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灵活多变培养思维品质

包头市土右旗萨拉齐一中 陈明小
思维的本身是人的意识对客观事物的本质属性和内部规律的概括和间接的反映，数学思维则是人脑和数学对象（空间形式，数量关系）相互作用并按照一般思维规律认识数学内容的过程和活动。而数学内容具有“动”与“静”、“变”与“不变”等特点，因此对于一个数学问题从辩证的角度，灵活的去观察、分析并处理，针对思维活动中的关键环节和薄弱活动，有意识的进行训练，能改善思维品质，提高思维能力，掌握思维方法。
变换解题方法，培养学生思维的广阔性。
思维的广阔性表现在多层面，多角度去思考问题，发现事物之间的联系并找出多种解法。
题目1：过点（0，-1）作一直线，与双曲线相交于M、N两点，MN的中点的横坐标为，求直线的方程。
思考一：依题意所求直线的斜率存在。设直线方程。将直线代入双曲线得，所以，△>0。
∴ k=1 ∴所求直线方程y=x-1。
思考二：设，直线斜率为K。
①； ②； ①-②得 ③
又因MN的中点 ∴
∴，又 代入③式得k=1。
这样，经常从多角度去分析解决问题，不断总结，不断探索，寻找合理、准确、恰当的思维起点，使解题思路自然、流畅，能不断开发解题智慧，逐步提高分析问题和解决问题的能力。
题目2：已知，对任意的恒成立，试求实数a的范围。
思考一：在上，
令，∵g(x)在上单调递增。∴对任意恒成立即 a>–3。
思考二：由题意得。当时上式恒成立，此时的最大值为–3，∴a>–3。
思考三：
当a≥0，f(x)恒正。
当a<0，f(x)在上单调递增。∴，此时恒成立，∴a>-3得-3–3。
灵感的产生来源于扎实的基础，简捷的方法来自于丰富的联想。抓住有利时机，启发学生在所学的基础上尽可能提出不同的新构思，不仅有利于对基础知识的纵横联系和沟通，更有利于培养学生思维的广阔性。
变换相似条件，培养学生思维的发散性
思维的发散性表现在能准确找到相似事物之间的共性与区别，从而把一个问题的处理办法推广到类似问题中去。
如在定理≥（当且仅当a=b时取“=”）的教学中，可设计下面的题目和变式。
题目3：已知x>0，求的最小值。
变式1：已知x<0，求的最大值。
变式2：已知，求的值域。
变式3：已知x>0，求（a>0，b>0）的最小值。
变式4：已知x>0，求（a<0，b<0）有最小值吗？
变式5：实数的最小值是2吗？
由该题及变式的解答，使学生加深了对定理的三个条件“一正二定三相等”的理解和掌握。
在平时教学中，教师要积极鼓励学生主动参与，只有长期坚持这种训练，才能提高学生认识数学习题的层次，拓展认识数学问题的视野，从而有利于培养学生思维的发散性。
变换限制条件，培养学生思维的灵活性。
思维的灵活性是指具体问题具体分析，善于根据情况的变化，克服思维定势的影响及时调整思维过程与方法，灵活地运用各种方法与模式。
题目4：已知a，b>0，实数当b>1时，证明：对任意，
≤１的充要条件是b-1≤a≤。
若把本题的限制条件b>1变为0从表面上看，两个问题似乎相互独立，但仔细分析后发现，两个问题实质上完全相通。
因为≤1≤1且max≤1≤1，
≤1且max=≤1或，max=≤1a≤2b,
b-1≤a≤b+1且a≤或a>2b且b-1≤a≤b+1,所以，当b>1时，
b-1≤a≤
当0即实质是相互补充的一个整体.
限制条件的变化可以让学生全面地、深刻地去理解一个问题，把握数学中变与不变的关系，从而增强解决问题的应变能力。
变换题目，注重通性通法，培养学生思维的独创性。
思维的独创性是指主动地、独立地发现新事物，提出新见解，解决新问题的思维形式，它是一种综合性的思维活动。
题目5. 已知不等式≥0的解集为R，求a的取值范围。
题目6. 已知恒有不等式≥0成立，求a的取值范围。
题目7 已知的定义域R，求a的取值范围。
题目8. ≥0的解集为R，求a的取值范围。
以上4个题的解法是通用的：由题意≥0对恒成立。显然a≤0不可能，故a>0且△≤0，得0“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，当我们走出题海，看到了构成题目的本质，就会有拨云见日，柳暗花明的感受。
变换结论，培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，以及思维活动的深度和难度，它主要表现在能深入地钻研和思考问题，善于从复杂的事物中把握本质规律，从而达到解决问题的目的。
题目9： 已知是正整数，且1（）。
若把题中的证明变为：，此时没有了明显的特征，证明比较困难。
但 ∴，。
要证只需证即证，。逐项比较即可证明，我们可清楚地看到其本质实际是一致的。
当然思维品质的培养不是靠一两道题的变式就可解决，我们必须充分挖掘优秀试题的内涵，不失时机地灵活处理，从而优化学生的思维品质，日积月累，就能在真正意义上提高学生分析问题和解决问题的能力。
【参考文献】：《数学方法论与解题研究》《高中数学教与学》

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