
1、长方体的表面积。
（1）长方体的表面积的意义:长方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
或长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
2、正方体的表面积。
（1）正方体的表面积的意义:正方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6
一、选择题
1．（2023下·安徽安庆·五年级期末）如图，在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体。表面积与原来比，（ ）。
A．变大了 B．变小了 C．不变 D．无法确定
2．（2020下·广东揭阳·五年级统考期中）把一个棱长为5cm的正方体锯成两个小长方体，表面积比原来增加了（ ）cm2。
A．50 B．25 C．20 D．10
3．（2023下·陕西西安·五年级校考期中）一个长方体的茶叶盒，长10厘米，宽8厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
4．（2023下·广东揭阳·五年级统考期中）三个棱长6cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ）cm2。
A．144 B．108 C．72 D．18
5．（2023下·广东深圳·五年级统考期末）“六 一”儿童节时，学校给一年级小朋友们包装礼物，要包装的礼物是长12cm，宽8cm，高5cm的长方体盲盒，每4盒包成一包，（ ）最省包装纸。
A． B． C． D．
6．（2023下·安徽亳州·五年级期末）一块长方体木料横截面的面积是，李师傅要把它沿横截面截成三段，表面积增加（ ）。
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023下·安徽亳州·五年级期末）把一个正方体锯成两个长方体，表面积增加了6cm2，那么原正方体的表面积是( ) cm2。
8．（2023下·广东惠州·五年级校考期末）把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加( )平方分米，表面积最多增加( )平方分米。
9．（2023下·广东清远·五年级期末）一个长方体框架，长5厘米，宽4厘米，高3厘米，做这个框架共要( )厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要( )平方厘米塑料板。
10．（2022下·河南鹤壁·五年级统考期末）用包装纸将2个相同的长方体纸盒包装起来（如图），至少需要( )平方厘米的包装纸。
11．（2023下·陕西西安·五年级统考期末）两块完全一样的长方体，长6dm、宽5dm、高4dm，把它们拼成一个大长方体后，大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少( )，最少减少( )。
12．（2023下·广东深圳·五年级统考期末）用一根84厘米长的铁丝刚好焊接成一个正方体框架，这个正方体框架的每条棱长是( )厘米，这个正方体框架贴上包装纸后它的表面积是( )平方厘米。
三、计算题
13．（2023下·广东揭阳·五年级统考期中）求如图形的表面积。（单位：厘米）
14．根据展开图，求长方体的表面积。（单位：厘米）
四、解答题
15．（2023下·广东揭阳·五年级校考期末）中国是茶的故乡，饮茶始于中国。张伯伯买了一提信阳毛尖，装茶的手提袋长25厘米，宽12厘米，高32厘米。做这样一个手提袋至少需要多少平方厘米的纸？

16．（2022下·黑龙江大庆·五年级统考期末）饼干盒长10厘米、宽5厘米，高2厘米，将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒。
（1）最少用多少平方厘米的包装纸？
（2）如果用彩带系在包装盒上，打结部分为30厘米，至少用多少彩带？
17．（2023下·山西吕梁·五年级校考期中）用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？
18．（2023下·陕西宝鸡·五年级统考期末）校园里摆放着一种花箱（如图所示），底面是长为1.5m，宽为0.8m的长方形铝合金板。花箱四周用木条围成（缝隙忽略不计），高0.8m。做这样的一个花箱，大约需要木条多少平方米？
19．（2023下·浙江金华·五年级统考期末）小林房间打算重新粉刷四面墙壁，已知房间长4米，宽4米，高3米，四壁的门窗面积共5平方米。每平方米用涂料0.6千克，粉刷小林房间需要多少涂料？
20．（2022下·广东湛江·五年级校考期末）有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？
参考答案
1．C
【分析】从图中可知，在大正方体的右上角截去一个小正方体后，表面积减少了小正方体的3个面，同时又露出了3个相同的面，所以表面积没有变化。
【详解】在棱长为2cm的正方体上截去一个棱长为1cm的小正方体，表面积与原来比，不变。
故答案为：C
2．A
【分析】根据题意可知：把1个棱长5厘米的正方体木块截成两个完全一样的长方体，表面积增加了两个截面的面积，根据正方形的面积公式：s＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】5×5×2
＝25×2
＝50（cm2）
表面积增加了50 cm2。
故答案为：A
【分析】此题主要考查正方形面积公式的灵活运用，关键是明确：把1个棱长5厘米的正方体木块截成两个完全一样的长方体，表面积增加了两个截面的面积。
3．B
【分析】已知这个长方体的长宽高，且要求只围着侧面贴一圈商标纸，这就意味着只求长方体的前后两面、左右两面的面积之和即可。
【详解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
这张商标纸的面积至少有432平方厘米。
故答案为：B
【分析】明确所求部分面积属于长方体的哪几个面，从而确定所运用的相关元素，这是解题关键。
4．A
【分析】三个正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个面的面积，1个面的面积是36cm2，4个面的面积是144cm2。
【详解】6×6×4＝144（cm2）
所以，表面积减少了144cm2。
故答案为：A
【分析】本题考查了长方体和正方体的表面积，明确减少了几个面的面积是解题关键。
5．B
【分析】根据题意可知，要想最省包装纸，需使表面积最小，由题意可知：只要求出哪种情况下，拼组后的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。也就是把4个长方体茶叶盒的最大面重合在一起，拼成一个长是12厘米，宽是8厘米，高是（5×4）厘米的长方体，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。据此解答即可。
【详解】A．表面积减少了：
（12×5＋8×5）×4
＝100×4
＝400（cm2）
B．表面积减少了：
12×8×6
＝96×6
＝576（cm2）
C．表面积减少了：
（12×8＋8×5）×4
＝136×4
＝544（cm2）
D．表面积减少了：
8×5×6
＝40×6
＝240（cm2）
576＞544＞400＞240
最省包装纸的方法是图B。
故答案为：B
【分析】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是明确：要想最省包装纸，也就是把4个长方体茶叶盒的最大面重合在一起进行包装。
6．C
【分析】把长方体木料沿横截面截成三段，则表面积比原来增加4个横截面的面积，据此计算并选择即可。
【详解】2×4＝8（dm2）
则表面积增加。
故答案为：C
7．18
【分析】根据正方体的特征，正方体有6个面，每个面的面积相等；把一个正方体锯成两个长方体，增加的表面积即原正方体的两个表面的总面积，表面积增加了6 cm2，所以原正方体一个面的面积为6÷2＝3（cm2），由此可计算原正方体的表面积。
【详解】6÷2＝3（cm2）
3×6＝18（cm2）
所以把一个正方体锯成两个长方体，表面积增加了6cm2，那么原正方体的表面积是18cm2。
8．12 30
【分析】根据长方体的特征，其总共有3种不同大小的面，分别是5分米×3分米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果将该长方体切成两个小长方体，沿着3种不同的面平行切就有3种切法，无论哪种切法，都会多出两个面，如果想让表面积增加的最少，就是沿最小的面平行进行切割，多出来的表面积最少，想让表面积增加最多，就沿着最大的面平行进行切割，据此判断即可。
【详解】由分析可得：
3×2×2
＝6×2
＝12（平方分米）
5×3×2
＝15×2
＝30（平方分米）
综上所示：把一个长、宽、高分别是5分米，3分米、2分米的长方体截成两个小长方体，表面积最少增加12平方分米，表面积最多增加30平方分米。
【分析】本题考查的立体图形的切割问题，需要明确长方体每切一刀，增加两个面的面积，要想增加的表面积最少，就沿着最小的面平行切即可，增加的面积最大，就沿着最大的面平行进行切割。
9．48 94
【分析】由题意可知，求铁丝的长度就是求长方体的总棱长，根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此代入数值进行计算即可；求塑料板的面积就是求长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此进行计算即可。
【详解】（5＋4＋3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
则做这个框架共要48厘米的铁丝；若在它的表面贴上塑料板，共要94平方厘米塑料板。
10．592
【分析】由题意可知：将长方体底面拼接在一起所得到的长方体的表面积最小，此时这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是5＋5＝10厘米；将数据代入长方体表面积公式计算即可解题。
【详解】5＋5＝10（厘米）
（12×8＋12×10＋8×10）×2
＝（96＋120＋80）×2
＝296×2
＝592（平方厘米）
至少需要592平方厘米。
【分析】本题主要考查立体图形的拼接及长方体的表面积公式。
11．60 40
【分析】此题考查的是立体图形的拆拼，解答此题的关键是，将两个长方体最大的两个面重叠在起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小，将两个长方体最小的两个面重叠在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最大。
1、此题考查的是立体图形的拆拼，关键是分析哪两个面拼接表面积最大；
2、两个长方体拼成一个大长方体，要使表面积减少的最多，则可以把最大面6×5面相粘合，据此减少了两个6×5的面的面积；
3、反之，把最小面5×4面相粘合，表面积减少的最少，据此即可解答。
【详解】6×5×2
＝30×2
＝60（dm2）
5×4×2
＝20×2
＝40（dm2）
大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少60，最少减少40。
【分析】本题解题关键是理解要使拼成的大长方体表面积减少最多，必须使原来两个长方体的最大面重合，反之减少最少即最小面重合，也就是两个长方体上下面重合的道理。
12．7 294
【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，代入数据即可求出棱长；正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。
【详解】84÷12＝7（厘米）
7×7×6
＝49×6
＝294（平方厘米）
这个正方体框架的每条棱长是7厘米，这个正方体框架贴上包装纸后它的表面积是294平方厘米。
【分析】本题主要考查正方体棱长总和及表面积公式的灵活运用。
13．长方体的表面积是192平方厘米，正方体的表面积是24平方厘米
【分析】利用长方体表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方体表面积公式：S＝6a2，代入数据计算即可。
【详解】（12×3＋12×4＋3×4）×2
＝（36＋48＋12）×2
＝96×2
＝192（平方厘米）
2×2×6＝24（平方厘米）
长方体的表面积是192平方厘米，正方体的表面积是24平方厘米。
14．248平方厘米
【分析】由长方体的展开图可知：长方体的长是10厘米，宽是6厘米，高是（28－10×2）÷2＝4（厘米）。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，用（10×6＋10×4＋6×4）×2可求出这个长方体的表面积。
【详解】高：（28－10×2）÷2
＝（28－20）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
表面积：（10×6＋10×4＋6×4）×2
＝（60＋40＋24）×2
＝124×2
＝248（平方厘米）
15．2668平方厘米
【分析】根据题意可知：这样的一个手提袋是无盖的，所以只求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式求出它的一个底面和4个侧面的总面积即可。
【详解】25×12＋（25×32＋12×32）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋1184×2
＝300＋2368
＝2668（平方厘米）
答：至少需要2668平方厘米的纸板。
【分析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
16．（1）220平方厘米
（2）76厘米
【分析】（1）将2盒饼干盒包装在一起，成为一个包装盒，最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起，求最少用多少平方厘米的包装纸，就是求的长是10厘米。宽是5厘米，高是2×2＝4厘米的长方体包装盒的表面积，根据长方体的表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），代入数据，即可解答；
（2）彩带的长度是有2个长方体的长的长，2个长方体的宽的长，4个长方体高的长与打结部分的长的和，据此解答。
【详解】（1）2×2＝4（厘米）
（10×5＋10×4＋5×4）×2
＝（50＋40＋20）×2
＝（90＋20）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
答：最少用多少平方厘米的包装纸220平方厘米的包装纸。
（2）2×10＋2×5＋4×4＋30
＝20＋10＋16＋30
＝30＋16＋30
＝46＋30
＝76（厘米）
答：至少用76厘米的彩带。
【分析】解答本题的关键明确最少用纸应该把长方体中最大的两个面合在一起。
17．正方体；多8平方厘米。
【分析】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。
【详解】1分米厘米
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。
【分析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。
18．3.68平方米
【分析】分析题意可知：大约需要木条多少平方米就是求长方体花箱的侧面积，利用长方体的侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，将相关数据代入计算即可。
【详解】（0.8×1.5＋0.8×0.8）×2
＝（1.2＋0.64）×2
＝1.84×2
＝3.68（平方米）
答：大约需要木条3.68平方米。
【分析】此题重点考查长方体侧面积计算方法在实际生活中的运用。
19．25.8千克
【分析】根据题意，四面墙壁的面积＝（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出四面墙壁的面积，再减去门窗面积即可求出需要粉刷的面积，最后用每平方米用涂料的质量乘粉刷面积即可求出粉刷小林房间需要多少涂料。
【详解】（4×3＋4×3）×2－5
＝24×2－5
＝48－5
＝43（平方米）
0.6×43＝25.8（千克）
答：粉刷小林房间需要25.8千克涂料。
【分析】本题主要考查长方体表面积的应用。掌握并灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
20．180平方厘米
【分析】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从中去掉一个棱长1厘米的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。
【详解】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面积是180平方厘米。
【分析】解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。

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