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纯净淡雅，内涵厚重
-------回归课本，再现高考试题

包头土右萨一中 陈明小
2008年高考数学江苏卷第13题：
满足条件AB=2，AC=BC的△ＡＢＣ的面积的最大值是＿＿＿．
解法探究
思路１：由初中数学知识——三角形面积等于底乘高除以２切入。
设ＢＣ＝ｘ，则ＡＣ＝ｘ，作ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｄ．又设ＢＤ＝ｙ，ＡＤ＝２±ｙ，则有ＣＤ２＝ｘ２－ｙ２＝（ｘ）２－（２±ｙ）２，所以ｙ＝，
所以ＣＤ＝＝，所以＝ＡＢ×ＣＤ＝
，显然当＝１２，即ｘ＝时，三角形的面积有最大值。
思路２：由高中数学知识――正弦定理、余弦定理和三角形面积公式切入。
　　△ＡＢＣ的面积＝ＡＢ×ＢＣ×，其中AB=2为定值，ＢＣ是变量，　设ＢＣ＝ｘ，能否求出关于ｘ的目标函数呢？
事实上，＝ｘ，那么能否用ｘ表示呢？
由ＢＣ＝ｘ，得ＡＣ＝ｘ，利用余弦定理得＝，又＝，所以＝ｘ＝。则当ｘ＝时，的最大值为。
思路３：运动变化的观点――坐标法切入。
由于是定值，为求其面积的最大值，只需求出顶点Ｃ到ＡＢ边的距离的最大值即可。而AC=BC，说明点Ｃ是运动变化的，那么它的轨迹是什么？到此我们的思维“进入了”解析几何的领域。下面的解法就是自然的了：
以直线ＡＢ为ｘ轴，线段ＡＢ的垂直平分线为ｙ轴，建立如图所示的直角坐标系。由已知得Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），设Ｃ（ｘ，ｙ），由AC=BC得＝，化简得　　（ｘ≠０）
　　所以点Ｃ到ＡＢ边的距离的最大值就是点Ｃ到ｘ轴的最大值，故的最大值为。
评析与启迪
思路１只用到了初中数学中平凡的知识，但要具备一定的思维水平和运算能力；思路２是本题的一个自然解法，但过程繁琐，要有较高的运算能力；思路３用运动变化的观点审视静止的问题，吧数形结合的思想体现的淋漓尽致，正所谓：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”
本题纯净淡雅，内涵丰富．它以三角形面积为载体，巧妙地将数学的主干知识与重要数学思想方法――三角函数及其变换、函数思想、化归与转化思想、数形结合思想、静与动等有机地交汇融为一体，多种思路，彰显新意，难度不大，是不同层次的考生都能得到个性化的考查和发挥，充分体现了新的课程理念，是一道平而不俗、淡而出奇、内蕴厚重的好题。
题根探源
题根：人民教育出版社“全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上），第７８页例５“已知一曲线是与两定点Ｏ（０，０），Ａ（３，０）的距离比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出该曲线。第８５页例２和第８８页Ａ组１９题都是与题根本质相同的试题。
题根变式：
⑴　（２００５年高考数学江苏卷）　圆与圆的半径都是１，＝４，过动点Ｐ分别作圆与圆的切线ＰＭ，ＰＮ（Ｍ，Ｎ分别为切点），使得ＰＭ＝ＰＮ，
试建立适当的直角坐标系，并求动点Ｐ的轨迹方程。
　　　　　　　　　　　　　　
⑵ （2006年高考数学四川卷） 已知两定点A(-2, 0)，B(1, 0), 若动点P满足=2，则点P的轨迹所包围的面积等于 （ ）
A π B 4π C 8π D 9π
4．解题感悟
　此题的情景设计与解题思维方法都源于课本，入口浅、寓意深、思路宽，体现了“立足教材，能力立意”的命题原则，强调了知识内容和思想方法的融会贯通，突出考查基本数学素养。问题的设计给考生留有很大的思维空间，符合新课程发展的要求和高考内容改革的命题方向，具有很好的导向和引领作用。
　　该题给了我深刻的启示，中学数学教学应该重视从整体上把握主干知识，注意掌握通性通法，淡化特殊技巧，加强知识间的纵横联系，让学生感悟知识的形成与发展过程，提高对数学基本思想方法的运用和理性思维的能力。
　２００８年９月２０日

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