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2009年高考《圆和椭圆》11道创新题
湖南江华一中 何楠
1．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
2．已知圆Ｏ的方程是，圆的方程是，由动点向圆Ｏ和圆所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是______________.
3．已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
4．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知长方形，，，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为______．
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
7．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，
求△AOB面积的最大值.
8．设、分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角
（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
9．如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，
记△AOB的面积为S．
(I). 求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
10．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为　的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；
如果不存在，请说明理由．
11．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点
处的切线交椭圆于，两点，则．
圆和椭圆辅导资料
1．与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是 ．
解：曲线化为，其圆心到直线
的距离为所求的
最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，
圆心坐标为标准方程为。
2．已知圆Ｏ的方程是，圆的方程是，由动点向圆Ｏ和圆所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是______________.
解：圆Ｏ：圆心，半径；圆：圆心（4，0），半径．
设，由切线长相等得:，．
3．已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线
有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为
（A） （B） （C） （D）
解：设椭圆方程为消x得：
即：
又 联立解得
由焦点在x轴上，故长轴长为选C。
4．设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解：由已知P（），所以
化简得,选D.
5．已知长方形，，，则以为焦点，
且过两点的椭圆的离心率为______．
6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以 为直径的圆过椭圆的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，，，
　椭圆的标准方程为　
（Ⅱ）设，，由 得，
又，
因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，
，即，，
，　
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点　
所以，直线过定点，定点坐标为　
7．已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，
求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．
（1）当轴时，，不符合题意．
（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为．
由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，
综上所述．
当最大时，面积取最大值．
8．设、分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于同的两点、，且为锐角
（其中为作标原点），求直线的斜率的取值范围．
解：（Ⅰ）易知，，．
∴，．设．则
，又，
联立，解得，．
（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．
联立
∴，
由
，，得．①
又为锐角，∴
又
∴
∴　．②
综①②可知，∴的取值范围是．
9．如图，直线y＝kx＋b与椭圆交于A、B两点，
记△AOB的面积为S．
(I). 求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值；
（Ⅱ）当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．
解：（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，由，
解得，所以．
当且仅当时，取到最大值．
（Ⅱ）由得，
，①． ②
设到的距离为，则，
又因为，所以，代入②式并整理，得
，解得，，代入①式检验，，
故的方程是或或或
．
10．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心为，过点且斜率为　的直线与圆相交于不同的两点．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；
如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，过
且斜率为的直线方程为．代入圆方程得，
整理得．　　　
直线与圆交于两个不同的点，，
解得，即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
　　　又．　
而．
所以与共线等价于，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．
11．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点
处的切线交椭圆于，两点，则．
解：（Ⅰ）由题设及，，不妨设点，其中
，由于点在椭圆上，有，
，解得，从而得到，
直线的方程为，整理得．
由题设，原点到直线的距离为，即，
将代入原式并化简得，即．
（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．
当时，圆上的任意点都在椭圆内，
故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，设，
当时，由得，
于是，
．
若，则．
所以，．由，得．
在区间内此方程的解为．
当时，必有，同理求得在区间内的解为．
另一方面，当时，可推出，从而．
综上所述，使得所述命题成立．

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