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正方体模型试题中的热点问题
高晓丹
正方体模型是最常见、最简单的空间图形，近年来，各地考卷中出现了许多正方体模型的有关试题，现分类举例如下．
一、内接几何体问题
例1、两个相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无穷多个
解析：沿正四棱锥的底面所在的平面将正方体切开截面如图2所示，可见正方形内接的正方形面积S有无穷多个，不可能唯一，故多面体的体积也不唯一，选D．
评析：本题渗透了新课标中三视图的解法，考查了正方体内接几何体的空间模型的构建和空间想象能力，解答此类问题的关键在于截面图形的化归分析．
二、空间角及线面关系问题
例2、如图3，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m。
（1）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为．
（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？请证明你的结论．
解析：（1）连AC，设AC∩BD=O，AP与面BDD1B1交于点G，连OG．由PC∥面BDD1B1，面BDD1B1∩面APC=OG，得OG∥PC，所以OG=．又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，即∠AGO为AP与平面BDD1B1所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO，即
故当m=时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为．
（2）依题意，在A1C1上找一点Q，使D1Q⊥AP，可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点．因为D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1．又AP面ACC1A1，知D1O1⊥AP，从而D1Ol在平面AD1P上的射影与AP垂直，所以存在定点Q满足题意．
评析：利用正方体模型来考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，属于立体几何中的常规问题，解答此类问题的关键是熟悉正方体模型中的线面关系．
三、探索性问题
例3、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻点，如图4，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1、2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7．以上结论正确的是 。
解析：如图4，B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4，则DA1的中点到平面的距离为3，所以D1到平面的距离为6；BA1的中点到平面的距离为，所以B1到平面的距离为5；DB的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；CA1的中点到平面的距离为，所以C1到平面的距离为7．而P为C、C1、B1、D1中的任意一点，所以选①③④⑤．
评析：本题是一个探索型问题，以正方体为载体考查新情景下的立体几何知识，这类试题是高考考查同学们创新能力的重要题型．本题也可通过空间向量的思想来解释，有兴趣的同学不妨试一试．
四、体积问题
例4、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P为DD1上任意一点，Q是平面ABCD内的点，PQ=2，M为PQ的中点，则点M的轨迹与正方体的面所围成的图形的体积（较小者）为 ．
解析：如图5，连接DM、PQ、DQ．由直角三角形的性质，知DM，点M到点D的距离为定值，所以点M的轨迹是以点D为球心的球面，它与正方体的面所围成图形的体积··
评析：将立体几何与轨迹问题交汇起来探索是近几年出现的新型试题，体现了加强能力考查的倾向．解答问题的关键是在空间寻找点的轨迹（如球、圆柱），然后求其体积．
五、平面展开图问题
例5、在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分别为棱DD1、AB、BC的中点。
（1）证明：PB⊥平面MNB1．
（2）画出一个正方体表面展开图，使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件，并求出展开图中P、B两点间的最短距离．
解析：（1）在图6中过点P作PE⊥AA1于E，则PE∥DA．连BE，又DA⊥面ABB1A1，所以PE⊥平面ABB1A1，PE⊥MB1．又BE⊥B1M，得PB⊥MB1．又MN∥AC，BD⊥AC，所以BD⊥MN．又PD⊥面ABCD，知PB⊥MN．所以PB⊥平面MNB1．
（2）图7为其展开图的一种形式，由图7可知，当P位于DD1′的中点时，BP最短，即BP=．
评析：对正方体的平面展开图的考查由来已久，解决此类问题的关键是熟悉空间图形与平面图形的转化．

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