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高一上学期期末数学试卷（基础篇）
【人教A版（2019）】
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：必修第一册全册；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
2．（5分）（2023上·重庆·高一统考期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）（2023上·上海浦东新·高三统考期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2023上·福建宁德·高一校考期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
6．（5分）（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（2023上·吉林长春·高一校考期末）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023下·湖南株洲·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．的充要条件是
D．若，则至少有一个大于1
10．（5分）（2023上·四川成都·高一校联考期末）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）（2023上·江苏淮安·高一统考期末）下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，且，则的最小值为4
12．（5分）（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增
第Ⅱ卷
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 .
14．（5分）（2023上·广东深圳·高一校考期末）已知的终边上有一点，则的值为 .
15．（5分）（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数经过一、三、四象限，则的取值范围分别是 .
16．（5分）（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023上·青海西宁·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
18．（12分）（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知，，.
(1)求，及；
(2)若，求的取值范围.
19．（12分）（2023上·陕西西安·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
20．（12分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数m的值；
(2)正实数a，b满足，求的最小值．
21．（12分）（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
22．（12分）（2023下·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式，判断在上的单调性并证明；
(2)解不等式．
高一上学期期末数学试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知集合，那么（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据交集运算可得解.
【解答过程】因为，
所以．
故选：D.
2．（5分）（2023上·重庆·高一统考期末）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解题思路】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【解答过程】命题“，”的否定是：，.
故选：A.
3．（5分）（2023上·上海浦东新·高三统考期末）如果，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据不等式的性质并结合特殊值法，即可逐项判断.
【解答过程】对A、B：由，不妨设，，则，，故A、B项错误；
对于C：由，所以，故C项错误；
对于D：由，所以，故D项正确.
故选：D.
4．（5分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）下列函数是奇函数，且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据幂函数和指数函数的图象和性质即可逐个选项判断.
【解答过程】反比例函数，，所以A错误；
是奇函数，且在上单调递增，B正确；
，不是奇函数，C错；
，因为，
所以不是奇函数，D错.
故选：B.
5．（5分）（2023上·福建宁德·高一校考期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
【解题思路】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.
【解答过程】由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为.
故选：C.
6．（5分）（2023上·甘肃定西·高一统考期末）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据指对数的性质判断的大小关系.
【解答过程】由，
故选：C.
7．（5分）（2023上·吉林长春·高一校考期末）若，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据求解即可.
【解答过程】因为，，所以，
因为，，所以，
又因为，所以.
所以
.
故选：B.
8．（5分）（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，，对，且有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设出函数，根据题意得出函数的性质，从而解决问题.
【解答过程】解：因为是定义在上的奇函数，
所以
所以函数是定义在上的偶函数，
因为对，且有，
所以在上单调递增，
所以，
当时，则有，
所以，即，
所以在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以在上单调递减，
因为，
所以即为，
所以，解得.
故选：B.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023下·湖南株洲·高一统考期末）下列命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．的充要条件是
D．若，则至少有一个大于1
【解题思路】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可.
【解答过程】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件；
对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确；
对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误；
对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确；
故选：BD.
10．（5分）（2023上·四川成都·高一校联考期末）下列函数中，既是奇函数，又在定义域内是增函数的有（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由对勾函数的性质可判断A项，由偶函数定义可判断B项，由奇函数定义及单调性的性质可判断C项、D项.
【解答过程】对于A项，由对勾函数的性质可知，在定义域内不是增函数，故A项不成立；
对于B项，因为，所以为偶函数，故B项不成立；
对于C项，因为，所以为奇函数，
又因为在上是增函数，在上是减函数，
所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故C项成立；
对于D项，因为，所以为奇函数，
又因为在上是增函数，在上是增函数，
所以由单调性的性质可知，在上是增函数，故D项成立.
故选：CD.
11．（5分）（2023上·江苏淮安·高一统考期末）下列结论中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，，且，则的最小值为4
【解题思路】对于A、B，利用不等式的性质进行判断；对于C，利用作差比较法进行判断；对于D，利用基本不等式结合“1”的妙用进行判断.
【解答过程】对于A，若，则成立，故A正确；
对于B，若，则，成立，即成立，故B正确；
对于C，由以及选项A，，即成立，故C错误；
对于D，若，，且，则，当时取等号，则的最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
12．（5分）（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）已知函数，下列四个结论中，正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称 D．函数在上单调递增
【解题思路】利用正弦函数的性质，结合函数解析式，研究函数的周期、对称轴对称中心和单调区间.
【解答过程】函数，最小正周期，A选项正确；
由，解得函数的图象的对称轴方程为，
当时，得函数的图象关于直线对称，BC选项错误；
时，，是正弦函数的单调递增区间，所以函数在上单调递增，D选项正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 .
【解题思路】根据集合间的包含关系即可求解.
【解答过程】由于，所以，
故答案为：.
14．（5分）（2023上·广东深圳·高一校考期末）已知的终边上有一点，则的值为 .
【解题思路】根据三角函数的定义，得到，再利用三角函数的诱导公式和基本关系式，准确化简、运算，即可求解.
【解答过程】因为的终边上有一点，可得
则.
故答案为：.
15．（5分）（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数经过一、三、四象限，则的取值范围分别是 .
【解题思路】根据给定条件，借助函数单调性确定，由函数图象与y轴交点位置确定即得.
【解答过程】函数经过一、三、四象限，则随的增大，函数图象上升，
即函数在定义域上单调递增，则，
函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴上，则，解得，
所以的取值范围分别是.
故答案为：.
16．（5分）（2023上·上海奉贤·高一统考期末）已知，.方程的解集为，其中，则不等式的解集为 .
【解题思路】根据根与系数关系求得关于的表达式，进而求得不等式的解集.
【解答过程】方程的解集为，其中，
所以，
则不等式可化为：，
即，由于，所以，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023上·青海西宁·高一统考期末）计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【解题思路】（1）利用分数指数幂和根式运算法则计算即可；
（2）利用对数运算法则计算即可.
【解答过程】（1） ；
（2）．
18．（12分）（2023上·湖南娄底·高一校考期末）已知，，.
(1)求，及；
(2)若，求的取值范围.
【解题思路】（1）根据定义，直接进行集合的交并补运算；
（2）根据集合的包含关系，求的取值范围
【解答过程】（1）已知，，
则有，，.
（2），，
，则，即的取值范围为.
19．（12分）（2023上·陕西西安·高一统考期末）已知是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)若函数在区间单调递增，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）由奇函数的定义和已知区间上的解析式，可得所求解析式；
（2）作出函数的图象，从而得函数的单调递增区间，根据题意列不等式，即可得答案.
【解答过程】（1）解：设，则，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又因函数是定义在上的奇函数，可得，
所以函数在上的解析式为.
（2）解：作出函数的图象，如图所示，
由函数图象可知，在上单调递增，
要使函数在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
20．（12分）（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数m的值；
(2)正实数a，b满足，求的最小值．
【解题思路】（1）根据根与系数的关系，即可求得答案；
（2）由（1）可得，结合“1”的巧用，再利用基本不等式，即可求得答案.
【解答过程】（1）由题意可得和2是方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得．
（2）正实数a，b满足，由（1）可得，
所以，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
所以的最小值为9．
21．（12分）（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数
(1)求的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，求的最小值及取得最小值时对应的的取值.
【解题思路】（1）根据正弦型三角函数的最小正周期与单调区间求法计算直接得出答案；
（2）根据正弦型三角函数的在区间上最值的求法直接得出答案.
【解答过程】（1）因为，故的最小正周期为；
由，得：，
故的单调递增区间为：.
（2）因为，故，则，
故当，即时，取最小值.
22．（12分）（2023下·安徽六安·高二六安一中校考期末）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式，判断在上的单调性并证明；
(2)解不等式．
【解题思路】（1）根据奇函数的定义求得函数解析式，再由单调性的定义证明单调性；
（2）利用奇偶性变形不等式，然后由单调性化简后求解．
【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得：，
∴，而，解得，
∴，．
函数在上为增函数；证明如下：
任意，且，
则，
因为，所以，又因为，，所以，
所以，即，所以函数在上为增函数．
（2）由题意，不等式可化为，
即解不等式，所以，
所以，解得所以该不等式的解集为．

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