资源简介

一道课本习题的应用
苏教版《普通高中课程标准实验教科书（必修5）》第98页第14题：“…，试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，…”．
能够得到结论：，当且仅当时等号成立．
这是对课本第十三章第四节“基本不等式”的整理和引申，定理本身的证明在此不再重复．笔者结合自己的教学实践，谈谈这道题的结论在求最值和不等式证明中的应用．
一、求最大（小）值
【例1】若为正实数，且恒成立，则的最小值是 ．
分析：由题意有恒成立，转化为求的最大值，由基本不等式有
，故，所以．
评析：熟练掌握基本不等式的结构特征，能透过表象看本质，方能求得最值得结果．
【例2】若成等差数列，且，则的最大值为 ．
略解：， ，
由“基本不等式”有：，当且仅当时取等号，故，即的最大值为．
评析：倒序相加，由等差数列的性质为基本不等式的运用做好准备．
【例3】已知，，且，则的最小值为 ．
错解：，又，得，有，所以的最小值为8．
略解：，当且仅当，即，时取等号．
评析：“正数、定值、取等号”这三个条件是基本不等式的前提，尤其是在不止一次使用基本不等式时，更要注意取等号的条件要一致．
【例4】已知，，且，求的最大值．
分析：由为定值的引导，可将结论式改写为，便可得到下述解法：
略解：
，当且仅当即时取得最大值．
若题中关系式不具备基本不等式的结构特征，可考虑将关系式变形，如本题将和经“配凑”后向2a + b转化是成功解题的关键，其思维的起点是为定值．
二、证明不等式
【例5】已知a、b、c∈R，求证：．
分析：由上题知，即，
同理：，，三式相加得证．
当且仅当a = b = c时等号成立．
评析：不等式两边的结构特征，提示我们选择“”，而该不等式对a、b∈R就可以了，未必一定要“正数”．
【例6】已知，，求证：．
分析：乍一看，要证明这个不等式好象还不太容易，仔细研究便会发现，构成这个不等式的三个部分都出现在“基本不等式”中，它们之间是有联系的．具体表现为：，，于是便不难得到证明了．
评析：本题也可以使和均向“靠拢”，或将理解为，再由“基本不等式”得证，充分体现了对“基本不等式”的理解．
【例7】已知，，且，求证：．
证法一：
证法二：，
当且仅当时等号成立．
评析：证法二之所以采用如此“配凑”，是因为“轮换式”的特征让我们知道“当且仅当时等号成立”，此时．
本题虽可用分析法证明，但上述证法显得更加灵巧，也更能体现对问题本质的认识．
【例8】若a，b，c为正数，且a + b + c = 1，求满足不等式的最小整数k．
分析：只要求出的最大值，便可确定最小整数k．仿照例7，有：
，，
即最小整数k的值为5．
从上述几例可以看到，由这道课本习题所得到的基本不等式在有关最值求解和不等式证明中的作用是显而易见的，应用过程中要注意基本不等式成立的条件，尤其是取等号的条件是否具备，否则可能会出现错解．
历年的高考中不断出现课本题的“影子”，而对课本例题、习题的引申和挖掘，更能引起学生对课本知识的重视，有利于学生打好基础，进一步明了知识的发生、发展过程，对掌握知识、提高能力是大有帮助的．

展开更多......

收起↑