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5.3诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
第五章 三角函数
回顾旧知
1.任意角的三角函数定义
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
(1)正弦：点P的纵坐标叫做α的正弦函数，记作，即;
(2)余弦：点P的横坐标叫做α的正弦函数，记作，即;
(3)正切：点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作，即 .
2.诱导公式一
探究一：诱导公式二
如图所示，在平面直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作点关于原点的对称点.
情境设置
问题：设以为终边的角，角的三角函数值之间有什么关系
【解析】：设，，因为点 是点关于原点的对称点，所以.根据三角函数的定义，得， ， ，所以 ， ， .
新知生成
知识点一 诱导公式二
其中角和的终边关于原点对称.
思考：诱导公式中角只能是锐角吗
【解析】诱导公式中角可以是任意角，要注意正切函数中要求.
一、诱导公式二计算
例题1 计算下列格式的值：
(1) ；
(2) .
【解析】： (1)
(2)原式
新知运用
跟踪训练1 (1)已知 ，则( )
A. B. C. D.
(2)已知且是第四象限角，则的值是( )
A. B. C. D.
【解析】:(1)由题意 ,可得 ,则 ,故
(2)由，得， 而且是第四象限角，所以
D
B
探究一：诱导公式三
如图，在平面直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作点 关于轴的对称点.
情境设置
问题：设以为终边的角，角的三角函数值之间有什么关系
【解析】：设因为点是点关于 轴的对称点，
所以.
根据三角函数的定义得，所以
，
.
新知生成
知识点一 诱导公式三
其中角和的终边关于轴对称.
二、诱导公式三计算
例题2 (1) 计算；
(2) 化简 .
【解析】:(1)
(2) 原式
反思感悟
方法总结
三角函数式化简的常用方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.
(2)将表达式中的切函数转化为弦函数.
新知运用
跟踪训练2 化简下列各式：
(1); (2) .
【解析】(1)原式 .
(2)原式
.
探究一：诱导公式四
如图，在平面直角坐标系内，设任意角的终边与单位圆交于点，作点 关于轴的对称点.
情境设置
问题：设以为终边的角，角的三角函数值之间有什么关系
【解析】：设因为点是点关于 轴的对称点，
所以.
根据三角函数的定义得，所以
，
.
新知生成
知识点一 诱导公式四
其中角和的终边关于轴对称.
三、诱导公式四计算
例题3 (1) 已知 ，则 等于____________；
(2) 已知 ，求的值.
【解析】:(1) ，
.
(2) ，
.
反思感悟
方法总结
解决条件求值问题的策略：
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
新知运用
跟踪训练3 (1)若 且 ，则( )
A. B. C. D.
(2)已知 ，则 ________.
【解析】(1)因为 , ，
所以 ，则 .
(2) .
B
反思感悟
方法总结：诱导公式一四
利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤
(1)“负化正”——用公式一或三来转化.
(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角.
(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角.
(4)“锐求值”——得到锐角三角函数后求值.
随堂检测
1.( )
A. B. C. D.
2. 的值是( ).
A. B. C. D.
3.已知 ，且 是第四象限角，那么 的值是( ).
A. B. C. D.
4. 已知 ， ，则 __________.
C
D
B
课堂小结
1.知识清单：
(1)特殊关系角的终边对称性.
(2)诱导公式二～四.
2.方法归纳：公式法、角的构造.
3.常见误区：符号的确定.

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