资源简介

9．1 向量概念
课程标准 学习目标
（1）能从物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能说出向量的基本要素，能用自己的语言解释向量与数量之间的共性与差异性． （2）能说出平面向量的表示方法并能解释其内涵，能说出零向量和单位向量的含义． （3）能从向量的要素之间的关系出发研究两个平面向量的位置关系，能刻画共线向量、相等向量等概念，会判断两个平面向量是否相等、共线． （4）能用自己的语言描述向量概念的抽象过程与方法，体会类比、数形结合等数学思想，养成用数学的眼光观察世界的习惯，发展数学抽象、直观想象等素养． （1）能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别． （2）会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别． （3）理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点01向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
知识点02向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
【即学即练2】（2024·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A． B． C． D．
知识点03向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【即学即练3】（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知识点04向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
题型一：向量的基本概念
例1．（2024·全国·高一假期作业）给出下列命题：
①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．（2024·海南·高一校考）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
例3．（2024·新疆·高一校考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
【方法技巧与总结】
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
题型二：向量的表示方法
例4．（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
例5．（2024·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
例6．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
变式1．（2024·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
变式2．（2024·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
【方法技巧与总结】
作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
题型三：利用向量相等或共线进行证明
例7．（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
例8．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
例9．（2024·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
变式3．（2024·高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
变式4．（2024·高一课时练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
【方法技巧与总结】
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
题型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

例11．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
例12．（2024·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
变式5．（2024·高一课时练习）一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【方法技巧与总结】
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
3．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
4．（2024·北京·高一北京市第九中学校考）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，，则
5．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列命题：
①若，则；
②的充要条件是且
③若，则；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·高三专题练习）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
二、多选题
9．（2024·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
10．（2024·高一校考课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若||=||，则=
B．若≠，则||≠||
C．零向量的长度为0
D．若则
11．（2024·江苏无锡·高三统考开学考试）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
12．（2024·广东佛山·高一校考阶段练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
三、填空题
13．（2024·上海浦东新·高一上海市进才中学校考）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
14．（2024·高一课时练习）下列说法正确的是 （写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
15．（2024·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①若 ，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
四、解答题
16．（2024·高一课时练习）若向量，满足，，求的最大值及最小值.
17．（2024·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
18．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
19．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？9．1 向量概念
课程标准 学习目标
（1）能从物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能说出向量的基本要素，能用自己的语言解释向量与数量之间的共性与差异性． （2）能说出平面向量的表示方法并能解释其内涵，能说出零向量和单位向量的含义． （3）能从向量的要素之间的关系出发研究两个平面向量的位置关系，能刻画共线向量、相等向量等概念，会判断两个平面向量是否相等、共线． （4）能用自己的语言描述向量概念的抽象过程与方法，体会类比、数形结合等数学思想，养成用数学的眼光观察世界的习惯，发展数学抽象、直观想象等素养． （1）能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别． （2）会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别． （3）理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量及向量的模、夹角等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
知识点01向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量．
知识点诠释：
（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．
（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素．
（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小．
【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的个数是（ ）
（1）温度、速度、位移、功这些物理量是向量；
（2）零向量没有方向；
（3）向量的模一定是正数；
（4）非零向量的单位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】对于（1），温度与功没有方向，不是向量，故（1）错误，
对于（2），零向量的方向是任意的，故（2）错误，
对于（3），零向量的模可能为0，不一点是正数，故（3）错误，
对于（4），非零向量的单位向量的方向有两个，故（4）错误，
故选：A．
知识点02向量的表示法
1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．
知识点诠释：
（1）用字母表示向量便于向量运算；
（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
【即学即练2】（2024·山东菏泽·高一山东省东明县第一中学校考阶段练习）对下面图形的表示恰当的是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】图像有起点有终点，有箭头有方向，可知其代表的是向量.
故选：C.
知识点03向量的有关概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用来表示向量的有向线段的长度）．
知识点诠释：
（1）向量的模．
（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．
2、零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的．
3、单位向量：长度等于1个单位的向量．
知识点诠释：
（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；
（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同．
4、相等向量：长度相等且方向相同的向量．
知识点诠释：
在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．
【即学即练3】（2024·新疆乌鲁木齐·高一校考）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
知识点04向量的共线或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量（共线向量又称为平行向量）．
规定：与任一向量共线．
知识点诠释：
1、零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．
2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．
3、共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
（1）写出与共线的向量；
（2）写出与的模大小相等的向量；
（3）写出与相等的向量.
【解析】（1）因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以.所以与共线的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中点，故与模相等的向量有： ，，，，；
（3）与相等的向量有：与.
题型一：向量的基本概念
例1．（2024·全国·高一假期作业）给出下列命题：
①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③；④．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①正确，和是方向相反、模相等的两个向量；②错误，方向不同包括反向共线；③错误，是一个向量，而0为数量，；④错误，向量不能比较大小，故选B．
例2．（2024·海南·高一校考）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．质量 B．距度 C．力 D．体重
【答案】C
【解析】由向量的定义可知，力为向量，质量、距离、体重都为数量.
故选：C.
例3．（2024·新疆·高一校考）已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起点是 D．向量的终点是
【答案】D
【解析】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；
向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.
故选：D
【方法技巧与总结】
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题．
题型二：向量的表示方法
例4．（2024·全国·高一随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量．
(1)终点A在起点O正东方向3m处；
(2)终点B在起点O正西方向3m处；
(3)终点C在起点O东北方向4m处；
(4)终点D在起点O西南方向2m处．
【解析】（1）从向东作长度为3m的有向线段：
（2）从向西作长度为3m的有向线段：
（3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：
（4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：
例5．（2024·安徽淮北·高一濉溪县临涣中学校考阶段练习）在如图的方格纸中，画出下列向量．

(1)，点在点的正西方向；
(2)，点在点的北偏西方向；
(3)求出的值．
【解析】（1）因为，点在点的正西方向，故向量的图示如下：
（2）因为，点在点的北偏西方向，故向量的图示如下：
（3）
.
例6．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，试求集合T中元素的个数．
【解析】由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个．
变式1．（2024·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方．
(1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）；
(2)求的模．
【解析】（1）根据题意可知，B点在坐标系中的坐标为，
又因为D点在B点的正北方，所以，
又，所以，即D、 C两点在坐标系中的坐标为，；
即可作出、、如下图所示.
（2）如图，作出向量，
由题意可知，且，
所以四边形是平行四边形，
则，
所以的模为
变式2．（2024·高一课时练习）在平面直角坐标系中，已知，与x轴的正方向所成的角为30°，与y轴的正方向所成的角为120°，试作出.
【解析】如图，根据方位角及长度来确定.
【方法技巧与总结】
作向量的方法：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．
题型三：利用向量相等或共线进行证明
例7．（2024·高一课时练习）如图所示，在平行四边形中，，分别是，的中点.
(1)写出与向量共线的向量；
(2)求证：.
【解析】（1）因为在平行四边形中，，分别是，的中点，，，
所以四边形为平行四边形，所以.
所以与向量共线的向量为：，，.
（2）证明：在平行四边形中，，.
因为，分别是，的中点，
所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
故.
例8．（2024·高一课时练习）如图所示，四边形为正方形，为平行四边形，

(1)与模长相等的向量有多少个？
(2)写出与相等的向量有哪些？
(3)与共线的向量有哪些？
(4)请列出与相等的向量．
【解析】（1）因为四边形为正方形，为平行四边形，
所以，
所以与模长相等的向量有、、、、、、、、共个.
（2）与相等的向量有、.
（3）与共线的向量有，，，，，，.
（4）因为为平行四边形，所以且，
所以与相等的向量为.
例9．（2024·高一课时练习）如图，多边形ABCDEF为正六边形，在以此六边形各顶点和中心为起点、终点的向量中：
(1)写出与相等的向量；
(2)写出的负向量；
(3)写出与平行的向量；
(4)写出与长度相等的向量．
【解析】（1）两向量相等是指两向量方向相同，长度相等，由图可得与相等的向量为：，，；
（2）向量的负向量是指与方向相反，长度相等的向量，由图可得的负向量为：，，，；
（3）两向量平行，是指两向量方向相同或相反，由图可得平行的向量为：
，，，，，，，，.
（4）由图，因图形为正六边形，则，故与长度相等的向量为：，，，，.
变式3．（2024·高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【解析】因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
变式4．（2024·高一课时练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
【解析】(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
【方法技巧与总结】
相等向量与共线向量的探求方法
（1）寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．
题型四：向量知识在实际问题中的简单应用
例10．（2024·全国·高一随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．

【解析】由题意，
所以向量的长度为2 n mile．
例11．（2024·高一课时练习）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
例12．（2024·高一课时练习）一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求：
（1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移.
【解析】（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即.
（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为.
由于，故方向约为北偏东53°.
变式5．（2024·高一课时练习）一位模型赛车的赛车手遥控一辆赛车向正东方向前进1m，然后将行驶方向按逆时针方向旋转角度，继续按直线方向前进1m，再将行驶方向按逆时针方向旋转角度，然后继续按直线方向前进1m，…，按此方法继续操作下去.
（1）作图说明当时，最少操作几次可使赛车的位移为0？
（2）按此方法操作，试写出几种赛车能回到出发点的操作.
【解析】
记出发点A.
（1）当时，如图①，赛车行进路线构成一个正八边形，最少操作8次可使赛车的位移为0，赛车所行路程是8m.
（2）当时，如图②，赛车行进路线构成一个正三角形，最少操作3次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为3m；
当时，如图③，赛车行进路程构成一个正方形，最少操作4次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为4m；
当时，如图④，赛车行进路线构成一个正六边形，最少操作6次可使赛车回到出发点，赛车所行路程为6m.
【方法技巧与总结】
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向.
一、单选题
1．（2024·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，故同向.
对于A:，方向相反,A选项错误；
对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误；
对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确；
对于D:,不能确定的方向，D选项错误.
故选：C．
2．（2024·福建龙岩·高一福建省连城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．
B．、是单位向量，则
C．若，则
D．任一非零向量都可以平行移动
【答案】C
【解析】对于A项，因为，所以，故A项正确；
对于B项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于C项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于D项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确.
故选：C.
3．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知四边形，下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形为平行四边形
B．若，则四边形为矩形
C．若，且，则四边形为矩形
D．若，且，则四边形为梯形
【答案】A
【解析】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；
选项，如图
，但是四边形不是矩形，错误；
选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．
选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.
故选：A
4．（2024·北京·高一北京市第九中学校考）给出下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，，则
C．若且，则 D．若，，则
【答案】B
【解析】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误，
对于B，若，，则，∴B正确，
对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误，
对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误.
故选：B．
5．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列命题：
①若，则；
②的充要条件是且
③若，则；
④若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.
其中，真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于①，若，则模相等，方向不一定相同，故错误；
对于②，当时也满足且，故错误；
对于③，当时，满足，但不一定成立；
对于④，若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，正确.
故真命题的个数是1个.
故选：B
6．（2024·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）下列命题：①若，则；
②若，，则；
③的充要条件是且；
④若，，则；
⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】对于①，因为，但、的方向不确定，则、不一定相等，①错；
对于②，若，，则，②对；
对于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分条件，③错；
对于④，取，则、不一定共线，④错；
对于⑤，若、、、是不共线的四点，
当时，则且，此时，四边形为平行四边形，
当四边形为平行四边形时，由相等向量的定义可知，
所以，若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件，⑤对.
故选：A.
7．（2024·浙江·高三专题练习）给出下列命题：
①两个具有共同终点的向量，一定是共线向量；
②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；
③若与同向，且，则>；
④λ，μ为实数，若λ＝μ，则与共线．
其中假命题的个数为（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①不正确．当起点不在同一直线上时，虽然终点相同，但向量不共线；
②正确．∵＝，∴||＝||且；
又∵是不共线的四点，∴四边形是平行四边形．
反之，若四边形是平行四边形，
则且与方向相同，因此＝；
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当时，与可以为任意向量，
满足λ＝μ，但与不一定共线．
故选：.
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错；
因为，则，则，则，
即，即，
，则，，即为的中点，
所以，，C错，D对.
故选：D.
二、多选题
9．（2024·宁夏银川·高一校考阶段练习）在下列结论中，正确的结论为（ ）
A．且是的必要不充分条件
B．且是的既不充分也不必要条件
C．与方向相同且是的充要条件
D．与方向相反或是的充分不必要条件
【答案】ACD
【解析】因为且，所以或，
若，则与方向相同且，所以且是的必要不充分条件，
故选项A正确，选项B错误；
对于选项C，因为与方向相同且，所以，
反之，若，则与方向相同且，
所以与方向相同且是的充要条件，正确；
对于选项D，若与方向相反或，则，若，则与方向不同或，
即由得不到与方向相反或，
所以与方向相反或是的充分不必要条件，正确.
故选：ACD
10．（2024·高一校考课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．若||=||，则=
B．若≠，则||≠||
C．零向量的长度为0
D．若则
【答案】AB
【解析】因为向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (长度) 相等的两个向量才相等, 故 A错误;
两个向量不相等, 但它们的模可以相等, 故B错误;
零向量的长度为 0 , 故 C正确;
, 则 它们的相反向量 也相等,故D正确.
故选：AB.
11．（2024·江苏无锡·高三统考开学考试）下面的命题正确的有（ ）
A．方向相反的两个非零向量一定共线
B．单位向量都相等
C．若，满足且与同向，则
D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”
【答案】AD
【解析】对于A，由相反向量的概念可知A正确；
对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，
可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.
故选：AD.
12．（2024·广东佛山·高一校考阶段练习）下列叙述中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则与方的方向相同或相反
C．若且，，则
D．对任一向量，是一个单位向量
【答案】ABD
【解析】对于A，向量不能比较大小，A错误；
对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；
对于C，因为不为零向量，所以与是共线向量，故C正确；
对于D，当时，无意义，故D错误.
故选：ABD
三、填空题
13．（2024·上海浦东新·高一上海市进才中学校考）下列关于向量的命题，序号正确的是 .
①零向量平行于任意向量；
②对于非零向量，若，则；
③对于非零向量，若，则；
④对于非零向量，若，则与所在直线一定重合.
【答案】①③
【解析】因为零向量与任一向量平行，所以①正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②错误；
对于非零向量，若，则与是相等向量或相反向量，故，故③正确；
对于非零向量，若，则和是平行向量，也是共线向量，但与所在直线不一定重合.
故选：①③
14．（2024·高一课时练习）下列说法正确的是 （写序号）．
①若与共线，则点A、B、C、D共线；
②四边形为平行四边形，则；
③若，则；
④四边形中，，则四边形为正方形．
【答案】③
【解析】①若与共线，则点，，，共线，不正确，比如平行四边形的对边；
②若四边形为平行四边形，则，不正确；
③若，，则，正确；
④在四边形中，，且，则四边形为正方形或菱形，不正确；
故答案为：③.
15．（2024·全国·高一专题练习）给出下列命题：
①若 ，则；
②若单位向量的起点相同，则终点相同；
③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
④向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】③
【解析】①考虑的情况；②根据单位向量的定义判断.③根据相等向量的定义判断.④共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直线可能平行也可能重合.①错误．若，则①不成立；
②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；
③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的；
④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量与必须在同一直线上．
故答案为：③
四、解答题
16．（2024·高一课时练习）若向量，满足，，求的最大值及最小值.
【解析】因为，，
所以，当且仅当向量，方向相同时取得等号；
，当且仅当向量，方向相反时取得等号.
所以的最大值是18，最小值是6.
17．（2024·四川凉山·高一四川省越西中学校考阶段练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
18．（2024·高一课时练习）如图所示，平行四边形中，是两对角线，的交点，设点集，向量集合，试求集合中元素的个数.
【解析】由题可知，集合中的元素实质上是中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，。
由平行四边形的性质可知，共有对向量相等：即，，，，，，，，
因为集合元素具有互异性，所以集合中的元素共有12个。
19．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为 的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3 的向量共有几个？
【解析】(1)根据相等向量的概念，可得与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2) 根据向量的模的概念，可得与向量平行且模为 的向量共有24个．
(3) 根据向量的模概念，可得与向量方向相同且模为3的向量共有2个．

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