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6．1 空间向量及其运算
课程标准 学习目标
（1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的研究框架． （2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异． （3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义． （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用． （5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别． （6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义． （7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何问题中的作用． （1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. （2）掌握空间向量的线性运算 （3）掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． （4）掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. （5）理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. （6）理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．
知识点01 空间向量的有关概念
1、空间向量
（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
（2）长度或模：空间向量的大小．
（3）表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或．
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．
2、几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量：
相等向量 相同 相等
【即学即练1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】A
【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确；
选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误；
选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误；
选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误；
故选：A.
知识点02 空间向量的线性运算
（1）向量的加法、减法
空间向量的运算 加法
减法
加法运算律 ①交换律： ②结合律：
（2）空间向量的数乘运算
①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与向量方向相同；
当时，与向量方向相反；
当时，；的长度是的长度的倍．
②运算律
结合律：．
分配律：，．
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
【即学即练2】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
故选：C.
知识点03 共线问题
共线向量
（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
（2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有．
（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使．
（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线．
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
【即学即练3】（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若，则存在唯一实数使得，
即，
所以，无解，
所以不共线，则三点不共线，
若，则存在唯一实数使得，
即，
所以，无解，
所以不共线，则三点不共线，
，
若，则存在唯一实数使得，
即，
所以，无解，
所以不共线，则三点不共线，
，
所以，
又点为两向量的公共端点，所以三点共线.
故选：D.
知识点04 向量共面问题
共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）．
【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．共面
【答案】D
【解析】对于空间任意一点和不共线三点、、，若点满足：，且，则、、、四点共面.
而，其中，所以四点共面.
故选：D
知识点05 空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即．
规定：零向量与任何向量的数量积为．
（2）常用结论（，为非零向量）
①．
②．
③．
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
【即学即练5】（2024·北京房山·高二统考）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】
在棱长为2的正方体中,
易知，
因为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
.
故选：D
知识点06 夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图．
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦．
知识点诠释：
（1）规定：
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作．
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到．
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角．
【即学即练6】（2024·山东烟台·高二校联考）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】由题设，则，
所以，又，可得，即.
故选：C
知识点07 空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；．
2、利用向量求线段的长度．
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解．
【即学即练7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点．
(1)用空间的一组基表示，；
(2)求，的值．
【解析】（1）由题意可得：，
.
（2）由题意可得：，
因为，
.
题型一：空间向量的概念
例1．（2024·新疆·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，
【答案】D
【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误；
对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误；
对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误；
对于D，四边形ABCD中，，故D正确.
故选：D
例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则AB与CD为同一线段
D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
【答案】B
【解析】A.当时，满足，但不是钝角，故A错误；
B.当时，，所以与一定共线，故B正确；
C.当时，则与共线，但线段与可能只是平行关系，故C错误；
D.如图所示：
设，
显然满足与，与，与都是共面向量，但 不共面，故D错误；
故选：B.
例3．（2024·福建泉州·高二统考）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示，可知是的相反向量.
故选：A
变式1．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示的长方体中，
A：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
B：向量与大小相等，方向相同，所以这两个向量相等，因此本选项正确；
C：向量与方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确；
D：显然向量与向量方向相反，所以这两个向量不相等，因此本选项不正确，
故选：B
【方法技巧与总结】
（1）平面向量是一种特殊的空间向量．
（2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
（3）向量不能比较大小．
题型二：空间向量及其线性运算
例4．（2024·贵州·高二统考阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为分别为的中点，所以.
因为为的重心，所以，
所以.
故选：B.
例5．（2024·云南临沧·高二校考）如图，在空间四边形中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选：C.
例6．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】连接，
.
故选：A.
变式2．（2024·福建漳州·高二校考）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】点M，N分别为线段AB，OC的中点，
则
故选：D
变式3．（2024·山东青岛·高二统考）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如图，连接因点，分别是，的中点，点在棱上，且满足
则
即：
故选：C.
【方法技巧与总结】
（1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
题型三：共线向量（或平行向量）
例7．（2024·湖北省直辖县级单位·高二校考）若空间四点满足，则（ ）
A．直线
B．直线
C．点P可能在直线上，也可能不在直线上
D．直线，且
【答案】A
【解析】由于，所以四点共面，
由于，所以三点共线，
根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
例8．（2024·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
【答案】A
【解析】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确；
空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；
若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；
若，当时，不存在唯一的实数，使，D错．
故选：A．
例9．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】C
【解析】因为向量，
又因为，且，
可得，则，解得，
所以.
故选：C.
变式4．（2024·新疆伊犁·高二校考）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，，
若与共线，设，即，
可得，解得，故.
故选：D.
变式5．（2024·全国·高二课堂例题）如图，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且．求证：M，N，三点在一条直线上．

【解析】设，，，则．
又，所以，
．
因为，，
所以，
所以．
所以．可知．
又是直线和的公共点，
故和 共线，即M，N，三点在一条直线上．
变式6．（2024·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【解析】因为，，，
所以，
，
所以，
所以，又为公共点，
所以B，C，D三点共线．
变式7．（2024·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
【解析】（1）由题意，，，
故
,
,
故，由于有公共点A，
故A、、三点共线；
（2）由题意，点是平行四边形的中心，
故
，
故 ,因为有公共点D，
故、、三点共线．
变式8．（2024·辽宁·高二本溪高中校联考）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为，，
所以，
因为三点共线，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故选：A.
变式9．（2024·福建福州·高二福州三中校考）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】C
【解析】因为，，若、、三点共线，
则，而无解，故A错误.
因为，若、、三点共线，
则，而无解，故B错误.
因为、、，
所以，即，
所以、、三点共线，故选C正确.
因为、、，
所以，若、、三点共线，
则，而无解，故D错误.
故选：C.
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使．
题型四：空间向量的夹角
例10．（2024·江苏南京·高二）已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ．
【答案】
【解析】因为与的夹角为，
所以，
即，解得，
又，所以．
故答案为：
例11．（2024·四川成都·高二校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .

【答案】/
【解析】设，则，
因为以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，
故，
故
，
，
，
故，
与为异面直线，所成角范围为大于小于等于，
故与所成角的余弦值为，
故答案为：
例12．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设，
则
，
，
则
，
，
，
所以，
即与所成角的余弦值为.
故选：D.
变式10．（2024·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，
所以，
设向量和的夹角为，则，
又，所以.
故选：C.
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
题型五：空间向量的数量积
例13．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题设，，
所以
.
故答案为：
例14．（2024·辽宁·高二统考）在正三棱锥中，是的中心，，则 .
【答案】/
【解析】如图所示，
，
因为为正三棱锥且，所以为正四面体，
作中点，因为是的中心，
所以三点共线且，
所以，
所以
故答案为：
例15．（2024·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为底面，所以底面，
所以，所以，故A错误；
对于B，因为，所以，
所以为等边三角形，所以，
所以
，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
故D错误.
故选：C.
变式11．（2024·北京顺义·高二校考）如图，四面体的所有棱长都是2，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】四面体的所有棱长都是2，故，
.
故选：C.
【方法技巧与总结】
由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确．
题型六：空间向量的投影向量
例16．（2024·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

【答案】 ； .
【解析】空（1）法一：在正方体中，易知，，
向量与向量夹角为45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：设，如图，由正方体的性质得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有，
由，平面，则平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．
故答案为：；
例17．（2024·全国·高二专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
【答案】
【解析】四棱锥，底面是矩形，则，即，
且，由底面，底面，则，
由，面，则面，
又面，则，故向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
例18．（2024·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是 .

【答案】
【解析】在中，由余弦定理得，，
而平面ABC，，故，，
在中，，
即，得
故向量在向量上的投影向量是
故答案为：
变式12．（2024·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ．
【答案】
【解析】由题意可知，在方向上投影的模为
故答案为：.
变式13．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由已知E为棱上的动点，设，
因为，
所以
，
所以向量在向量方向上投影数量为，
又，，
，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为
故答案为：
变式14．（2024·高二课时练习）如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ．
【答案】 ，
【解析】根据正六棱柱的性质，知，，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，所以向量在，方向上的投影向量分别为，．
向量在方向上的投影数量为．
故答案为：，；.
【方法技巧与总结】
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在．
题型七：共面向量
例19．（2024·北京·高二北京铁路二中校考）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
【答案】C
【解析】若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故A错误；
同理若共线，则，
又，则共线，
与条件矛盾，故B错误；
根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.
故选：C
例20．（2024·浙江·高二校联考）在下列条件中，点与点，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若点与点，，共面，则共面，
从而存在实数使得，
即，
，
，
而AD选项都不满足，故AD错误；
对B，由，可得，
因为，所以B错误；
对C，可得，
化简可得，满足，
故选：C
例21．（2024·湖北黄冈·高二校联考）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A选项：，故A错；
B选项：，故B正确；
C选项：，故C错；
D选项：，故D错.
故选：B.
【方法技巧与总结】
若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或．
题型八：共面向量定理
例22．（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学阶段练习）如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为，，，的重心．求证：E，F，G，H四点共面．

【解析】如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．
由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即，，且；
所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，
且有，，，．
由于四边形MNQR为平行四边形，
可得
．
由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量共面；
所以四点共面.
例23．（2024·河北沧州·高二校联考阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
【解析】（1）
因为，
而，
又D为的中点，所以，
所以
．
（2）因为，
，
所以，
，所以．
所以四点共面．
例24．（2024·山东济宁·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，．
(1)证明四点共面；
(2)若，求的值．
【解析】（1）证明：在平行六面体中，，，
∵
，
所以共面，且A为公共点，
所以四点共面；
（2），
，
∴，
∵，
∴，
∴．
变式15．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
【解析】设，则，
为的中点，，
又，，
，
为共面向量，
又三向量有相同的起点，四点共面．
变式16．（2024·全国·高二专题练习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值．
【解析】是等边三角形，是的重心，
如图，延长交于点，则为的中点，，
故
，
设，
则，
四点共面，，即，
又，，，
，．
【方法技巧与总结】
如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求．
题型九：空间四点共面的条件
例25．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第一中学校校联考）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为四点共面，，
所以，解得.
故选：B.
例26．（2024·河南信阳·高二统考）已知，，不共面，，则（ ）
A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面
C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面
【答案】A
【解析】，，，A，B，C，M四点共面.
故选:A.
例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校联考）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，四点共面，所以存在，使得，
故,整理得
，又，
所以，所以，
所以，当时，函数取最小值，且最小值为.
故选:D.
变式17．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．不共面
【答案】A
【解析】,
则，
所以，则，
故四点共面.
故选：A
【方法技巧与总结】
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
例28．（2024·河南焦作·高二统考）如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.记.

(1)用表示，并证明；
(2)若为棱的中点，求线段的长.
【解析】（1）由题设，，
，
所以
，
由侧面与侧面都是菱形且，，
所以，故.
（2）由题设，，
所以
，
所以.
例29．（2024·浙江·高二校联考）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
(1)用向量，，表示；
(2)求．
【解析】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以．
（2）因为四面体OABC是正四面体，则，
，
，
所以．
例30．（2024·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
【解析】（1）依题意可得
（2）依题意可得，
所以
，
所以，即.
变式18．（2024·浙江绍兴·高二绍兴一中校考）三棱柱中，，．设，，．
(1)试用表示向量；
(2)若，，求的长．
【解析】（1）由，则，由，则，
由图形知
．
（2）由题设条件：，同理可得，
则
，
∴.
变式19．（2024·福建厦门·高二校考）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，.

(1)用，，表示，；
(2)求的长度.
【解析】（1），
.
（2）由（1）知
∴
∴，
即的长度为.
变式20．（2024·福建福州·高二校联考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，设，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的长.
【解析】（1）由题意得
;
（2）由已知，得，，
，,
，,
所以
,
所以的长为.
【方法技巧与总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解．
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
例31．（2024·吉林长春·高二统考）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．
【解析】设，
由题意得，，，
因为，所以，
又，
所以，
所以.
例32．（2024·山西太原·高二统考）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
【解析】（1）连接，则
（2），
所以
，
所以.
例33．（2024·河南郑州·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，设，，

(1)用，，表示出，并求线段的长度；
(2)求直线与夹角的余弦值；
(3)用向量法证明直线平面；
【解析】（1）由题图可知：
，
所以
.
（2）由题图可知：
,
所以，
由（1）可知，，
所以
，
所以，
所以直线与夹角的余弦值为.
（3）由题图可知：
，，
又由（1）可知，
所以，
，
所以，，
又因为平面，，
所以直线平面.
变式21．（2024·高二课时练习）在四面体中，，．证明：．
【解析】因为，，设，
所以
所以，即.
变式22．（2024·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．

【解析】证明：由题意可知，，且向量，，两两的夹角均为，连接AN，则，
∴
，
∴，即．
【方法技巧与总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零．
一、单选题
1．（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点，
得，于是，
由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以.
故选：C
2．（2024·北京西城·高二统考）空间四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的加法、减法法则，得.
故选：A.
3．（2024·江苏·高三校联考阶段练习）若空间中四点满足，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
,
即,则.
故选：A.
4．（2024·湖南·高二嘉禾县第一中学校联考）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ）
A． B．34 C．52 D．
【答案】D
【解析】由，又底面是正方形，，且，
所以，
故.
故选：D
5．（2024·海南·高二校联考）已知点为平行四边形所在平面外一点，为对角线，的交点，，，，，，则线段的长为（ ）
A． B． C．23 D．47
【答案】B
【解析】如图，
因为为对角线，的交点，所以，
所以
，
因为，，，，，
所以，，，
所以，即，所以.
故选：B
6．（2024·山东济宁·高二统考）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，，，，，，
则，
因为，
所以，
，
因此，.
故选：D.
7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知空间向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，
故选：D.
8．（2024·福建福州·高二校考）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,
所以
.
故选：B.
二、多选题
9．（2024·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
B．“”是“共线”的充要条件
C．若共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
【答案】BCD
【解析】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；
对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误；
对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；
对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．
故选：BCD．
10．（2024·江西景德镇·高二景德镇一中校考）在正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．与的夹角为
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项：由正方体可知平面，所以，所以四边形为矩形，，A选项正确；
B选项：由正方体可知，所以与的夹角即为与的夹角，又，所以，所以与的夹角为，B选项错误；
C选项：由设正方体的棱长为，则，，所以成立，C选项正确；
D选项：由已知得，，则，D选项错误；
故选：AC.
11．（2024·河北·高二校联考）如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，A正确，B不正确．
，C正确，D不正确．
故选：AC
12．（2024·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校联考）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上
C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上
【答案】ABD
【解析】作出三棱柱，如图，
对于A，当时，，则，
所以点在棱上，故A正确；
对于B，当时，，
所以点在线段上，故B正确；
对于C，当时，由B知，
所以为棱的中点，故C错误；
对于D，当时，，
所以，则，即，
所以点在线段上，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．（2024·江西·高二校联考阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 .
【答案】
【解析】
由图可知.向量 在方向上的投影数量为.
向量在方向上的投影数量为，
所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为.
故答案为：.
14．（2024·江苏镇江·高二统考）在平行六面体中，，，则 .
【答案】
【解析】在平行六面体中，.
因为，所以.
所以
.
故答案为：
15．（2024·山西吕梁·高二统考）在四面体中，，，，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案为：
16．（2024·上海·高二上海市育才中学校考）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，.
又
所以：或.
故答案为：
四、解答题
17．（2024·四川绵阳·高二统考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
【解析】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
18．（2024·贵州·高二校联考）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【解析】（1）由向量的线性运算法则，可得：
．
（2）由向量的数量积的运算法则，可得：
．
19．（2024·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，

(1)用表示；
(2)求.
【解析】（1）连接，如图所示：
因为，，
所以.
（2）因为正四面体的棱长为1，所以，
所以
，
所以.
20．（2024·浙江·高二校联考）如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且

(1)试用向量，，表示向量；
(2)若正四面体的边长为2，求的值.
【解析】（1）因为点是线段的中点，在上，且,
根据向量的线性运算法则，可得：
，
即.
（2）因为正四面体的边长为，且，
可得，且，
由（1）可得知
.
21．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, .
(1)求;
(2)求和夹角的余弦值.
【解析】（1）由已知可得，
所以；
（2）由，
所以和夹角的余弦值为.
22．（2024·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．

(1)试用 表示向量；
(2)若，，，求线段的长．
【解析】（1）因为，
根据空间向量的运算法则，可得.
（2）因为，，，
可得且，
则
，所以，
即线段的长．6．1 空间向量及其运算
课程标准 学习目标
（1）能类比平面向量的学习，经历平面向量推广到空间向量的过程，并初步建构空间向量及其运算的研究框架． （2）能类比平面向量，用自己的语言解释空间向量的概念，说明空间向量与平面向量的共性与差异． （3）能将平面向量的线性运算推广到空间，给出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及其几何意义． （4）能将平面向量线性运算的运算律推广到空间，并能借助图形解释其意义；会用空间向量的线性运算表示空间中的基本元素，体会空间向量的线性运算在解决立体几何问题中的作用． （5）能将平面向量数量积的运算推广到空间，给出空间向量数量积的概念，会计算两个向量的数量积；能将平面向量数量积的运算律推广到空间向量数量积的运算律，能用自己的语言解释空间向量运算律和实数运算律的联系与区别． （6）能借助图形解释空间向量投影的概念以及投影向量的意义． （7）能利用向量数量积解决几何度量问题，证明与垂直有关的简单问题；体会空间向量的数量积运算及其运算律在解决立体几何问题中的作用． （1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示. （2）掌握空间向量的线性运算 （3）掌握共线向量定理，会用共线向量定理解决相关问题． （4）掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法. （5）理解空间共面向量定理，会证明直线与平面平行. （6）理解空间向量共面的充要条件，会证明空间四点共面．
知识点01 空间向量的有关概念
1、空间向量
（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
（2）长度或模：空间向量的大小．
（3）表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起点是，终点是，也可记作：，其模记为或．
知识点诠释：
（1）空间中点的一个平移就是一个向量；
（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．
2、几类常见的空间向量
名称 方向 模 记法
零向量 任意 0
单位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量：
相等向量 相同 相等
【即学即练1】（2024·山东日照·高二校考阶段练习）下列命题中为真命题的是（ ）
A．向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
知识点02 空间向量的线性运算
（1）向量的加法、减法
空间向量的运算 加法
减法
加法运算律 ①交换律： ②结合律：
（2）空间向量的数乘运算
①定义：实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．
当时，与向量方向相同；
当时，与向量方向相反；
当时，；的长度是的长度的倍．
②运算律
结合律：．
分配律：，．
知识点诠释：
（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；
（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．
（3）空间向量加法的运算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，
即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：；
【即学即练2】（2024·广东中山·高二中山市华侨中学校考阶段练习）已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点03 共线问题
共线向量
（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
（2）方向向量：在直线l上取非零向量，与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量．
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量，都有．
（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数使．
（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．
知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：
（1）存在唯一实数，使得；
（2）存在唯一实数，使得，则．
注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．
（3）共线向量定理的用途：
①判定两条直线平行；（进而证线面平行）
②证明三点共线．
注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．
【即学即练3】（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（ ）
A． B．
C． D．
知识点04 向量共面问题
共面向量
（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使．
（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对，使或对空间任意一点O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①证明四点共面
②线面平行（进而证面面平行）．
【即学即练4】（2024·全国·高二专题练习）八十年代初期，空间向量解决立体几何问题的思路得到了长足的发展，已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点（ ）
A．不共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．共面
知识点05 空间向量数量积的运算
空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作．即．
规定：零向量与任何向量的数量积为．
（2）常用结论（，为非零向量）
①．
②．
③．
（3）数量积的运算律
数乘向量与数量积的结合律
交换律
分配律
知识点诠释：
（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．
（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆．
【即学即练5】（2024·北京房山·高二统考）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B． C．2 D．4
知识点06 夹角问题
1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则叫做向量与的夹角，记作，如下图．
根据空间两个向量数量积的定义：，
那么空间两个向量、的夹角的余弦．
知识点诠释：
（1）规定：
（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向；如果，那么与垂直，记作．
2、利用空间向量求异面直线所成的角
异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到．
在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹角的补角．
【即学即练6】（2024·山东烟台·高二校联考）已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
知识点07 空间向量的长度
1、定义：
在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模：
将其推广：
；．
2、利用向量求线段的长度．
将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解．
【即学即练7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中学校考）如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，，，，为中点．
(1)用空间的一组基表示，；
(2)求，的值．
题型一：空间向量的概念
例1．（2024·新疆·高二校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，互为相反向量，则
C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，
例2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．若，则是钝角
B．若，则与一定共线
C．若，则AB与CD为同一线段
D．非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
例3．（2024·福建泉州·高二统考）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）在长方体中，下列向量与是相等向量的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
（1）平面向量是一种特殊的空间向量．
（2）两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同．
（3）向量不能比较大小．
题型二：空间向量及其线性运算
例4．（2024·贵州·高二统考阶段练习）如图，在四面体中，分别为的中点，为的重心，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·云南临沧·高二校考）如图，在空间四边形中，则（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·山东枣庄·高二校联考阶段练习）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·福建漳州·高二校考）已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·山东青岛·高二统考）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点在棱上，且满足，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
（1）向量加法的三角形法则和向量减法的定义是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．
（2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．
题型三：共线向量（或平行向量）
例7．（2024·湖北省直辖县级单位·高二校考）若空间四点满足，则（ ）
A．直线
B．直线
C．点P可能在直线上，也可能不在直线上
D．直线，且
例8．（2024·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．空间任意两个向量共面
B．向量、、共面即它们所在直线共面
C．若，，则与所在直线平行
D．若，则存在唯一的实数，使
例9．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，，，若，则 （ ）
A． B． C．6 D．5
变式4．（2024·新疆伊犁·高二校考）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高二课堂例题）如图，平行六面体中，点M在线段上，且，点N在线段上，且．求证：M，N，三点在一条直线上．

变式6．（2024·高二课时练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
变式7．（2024·高二课时练习）如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
变式8．（2024·辽宁·高二本溪高中校联考）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式9．（2024·福建福州·高二福州三中校考）已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量共线，就是寻找实数，使成立，为此常结合题目图形，运用穴间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．
（2）判断或证明空间中的三点（如共线的方法：是否存在实数，使．
题型四：空间向量的夹角
例10．（2024·江苏南京·高二）已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 ．
例11．（2024·四川成都·高二校考阶段练习）如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是.则与所成角的余弦值为 .

例12．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（2024·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知不共面的三个向量都是单位向量，且夹角都是，则向量和的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量可平移到共同起点形成夹角．
题型五：空间向量的数量积
例13．（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ．
例14．（2024·辽宁·高二统考）在正三棱锥中，是的中心，，则 .
例15．（2024·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变式11．（2024·北京顺义·高二校考）如图，四面体的所有棱长都是2，则（ ）
A． B． C．2 D．1
【方法技巧与总结】
由向量数量积的定义知，要求与的数量积，需已知，和，与的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使计算准确．
题型六：空间向量的投影向量
例16．（2024·全国·高二专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

例17．（2024·全国·高二专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
例18．（2024·广东佛山·高二佛山市高明区第一中学校考阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是 .

变式12．（2024·高二课时练习）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ．
变式13．（2024·高二课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ．
变式14．（2024·高二课时练习）如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ．
【方法技巧与总结】
利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键所在．
题型七：共面向量
例19．（2024·北京·高二北京铁路二中校考）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（ ）
A．共线 B．共线
C．共面 D．不共面
例20．（2024·浙江·高二校联考）在下列条件中，点与点，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
例21．（2024·湖北黄冈·高二校联考）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
若与不共线且同在平面内，则与，共面的意义是在内或．
题型八：共面向量定理
例22．（2024·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学阶段练习）如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为，，，的重心．求证：E，F，G，H四点共面．

例23．（2024·河北沧州·高二校联考阶段练习）如图所示，四面体中，G，H分别是的重心，设，点D，M，N分别为BC，AB，OB的中点．
(1)试用向量表示向量；
(2)试用空间向量的方法证明MNGH四点共面．
例24．（2024·山东济宁·高二校考阶段练习）如图所示，在平行六面体中，E、F分别在和上，且，．
(1)证明四点共面；
(2)若，求的值．
变式15．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．
变式16．（2024·全国·高二专题练习）已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交的延长线于点，求的值．
【方法技巧与总结】
如果两个向量，不共线，则向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使．在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量，不共线”的要求．
题型九：空间四点共面的条件
例25．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第一中学校校联考）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
例26．（2024·河南信阳·高二统考）已知，，不共面，，则（ ）
A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面
C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面
例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校联考）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则函数的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
变式17．（2024·辽宁大连·高二大连八中校考）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．不共面
【方法技巧与总结】
（1）若已知点在平面内，则有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个不共线的向量来表示．
题型十：利用空间向量的数量积求线段的长度
例28．（2024·河南焦作·高二统考）如图，在三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.记.

(1)用表示，并证明；
(2)若为棱的中点，求线段的长.
例29．（2024·浙江·高二校联考）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
(1)用向量，，表示；
(2)求．
例30．（2024·贵州六盘水·统考模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，，设，，.
(1)试用，，表示；
(2)求的长.
变式18．（2024·浙江绍兴·高二绍兴一中校考）三棱柱中，，．设，，．
(1)试用表示向量；
(2)若，，求的长．
变式19．（2024·福建厦门·高二校考）如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为2，且两两夹角为，与的交点为，点在上，且，，，.

(1)用，，表示，；
(2)求的长度.
变式20．（2024·福建福州·高二校联考）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于60°，是的中点，设，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的长.
【方法技巧与总结】
空间向量求模的运算要注意公式的准确应用．向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解．
题型十一：利用空间向量的数量积证垂直
例31．（2024·吉林长春·高二统考）已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明．
例32．（2024·山西太原·高二统考）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．

(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法证明：．
例33．（2024·河南郑州·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体中，，，设，，

(1)用，，表示出，并求线段的长度；
(2)求直线与夹角的余弦值；
(3)用向量法证明直线平面；
变式21．（2024·高二课时练习）在四面体中，，．证明：．
变式22．（2024·高二课时练习）如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：．

【方法技巧与总结】
立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零．
一、单选题
1．（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京西城·高二统考）空间四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏·高三校联考阶段练习）若空间中四点满足，则（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2024·湖南·高二嘉禾县第一中学校联考）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，则向量的模长为（ ）
A． B．34 C．52 D．
5．（2024·海南·高二校联考）已知点为平行四边形所在平面外一点，为对角线，的交点，，，，，，则线段的长为（ ）
A． B． C．23 D．47
6．（2024·山东济宁·高二统考）如图，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中学校考阶段练习）已知空间向量，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建福州·高二校考）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·广东惠州·高二惠州市惠阳区崇雅实验学校校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ）
A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=
B．“”是“共线”的充要条件
C．若共线，则与所在直线平行
D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面
10．（2024·江西景德镇·高二景德镇一中校考）在正方体中，下列结论中正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．与的夹角为
C． D．
11．（2024·河北·高二校联考）如图，在长方体中，E，F分别是AB，BC的中点，则（ ）

A． B． C． D．
12．（2024·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校联考）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（ ）
A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上
C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上
三、填空题
13．（2024·江西·高二校联考阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 .
14．（2024·江苏镇江·高二统考）在平行六面体中，，，则 .
15．（2024·山西吕梁·高二统考）在四面体中，，，，，则 ．
16．（2024·上海·高二上海市育才中学校考）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ．
四、解答题
17．（2024·四川绵阳·高二统考）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
18．（2024·贵州·高二校联考）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，设．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
19．（2024·重庆开州·高二重庆市开州中学校考阶段练习）如图，棱长为1的正四面体OABC中，，点M满足，点N为BC中点，

(1)用表示；
(2)求.
20．（2024·浙江·高二校联考）如图，在正四面体中，已知是线段的中点，在上，且

(1)试用向量，，表示向量；
(2)若正四面体的边长为2，求的值.
21．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考）已知是空间中的三个单位向量, 且, . 若，, .
(1)求;
(2)求和夹角的余弦值.
22．（2024·福建泉州·高二福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．

(1)试用 表示向量；
(2)若，，，求线段的长．

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