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人教版数学高三下学期高考第二轮大题专题辅导
函数与导数、函数与数列、函数与向量
一、函数与导数
1、设、，且，定义在区间内的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）讨论函数的单调性。
解：（Ⅰ）函数在区间内是奇函数等价于
对任意都有
即，由此可得，
即，此式对任意都成立相当于，
因为，∴，代入 得，即，此式对任意
都成立相当于，所以得的取值范围是.
（Ⅱ）设任意的，且，由，
得，所以，，
从而，
因此在内是减函数，具有单调性。
2、已知在区间上是增函数。
（Ⅰ）求实数的值所组成的集合；
（Ⅱ）设关于的方程的两个根为、，若对任意及，不等式
恒成立，求的取值范围.
解：（Ⅰ） ，
∵在区间上是增函数，∴对恒成立，
即 对恒成立
设，则问题等价于
，
对，是连续函数，且只有当时， 及当时，
∴
（Ⅱ）由，得，
∵ ∴是方程 的两非零实根，
∴，从而，
∵，∴.
∴不等式对任意及恒成立
对任意恒成立
对任意恒成立
设，则问题又等价于
即 的取值范围是.
3、 已知集合，
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）某同学注意到是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：中的元素是否都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论。
解：（Ⅰ）∵
∴.
（Ⅱ）①是周期是6的周期函数，猜测也是周期为6的周期函数。
由得，
两式相加可得
即是周期为6的周期函数，故中的元素是否都是周期函数.
② 令，同上可证得，
∴ ，但是奇函数不是偶函数，
∴ 中的元素不都是偶函数.
4、已知函数．
（1）若在[1，＋∞上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x＝3是的极值点，求在[1，a]上的最小值和最大值．
解析：（1）．
　　∵　x≥1．　∴　，
　　当x≥1时，是增函数，其最小值为．
　　∴　a＜0（a＝0时也符合题意）．　∴　a≤0．
　　（2），即27-6a-3＝0，　∴　a＝4．
　　∴　有极大值点，极小值点．
　　此时f（x）在，上时减函数，在，＋上是增函数．
∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是，（因）．
5、已知函数的定义域为[，]，值域为，，并且在，上为减函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：；
（3）若函数，，的最大值为M，求证：
（1）按题意，得．
　　∴　　即　．
　　又∴　关于x的方程．
　　在（2，＋∞）内有二不等实根x＝、．关于x的二次方程
在（2，＋∞）内有二异根、．
．　　故　．
（2）令，则．
　　∴　．
（3）∵　，
．
　∵　，　∴　当（，4）时，；当（4，）是．
　又在[，]上连接，　　∴　在[，4]上递增，在[4，]上递减．
　　故　．
　　∵　，　　∴　0＜9a＜1．故M＞0．　若M≥1，则．
∴　，矛盾．故0＜M＜1．
6、已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为 ( http: / / www. / wxc / )　
⑴若方程有两个相等的实数根，求的解析式；
⑵若函数无极值，求实数的取值范围 ( http: / / www. / wxc / )
⑴设，∵不等式的解集为 ( http: / / www. / wxc / )
∴ ……… ① ……… ②
又∵有两等根，
∴……… ③ 由①②③解得 …………（5分）
又∵，∴，故.
∴ ……………………………………………（7分）
⑵由①②得，∴，
…………………………………………（9分）
∵无极值，∴方程
，解得 ………………（12分）
7、已知函数的单调递增区间是，单调递减区间是[-2，2]。
（I）求函数的解析式；
（II）若的图象与直线恰有三个公共点，求m的取值范围。
解：（I），依题意有
即
解得。
函数的解析式为。 6分
（II）由条件可知，函数有极大值，极小值。 10分
因为的图象与直线恰有三个公共点，
所以，。 12分
8、二次函数满足条件：
①对任意，均有；②函数的图象与直线相切。
（I）求函数的解析式；
（II）当且仅当时，恒成立，试求t、m的值。
解：（I）
函数的图象与直线相切，
方程组有且只有一解；
即有两个相同的实根，
。
函数的解析式为。 6分
（其它做法相应给分）
（II）当且仅当时，恒成立，
不等式的解集为。
即的解集为[4，m]。
方程的两根为4和m，
即方程的两根为4和m。
，
解得
和m的值分别为8和12。 13分
9、设函数f（x）=在[1+，∞上为增函数.
（1）求正实数a的取值范围.
（2）若a=1，求征：（n∈N*且n≥2）
解:（1）由已知： = …………………………2分
依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立………………4分
∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1……5分
（2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上为增函数，
∴n≥2时：f（）=
即：…7分
∴……………………9分
设g（x）=lnx－x x∈[1，+∞， 则对恒成立，
∴g′（x）在[1+∞为减函数…………12分
∴n≥2时：g（）=ln－即：ln<=1+（n≥2）
∴
综上所证：（n∈N*且≥2）成立. ……14分
10、
二、函数与数列
1、将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求证：，.
解：（Ⅰ）∵
∴的极值点为，从而它在区间内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，
∴，
（Ⅱ）由 知对任意正整数，都不是的整数倍，
所以，从而
于是
又，
是以为首项，为公比的等比数列。
∴，
2、已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、．
（Ⅰ）设，试求函数的表达式；
（Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数
，，使得不等式成立，求的最大值．
解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，
， 切线的方程为：，
又切线过点， 有，
即， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切线也过点，得．…………（2）
由（1）、（2），可得是方程的两根，
………………（ * ） ……………………… 4分
，
把（ * ）式代入,得,
因此，函数的表达式为． ……………………5分
（Ⅱ）当点、与共线时，，＝，
即＝，化简，得，
，． ………………（3） …………… 7分
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得点、与三点共线，且 ． ……………………9分
（Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，
，
则．
依题意，不等式对一切的正整数恒成立， …………11分
，
即对一切的正整数恒成立，．
， ，
．
由于为正整数，． ……………………………13分
又当时，存在，，对所有的满足条件．
因此，的最大值为． ……………………………14分
解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为， …………………11分
当时，与解法相同分析，得，
解得． ……………………………13分
三、函数与向量
1、已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．
解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
　　∵　，，，，，
，
　　∴　当时，
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，．
　　∵　，　∴　．
　　当时，同理可得或．
　　综上：的解集是当时，为；
当时，为，或．
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