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2022-2023学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数为奇函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，的零点分别为，，，则( )
A. B. C. D.
7.若不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则方程的实数解的个数至多是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，若是的充分条件，则可以是( )
A. B. C. D.
10.若且，则( )
A. B. C. D.
11.已知，，，则( )
A. B. C. D.
12.已知定义在上的函数不恒等于零，，且对任意的，，有，则( )
A. B. 是偶函数
C. 的图象关于点中心对称 D. 是的一个周期
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______ ．
14.已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______ ．
15.若关于的方程有解，则的取值范围为______ ．
16.声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数，某技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足，其中则 ______ 参考数据：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
若，求的值；
判断函数的奇偶性并证明．
18.本小题分
已知函数．
根据定义证明函数在单调递减；
若不等式对一切实数都成立，求的取值范围．
19.本小题分
某同学用“五点法”画函数，在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：
请将如表数据补充完整，并根据表格数据做出函数在一个周期内的图像；
将的图形向右平移个单位长度，得到的图像，若的图像关于轴对称，求的最小值．
20.本小题分
中国梦蕴含航天梦，航天梦助力中国梦年月日时分，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心成功点火发射，实现了神舟十五号航天员乘组与神舟十四号航天员乘组太空在轨轮换已知火箭起飞质量单位：是箭体质量单位：和燃料质量单位：之和在发射阶段，不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度单位：和的函数关系是，其中，为常数，且当燃料质量为时，火箭的最大速度为已知某火箭的箭体质量为，当燃料质量为时，该火箭最大速度为．
求该火箭的最大速度与起飞质量之间的函数关系式；
当燃料质量至少是箭体质量的多少倍时，该火箭最大速度可达到？
21.本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求函数的解析式；
当时，对于给定的实数，若方程有解，则记该方程所有解的和为，求的所有可能取值．
22.本小题分
已知函数，．
当时，解不等式；
证明：当时，函数有唯一的零点，且恒成立．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
则．
故选：．
由已知结合集合交集运算即可求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为命题：，，所以的否定是，．
故选：．
根据含有量词的命题否定方法来求解．
本题考查含有量词的命题否定，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
根据换底公式将写为，再用对数运算法则展开，将，代入即可．
本题主要考查了对数的运算性质及换底公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：终边与单位圆交于点，
则，，
故则．
故选：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为函数的定义域为，且为奇函数，
所以，故．
不等式，即，转化为，即，，解得．
故选：．
根据是奇函数求出参数的值，求解不等式．
本题考查函数的奇偶性的性质的判断与应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得函数，，在定义域内都是增函数，
又，
而中的，
令，
，，的大小顺序为：，
故选：．
结合函数单调性，根据零点的定义列方程，确定各函数零点的正负情况，即可比较，，的大小．
本题考查了函数的零点、指数函数、幂函数及对数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集为，
而开口向上，所以有，
且最小值大于，即，解得：，
且的两个根为，，
所以，解得：，，
当时，不符合，应舍去，
所以，所以．
故选：．
由题意得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，，列出相应不等式，找到关于，的范围，根据韦达定理解出，的值，计算即可．
本题考查了一元二次不等式与对应函数和方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】详：设，则可化为，
又，
所以，，
如图为函数的大致图象：
由图可得，当时，有两个根，，
即或，此时方程最多有个根；
当时，有三个根，
即或或，此时方程最多有个根；
当时，有两个根，即或，此时方程有个根；
当时，有一个根，即，此时方程有个根；
综上，方程的实数解的个数至多是个．
故选：．
根据复合方程问题，换元，作函数图象分别看内外层分别讨论方程根的个数情况，即可得答案．
本题考查了套函数的零点问题，也考查了转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，作出图象是关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为是的充分条件，
所以，所以有．
故选：．
根据充分条件的概念，得出集合之间的包含关系，即可得出的范围，选出选项．
本题考查了充分必要条件的判断，是一道基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，因为且，所以，所以，即，不正确；
对于，由选项A可知，所以，即，B正确；
对于，由于，异号，所以，所以，由于等号只能在时取到，所以，即，C正确；
对于，因为，所以，D正确．
故选：．
由且，得出，结合作差比较法和基本不等式可得答案．
本题主要考查了不等式的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为且，
所以，
所以，即，
又函数，在上单调递增，，
则，故A正确，C正确；
因为，所以，
又函数，在上单调递减，所以，故B不正确；
因为，，所以，
所以，
又，所以，故D不正确．
故选：．
根据平方公式、二倍角公式、和差角公式，结合正弦函数与余弦函数的单调性，逐项判断即可．
本题主要考查了二倍角公式，同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：项，令得，
则有，
又函数不恒等于零，所以，选项A正确；
项，令得，
所以，故函数是偶函数，选项B正确；
对于，项，令，得，
即，，
所以函数是周期函数，且周期为，选项D错误；
又是偶函数，即，
所以，
即，所以的图象关于点对称，选项C正确．
故选：．
分别给，取适当值代入条件，通过代数表达式判断函数性质．
本题考查抽象函数问题，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，则．
故答案为：．
由题意，根据函数解析式凑项法求得的解析式，从而可求的值．
本题主要考查求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：记扇形的半径为，因为圆心角，弧长，
所以，即，解得，
所以扇形的面积．
故答案为：．
根据圆心角和弧长求得半径，根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果．
本题主要考查了扇形的弧长及面积公式的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为与同号，所以关于的方程等价于，
，当且仅当，即时取“”，
所以的取值范围是为．
故答案为：．
根据与同号，把方程化为，利用基本不等式求出的取值范围．
本题考查了绝对值的定义与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：，
．
，即．
再由，可得或．
根据图像可得得最小正周期为．
当时，，
满足，最小正周期为．
当时，，
故此时是的一个周期，不符合图像．
综上可得．
故答案为：．
由已知可求，结合，可求得或，可求当时，，此时是的一个周期，不符合图像，即可得解的值．
本题考查了三角函数的图象和性质，由的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想和函数思想，属于中档题．
17.【答案】解：由，可得，即，解得舍或，解得．
为奇函数．
证明：因为的定义域为，且，
故函数为奇函数证毕．
【解析】由可得，解指数方程即可求解；
求出，结合奇函数的定义即可判断．
本题考查函数的奇偶性的性质的判断与应用，属于基础题．
18.【答案】解：证明：任取，
则，
因为，所以，
所以，
即，故函数在单调递减；
因为函数的定义域为，所以，故为奇函数，
由知函数在单调递减，
任取，
则，
因为，所以，，，所以，
即，故函数在单调递增；
所以此时，又且是方程唯一的根，
所以时，，又为奇函数，所以，
不等式对一切实数都成立，则．
即的取值范围是．
【解析】根据函数单调性步骤取值、作差、变形、定号、下结论证明即可；
判断函数的奇偶性，结合单调性求解函数的最值，即可得的取值范围．
本题考查函数的单调性和应用，以及不等式恒成立问题解法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
19.【答案】解：
由表中数据可得，，，所以，则，
当时，，则，所以，
由题意可得，，
因为的图像关于轴对称，
则，，
解得，，
且，所以当时，．
【解析】根据表格，分别求得，，，即可得到函数的解析式，从而得到其函数图像；
根据题意，由函数图像变换，列出方程即可求得的最小值．
本题主要考查五点法作函数的图象，函数的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：火箭的最大速度单位：和的函数关系是，
又时，，；时，，，
，解得，，
；
设且，则，
又，
当时，，即，解得，
故燃料质量至少是箭体质量的倍时，该火箭最大速度可达到．
【解析】由题意得，可得，，即可得出答案；
设且，根据中关系式，代入即可解得的值，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：
，
当，，
所以的最大值为，
令，解得，
所以；
当，，
令，则，的图像大致如下：
由图像可知有解时根的数量有四种，分别是根、根、根、根，
根据对称性，当根时，，即，此时，
当根时，，即，此时，
当根时，，即，此时，
当根时，，即，此时，
或，即，此时，
所以的所有可能取值有，，．
【解析】对等式右侧进行变形，而后利用辅助角公式进行变化；
对函数进行换元，结合图像进行分析．
本题主要考查正弦函数相关性质，属中档题．
22.【答案】解：当时，，
因为，
所以，
即，
解得，
故不等式的解集为；
证明：易知与均为增函数，
所以函数在上单调递增，
当时，，，
所以存在唯一的，使得，
即函数有唯一零点，
此时，
即，
所以，
此时，
则，
因为，
所以，
此时，当且仅当，时，等号成立，
当时，由，
可得，
解得，所以等号不成立，
故．
【解析】由题意，将代入函数的解析式中，利用对数型函数的单调性直接求解即可；
易得函数在上单调递增，利用零点存在性定理可知存在唯一，利用，整理得，结合均值不等式及等号成立条件进行求证即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力．
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