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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题七 整式的加减运算及求值
一、整式的加减：（1）去括号，（2）合并同类项
【例1-1】1．化简：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y）．
【例1-2】已知多项式A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2﹣mba+3．
（1）求A﹣2B，老师展示了一位同学的作业如下：
解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（2b2﹣ab）…第一步
＝4ab﹣5+b2﹣4b2﹣2ab…第二步
＝﹣3b2+2ab﹣5…第三步
回答问题：这位同学从第 　 　步开始出现错误，错误原因是 　 　；
（2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值．
【例1-3】化简
(1)
(2)
针对练习1
1．一个多项式A加上多项式，马虎同学将加号抄成了减号，计算结果是（计算过程无误），则多项式A是 ．
2．某式减去，小明因误认为加上此式，所以得答案是，那么正确的答案是 ．
3．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为 ．
4．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：
(1)求所捂的多项式；
(2)当，时，求所捂的多项式的值．
整式的化简求值
类型一、先化简，再代入
【例2-1】解答题．
(1)求代数式与的差；
(2)先化简再求值：，其中，．
【例2-2】先化简，再求值（其中，）．
针对练习2
1．先化简，再求值：，其中．
2．先化简，再求值：若与互为相反数，求的值．
3．先化简，再求值：，其中a，b满足．
类型二、先变形，再整体代入
方法点拨：根据已知条件不能确定字母具体的值的整式求值问题，应该先分析题目特点，找出已知与所求之间的内在联系，将原式变形，使其符合已知中的“整体”，将整体当成新字母代入求值。
【例3-1】阅读材料：整体思想是数学解题中一种重要思想方法，在多项式化简与求值应用广泛，如把看成一个整体，．根据以上方法解答下列问题：
(1)用整体思想化简：；
(2)若，求的值；
(3)已知：，，求代数式的值．
【例3-2】数学中，运用整体思想在多项式的化简与求值中极为广泛，且非常重要．
例如：已知：，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，．求代数式的值．
针对练习3
1．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若，则________；
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题
(1)如果，求的值；
(2)若，，求的值；
(3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值（请用含有m的代数式表示）．
2．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式．咱仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若，求的值：
(2)若，，求的值．
3．【教材呈现】下题是某某版七年级上册数学教材的一道练习：
代数式的值为8，则代数式的值为__________．
【阅读理解】小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下：
由题意得，则有，
所以
所以代数式的值为．
【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题：
（1）若代数式的值为2，求代数式的值；
（2）当时，代数式的值为9，当时，求代数式的值；
【拓展应用】
（3）若，，则代数式的值为__________．
4．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是多少？
(2)已知，求的值；
(3)拓广探索：已知求的值．
类型三、与绝对值有关的化简求值
【例4-1】如图所示，已知点A,B,C 在数轴上，对应表示的数是a,b,c.
（1）填空：A、B 之间的距离为 ；B、C 之间的距离为 ；A、C 之间的距离为 ；
（2）化简：|a+b|-|c-b|-|b-a|+|c|
（3）若 c2=9,-b 的倒数是它本身，a 的绝对值是 2，求（2a+b）-(c-b)-（a+2b-3c）的值.
【例4-2】数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．
利用上述结论，回答以下问题
（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=______；
（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1
①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为______；
②若该两点之间的距离是3，那么x值为______；
（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．
针对练习4
1．数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题：
（1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ；
（2）对于任何有理数x，的最小值是 ；
（3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ．
2．已知、两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示，的点，并用“<”连接，，，．
（2）若的绝对值等于3，的倒数等于它本身，化简求值：．
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C，

(1)在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为 ；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为 ；由此可得点A、B之间的距离为 ．
(2)化简：；
(3)若，的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是，求的值．
4．已知在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C．
(1)在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________；
(2)化简：；
(3)若，的倒数是它本身，的绝对值的相反数是，求的值．
类型四、利用“无关”求值与说理
方法点拨：要说明一个代数式的值与某个字母的取值无关，需先对原式化简，得出结果不含这个字母的一个式子即可，即含这个字母的式子的系数为0.
【例5-1】（1）先化简，再求值，其中
（2）已知．
①当时，求代数式的值；
②若代数式的值与的取值无关，求的值．
【例5-2】已知代数式．
(1)若，求的值；
(2)若的值与y的取值无关，求m的值．
【例5-3】有这样一道题：关于的多项式与的和的值与字母的取值无关，求的值．通常的解题方法是：两式相加后，把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即，所以，则．
【初步尝试】
（1）若关于的多项式的值与无关，求的值．
【深入探究】
（2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为．
①若，求的值．
②当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
针对练习5
1．已知：关于的多项式的值与的取值无关．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．先化简，在求值：已知代数式，
(1)求，其中，
(2)若的值与无关，求的值．
3．小丽周末准备完成题目：化简求值：，其中，发现系数印刷不清楚．
(1)她把猜成8，请你化简，并求当时式子的值；
(2)她爸爸说她猜错了，标准答案的化简结果不含二次项，请你通过计算说明原题中的是多少？
4．已知多项式化简后不含项，求多项式的值．
5．（1）先化简再求值：，其中，满足；
（2）已知、都是关于的整式，其中，小明在计算多项式结果的时候，不小心把表示的多项式弄脏了，现在只知道的结果：．
①请根据仅有的信息求出表示的多项式；
②若多项式中不含项，求的值．
类型五、利用“看错”系数求值
方法点拨：要确定一个代数式的值或某个系数的正确值，需先对原式根据错误的结果化简，得出对应的结果即可。
【例6-1】姐姐在认真学习的时候，调皮的二宝把姐姐的一道求值题弄污损了，姐姐隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果姐姐把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助姐姐确定“”中的数值．
【例6-2】阳阳准备完成题目：（）（），发现系数“”印刷不清楚．
（1）他把“"猜成3，请你化简：．
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，不含有二次项”假设“”是a，请通过计算求a的值．
针对练习6
1．王琦同学在自习课准备完成以下题目：化简，发现系数“”印刷不清楚，
(1)他把“”猜成，请你化简
(2)老师见到说：“你猜错了，我看到该题正确答案是常数”，请你通过计算说明原题中“”是多少？
2．嘉淇完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1），发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成﹣1，化简（﹣x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）；
（2）根据父亲提出的两个问题，请帮助嘉淇求出“□”的值：
①父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？”
②父亲又说：“若代入x＝﹣1，则这个式子的值是﹣2，你能求出“□”的值吗？
3．嘉淇准备完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2），发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题七 整式的加减运算及求值
一、整式的加减：（1）去括号，（2）合并同类项
【例1-1】化简：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y）．
【分析】先去掉小括号，再合并同类项计算．
【解答】解：x2﹣（5x2﹣4y）+3（x2﹣y）
＝x2﹣5x2+4y+3x2﹣3y
＝（x2﹣5x2+3x2）+（4y﹣3y）
＝﹣x2+y．
【点评】本题考查了整式的加减，关键用合并同类项的方法计算．
【例1-2】已知多项式A＝4ab﹣5+b2，B＝2b2﹣ab，C＝﹣2b2﹣mba+3．
（1）求A﹣2B，老师展示了一位同学的作业如下：
解：A﹣2B＝（4ab﹣5+b2）﹣2（2b2﹣ab）…第一步
＝4ab﹣5+b2﹣4b2﹣2ab…第二步
＝﹣3b2+2ab﹣5…第三步
回答问题：这位同学从第 　二　步开始出现错误，错误原因是 　去括号时，括号前是“﹣”，括号里后一项没有改变符号　；
（2）若A﹣C的结果与字母a的取值无关，求m的值．
【分析】（1）根据整式的加减的运算法则进行分析即可；
（2）利用整式的相应的法则对式子进行整理，再求解即可．
【解答】解：（1）这位同学从第二步开始出现错误，错误原因是：去括号时，括号前是“﹣”，括号里后一项没有改变符号．
故答案为：二；去括号时，括号前是“﹣”，括号里后一项没有改变符号；
（2）A﹣C
＝4ab﹣5+b2﹣（﹣2b2﹣mba+3）
＝4ab﹣5+b2+2b2+mba﹣3
＝（4+m）ab+3b2﹣8，
∵结果与字母a的取值无关，
∴4+m＝0，
解得：m＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【例1-3】化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减．掌握整式的加减运算法则是解答本题的关键．
（1）去括号，再合并同类项即可；
（2）去括号，再合并同类项即可．
【详解】（1）解：原式
（2）原式
针对练习1
1．一个多项式A加上多项式，马虎同学将加号抄成了减号，计算结果是（计算过程无误），则多项式A是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了整式的加减，掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键．
根据题意可得，即可得到多项式A．
【详解】解：由题意得：，
．
故答案为：
2．某式减去，小明因误认为加上此式，所以得答案是，那么正确的答案是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的加减运算，根据题意先求某式，再列式计算正确的结果．
【详解】解：依题意得：某式
，
∴
.
故答案为：．
3．墨迹覆盖了等式“”中的多项式，则覆盖的多项式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的加减运算，因为，所以覆盖的多项式等于，即可作答．
【详解】解：依题意，
因为墨迹覆盖了等式“”中的多项式，
所以覆盖的多项式为，
故答案为：．
4．老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式形式如下：
(1)求所捂的多项式；
(2)当，时，求所捂的多项式的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的运算法则以及已知字母的值求代数式的值，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
（1）根据整式的运算法则即可求出答案；
（2）把的值代入，再根据有理数的运算法则即可求出答案．
【详解】（1）解：所捂的多项式为：
；
（2）解：当，时，
．
整式的化简求值
类型一、先化简，再代入
【例2-1】解答题．
(1)求代数式与的差；
(2)先化简再求值：，其中，．
【答案】(1)
(2)，7
【分析】（1）本题考查整式的加减运算，去括号，合并同类项进行计算即可；
（2）本题考查整式加减中的化简求值，去括号，合并同类项后，代值计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）原式；
当，时，原式．
【例2-2】先化简，再求值（其中，）．
【答案】，原式
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去小括号和中括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
．
当，，原式．
针对练习2
1．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，再代入进行计算即可，熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．先化简，再求值：若与互为相反数，求的值．
【答案】，
【分析】本题考查整式的化简求值，相反数、绝对值的非负性、偶次方的非负性；根据整式的加减运算法则进行化简，然后将与的值代入化简后的式子即可求出答案．
【详解】解：
，
由题意可知：，，
，，
原式
．
3．先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】，2
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，原式去括号合并得到最简结果，再根据非负数的性质求出a与b的值并代入计算即可求出结果．
【详解】解：
，
，
，，
，，
原式
．
类型二、先变形，再整体代入
方法点拨：根据已知条件不能确定字母具体的值的整式求值问题，应该先分析题目特点，找出已知与所求之间的内在联系，将原式变形，使其符合已知中的“整体”，将整体当成新字母代入求值。
【例3-1】阅读材料：整体思想是数学解题中一种重要思想方法，在多项式化简与求值应用广泛，如把看成一个整体，．根据以上方法解答下列问题：
(1)用整体思想化简：；
(2)若，求的值；
(3)已知：，，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)6
【分析】本题考查了整式的化简求值．掌握整体的思想是解决本题的关键．
（1）把看成一个整体，利用合并同类项法则计算；
（2）变形为，变形得，再整体代入求值即可；
（3）先把，两个等变形为，， 再将两个等式相减即可得出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
．
．
；
（3）解：∵，，
∴，，
∴，
∴．
【例3-2】数学中，运用整体思想在多项式的化简与求值中极为广泛，且非常重要．
例如：已知：，则代数式．
请你根据以上材料解答以下问题：
(1)若，求的值；
(2)已知，．求代数式的值．
【答案】(1)
(2)3
【分析】本题考查了整式化简求值，已知式子的值求代数式的值以及整体代入思想：
（1）根据整体思想代入计算即可求解；
（2）根据已知条件，由整理得，再把和分别代入即可作答；
解决本题的关键是灵活运用整体代入思想化简式子．
【详解】（1）解：因为
所以，
则的值为；
（2）解：∵，，
∴
∴
．
针对练习3
1．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若，则________；
我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题
(1)如果，求的值；
(2)若，，求的值；
(3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值（请用含有m的代数式表示）．
【答案】(1)20
(2)26
(3)
【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，代数式求值，解题的关键是：
（1）将直接代入计算；
（2）将变形为，再整体代入计算；
（3）先把代入原式得到，进而求出当时，代数式的值．
【详解】（1）解：，
；
（2）∵，，
；
（3）时，
，
∴，
时，．
2．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若，则；我们将作为一个整体代入，则原式．咱仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)若，求的值：
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式加减化简求值：
（1）把化为的形式，然后整体代入计算；
（2）得，再把化为的形式，最后整体代入计算；
掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键．
【详解】（1）解：，
因为，
所以，
所以；
（2）解：依题意，，
故得，
那么，
所以．
3．【教材呈现】下题是某某版七年级上册数学教材的一道练习：
代数式的值为8，则代数式的值为__________．
【阅读理解】小明在做作业时采用整体代入的方法，解答如下：
由题意得，则有，
所以
所以代数式的值为．
【解决问题】请运用小明的方法解决下列问题：
（1）若代数式的值为2，求代数式的值；
（2）当时，代数式的值为9，当时，求代数式的值；
【拓展应用】
（3）若，，则代数式的值为__________．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先求解，再把原式化为，再整体代入进行计算即可；
（2）先求解，再求解当时，结合，整体代入即可；
（3）先去括号，化简代数式可得结果为，而，，可得，再整体代入计算即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴
．
（2）当时，代数式的值为9，
∴，
∴，
∴，
当时，
；
（3）
，
∵，，
∴，
∴原式
．
【点睛】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，求解代数式的值，掌握“整体代入法求解代数式的值”是解本题的关键．
4．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
(1)把看成一个整体，合并的结果是多少？
(2)已知，求的值；
(3)拓广探索：已知求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】本题考查了整式的加减，掌握整体的思想是解决本题的关键．
（1）把看成一个整体，合并同类项即可；
（2）把的前两项提取公因式3，然后整体代入求值；
（3）把式子先去括号，再利用加法的交换结合律变形为、、和的形式，最后整体代入求值．
【详解】（1）
（2）∵，
原式
（3）
原式
类型三、与绝对值有关的化简求值
【例4-1】如图所示，已知点A,B,C 在数轴上，对应表示的数是a,b,c.
（1）填空：A、B 之间的距离为 ；B、C 之间的距离为 ；A、C 之间的距离为 ；
（2）化简：|a+b|-|c-b|-|b-a|+|c|
（3）若 c2=9,-b 的倒数是它本身，a 的绝对值是 2，求（2a+b）-(c-b)-（a+2b-3c）的值.
【答案】（1）a b，b c，a c；（2）b；（3）.
【分析】（1）根据两点间距离公式可得；
（2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可得；
（3）根据a、b、c在数轴上的位置，结合题目条件得出c＝ 3，b＝ 1，a＝2，再将其代入化简后的式子计算即可
【详解】解：（1）由数轴可知，A、B之间的距离为a b，B、C之间的距离为b c，A、C之间的距离为a c，
故答案为a b，b c，a c；
（2）由数轴可知，c＜b＜0＜a，，
∴原式＝a＋b＋c b a＋b c＝b；
（3）由题意得c＝ 3，b＝ 1，a＝2，
原式，
当c＝ 3，a＝2时，
原式.
【点睛】本题主要考查数轴、绝对值性质、整式加减的化简求值，根据数轴和题目条件判断出a、b、c的大小关系和数值是解题的关键．
【例4-2】数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为．
利用上述结论，回答以下问题
（1）若点A在数轴上表示－3，点B在数轴上表示1，那么AB=______；
（2）若数轴上两点C、D表示的数为x、－1
①C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为______；
②若该两点之间的距离是3，那么x值为______；
（3）若数轴上表示a的点位于－5和2之间，化简．
【答案】（1）4；（2）①；②2或-4；（3）
【分析】（1）直接根据数轴上的两点距离公式可进行求解；
（2）①利用数轴上的两点距离可直接进行求解；②由①可得，进而问题可求解；
（3）由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：（1）由题意得：；
故答案为4；
（2）①由题意得：C、D两点之间的距离可用含x的式子表示为；
②由①及题意得：，
∴或，
∴或；
故答案为；2或-4；
（3）∵数轴上表示a的点位于－5和2之间，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上的两点距离及绝对值方程是解题的关键．
针对练习4
1．数轴上两点之间的距离等于这两个点所对应的数的差的绝对值，例如：点A、B在数轴上对应的数分别是a、b，则点A、B两点间的距离表示为，利用上述结论，回答以下问题：
（1）若点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，那么 ；
（2）对于任何有理数x，的最小值是 ；
（3）对于任何有理数x，当 时，有最小值是 ．
【答案】 3 5 2 4
【分析】（1）直接根据求解即可；
（2）根据绝对值的意义即可求解；
（3）同样根据绝对值的几何意思求解即可．
【详解】解：（1）点A在数轴上表示，点B在数轴上表示1，
，
故答案为：；
（2）根据绝对值的意义知是到和的距离之和，
当有理数x的范围在和之间时，取到最小值为：5；
故答案为：5；
（3）的几何意义是：数轴上表示数的点到表示、2、3的三点的距离之和，只有当时，距离之和才是最小为：4．
故答案为：2，4．
【点睛】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值方程，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键．
2．已知、两数在数轴上表示如图．
（1）试在数轴上找出表示，的点，并用“<”连接，，，．
（2）若的绝对值等于3，的倒数等于它本身，化简求值：．
【答案】（1）画图见解析，；（2）当时，化简结果值为5；当时，化简结果值为9；当时，化简结果值为9；当时，化简结果值为5.
【分析】（1）利用相反数的含义，确定表示的点，再按照右边的数大于左边的数，用“＜”连接即可；
（2）由的绝对值等于3，的倒数等于它本身，可得 再分情况讨论即可得到答案.
【详解】解：（1）利用相反数的含义确定表示的点如图示，
所以
（2） 的绝对值等于3，的倒数等于它本身，
当时，
当时，
当时，
当时，
【点睛】本题考查的是相反数的含义，利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，整式的加减运算，代数式的值，熟悉以上基础知识是解题的关键.
3．已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C，

(1)在数轴上表示2的点与表示5的点之间的距离为 ；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为 ；由此可得点A、B之间的距离为 ．
(2)化简：；
(3)若，的倒数是它本身，a的绝对值的相反数是，求的值．
【答案】(1)3，2，
(2)
(3)
【分析】（1）根据两点间距离公式可得；
（2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可得；
（3）根据a、b、c在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可．
本题主要考查数轴、绝对值性质、整式的化简求值，根据数轴和题目条件判断出a、b、c的大小关系和数值是解题的关键．
【详解】（1）解：，所以表示2的点与表示5的点之间的距离为；
，所以表示的点与表示的点之间的距离为；
所以，点A、B之间的距离为；
故答案为：3，2，；
（2）解：由数轴可知，，，，，
；
（3）解：，的倒数是它本身，的绝对值的相反数是，
，，，
．
4．已知在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为A、B、C．
(1)在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________；在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为________；
(2)化简：；
(3)若，的倒数是它本身，的绝对值的相反数是，求的值．
【答案】(1)3；4；
(2)
(3)
【分析】（1）根据两点间距离公式可得；
（2）结合数轴根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可得；
（3）根据a、b、c在数轴上的位置，结合题目条件得出，，，再将其代入化简后的代数式即可．
【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示的点之间的距离为，
在数轴上表示的点与表示的点之间的距离为．
（2）∵，，，
∴，，，
；
（3）由在数轴上的位置可知
又 ∵，的倒数是它本身，的绝对值的相反数是，
∴，，，
∴
．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，绝对值的化简，整式的加减运算的应用，以及化简求值，熟练的化简绝对值是解本题的关键．
类型四、利用“无关”求值与说理
方法点拨：要说明一个代数式的值与某个字母的取值无关，需先对原式化简，得出结果不含这个字母的一个式子即可，即含这个字母的式子的系数为0.
【例5-1】（1）先化简，再求值，其中
（2）已知．
①当时，求代数式的值；
②若代数式的值与的取值无关，求的值．
【答案】（1），（2）①②
【分析】本题考查整式的加减和化简求值，
（1）先根据去括号法则去括号，再合并同类项，然后代入计算．
（2）①先计算的值，再代入求值即可，②根据题意，得即可．
解题关键是熟知整式的加减运算法则并准确计算．
【详解】解：1．
，
当时，
原式
；
2．（1）
当时
原式，
（2）的值与的取值无关，
，
．
【例5-2】已知代数式．
(1)若，求的值；
(2)若的值与y的取值无关，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则．
（1）先化简，然后再代入求值即可；
（2）将变形为，然后根据结果与y的取值无关得到进而求解．
【详解】（1）解：由题意可知：
，
∵，
∴原式．
（2）解：由(1)可知：，
∵结果与y的取值无关，
∴，
解得：．
【例5-3】有这样一道题：关于的多项式与的和的值与字母的取值无关，求的值．通常的解题方法是：两式相加后，把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即，所以，则．
【初步尝试】
（1）若关于的多项式的值与无关，求的值．
【深入探究】
（2）7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为．
①若，求的值．
②当的长变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系．
【答案】（1）；（2）①；②
【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键．
（1）根据含x项的系数为0建立方程，解方程即可得；
（2）①设，先求出，从而可得的值．；
②根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与x的值无关，由此即可得．
【详解】解：（1）
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，
解得．
（2）①设，
∵，
∴由图可知，，
，
则．
②设，
由图可知，，
则
．
当的长变化时，的值始终保持不变，
的值与的值无关，
，
．
针对练习5
1．已知：关于的多项式的值与的取值无关．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了整式的加减中的无关题型、整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减的运算法则是解此题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可化简，再根据多项式的值与的取值无关得出，，进行计算即可求解；
（2）先去括号，再合并同类项即可化简，再代入，进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：
，
关于的多项式的值与的取值无关，
，，
，；
（2）解：由（1）得：，，
．
2．先化简，在求值：已知代数式，
(1)求，其中，
(2)若的值与无关，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查了整式加减中的化简求值与无关型问题，解题的关键在于正确的去括号、合并同类项．
（1）由题意知，化简求解然后代值计算即可；
（2）由题意知的值与x无关，可得，计算求解即可，
【详解】（1）解：
；
当，时，
原式
；
（2）解：，
∵的值与无关，
∴，
解得．
3．小丽周末准备完成题目：化简求值：，其中，发现系数印刷不清楚．
(1)她把猜成8，请你化简，并求当时式子的值；
(2)她爸爸说她猜错了，标准答案的化简结果不含二次项，请你通过计算说明原题中的是多少？
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的运算，本题属于基础题型．
（1）根据整式的运算法则即可求出答案．
（2）设“□”为a，根据整式的运算法则进行化简后，根据化简结果不含二次项，即可求出“□”的答案．
【详解】（1）解：


当时，原式；
（2）设“□”为a，则
原式


因为结果不含二次项，
所以，
所以
因此原题中“□”的为
4．已知多项式化简后不含项，求多项式的值．
【答案】21
【分析】本题考查了整式的化简求值，先将化简，再根据化简后不含项，得出含项的系数为0，从而得出m的值，再将化简，最后将m的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵该多项式化简后不含项，
∴，
解得：，
，
当时，原式．
5．（1）先化简再求值：，其中，满足；
（2）已知、都是关于的整式，其中，小明在计算多项式结果的时候，不小心把表示的多项式弄脏了，现在只知道的结果：．
①请根据仅有的信息求出表示的多项式；
②若多项式中不含项，求的值．
【答案】（1），；（2）①；②．
【分析】本题主要考查了整式的加减运算以及代数求值，绝对值非负性的应用，
（1）先去括号，然后合并同类项，然后根据绝对值和平方的非负性求出，，然后代入求解即可；
（2）①根据题意得到，然后先去括号，合并同类项得到；
②首先得到，然后根据题意得到，进而求解即可．
熟练掌握去括号、合并同类项法则是解本题的关键．
【详解】（1）
解：原式
∵
∴，
解得，，
把，代入得：
原式；
（2）解：①因为．
所以
，
∴，
②因为，
因为多项式中不含项，
所以，
解得．
类型五、利用“看错”系数求值
方法点拨：要确定一个代数式的值或某个系数的正确值，需先对原式根据错误的结果化简，得出对应的结果即可。
【例6-1】姐姐在认真学习的时候，调皮的二宝把姐姐的一道求值题弄污损了，姐姐隐约辨识：化简，其中．系数“”看不清楚了．
(1)如果姐姐把“”中的数值看成2，求上述代数式的值；
(2)若无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，请通过计算帮助姐姐确定“”中的数值．
【答案】(1)-4
(2)4
【分析】（1）化简并求值即可；
（2）设中的数值为x，然后化简原式，根据题意，含m的项的系数为0即可求得x的值．
【详解】（1）原式
．
当时，原式；
（2）设中的数值为x，
则原式
．
∵无论m取任意的一个数，这个代数式的值都是，
∴．
∴．
即“”中的数是4．
【点睛】本题考查了整式的加减运算及求代数式的值，整式加减的实质是去括号、合并同类项，注意去括号时，当括号前是“－”时，去掉括号及括号前的“－”后，括号里的各项都要变号．
【例6-2】阳阳准备完成题目：（）（），发现系数“”印刷不清楚．
（1）他把“"猜成3，请你化简：．
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果，不含有二次项”假设“”是a，请通过计算求a的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据整式的加减运算法则即可求解；
（2）先合并，再根据答案的结果不含有二次项得到a-2=0，故可求解．
【详解】解：（1）．
（2）原式．
∵标准答案的结果不含有二次项．
∴，
解得．
【点睛】此题主要考查整式的加减运算法则综合，解题的关键是熟知其运算法则．
针对练习6
1．王琦同学在自习课准备完成以下题目：化简，发现系数“”印刷不清楚，
(1)他把“”猜成，请你化简
(2)老师见到说：“你猜错了，我看到该题正确答案是常数”，请你通过计算说明原题中“”是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式的加减，去括号与合并同类项
（1）先去括号，再合并同类项即可．注意去括号时符号的变化；
（2）先去括号，再合并同类项，因为结果为常数，所以字母的系数一定为，由此可求出．
【详解】（1）
故答案为：
（2）设“”为，则有：
∵结果为常数，
∴，
∴
即“”为，
故答案为：
2．嘉淇完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1），发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成﹣1，化简（﹣x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）；
（2）根据父亲提出的两个问题，请帮助嘉淇求出“□”的值：
①父亲说：“如果这个问题的标准答案是常数，你能求出“□”的值吗？”
②父亲又说：“若代入x＝﹣1，则这个式子的值是﹣2，你能求出“□”的值吗？
【分析】（1）去括号，合并同类项即可；
（2）①：将“□”看成常数a，化简，由答案是常数求得答案即可．②：将x＝﹣1代入得到关于“□”的方程求解即可．
【解答】解：（1）（□x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）
原式＝（﹣x2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）
＝﹣x2+6x+8﹣6x﹣3x2+3
＝﹣4x2+11；
（2）①设“□”为a，
则原式＝（ax2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）
＝（a﹣3）x2+11
∵标准答案的结果是常数，
∴a﹣3＝0，
则a＝3，
即“□”的值为3；
②设“□”为b，
则原式＝（bx2+6x+8）﹣3（2x+x2﹣1）
＝（b﹣3）x2+11
当x＝﹣1时，原式＝b﹣3+11＝b+8，
由题意，得b+8＝﹣2，
则b＝﹣10，
即“□”的值为﹣10．
【点评】本题主要考查整式的加减，熟练掌握整式的加减法则是解题的关键．
3．嘉淇准备完成题目：化简：（□x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2），发现系数“□”印刷不清楚．
（1）他把“□”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；
（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“□”是几？
【分析】（1）原式去括号、合并同类项即可得；
（2）设“□”是a，将a看作常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．
【解答】解：（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
＝3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
＝﹣2x2+6；
（2）设“□”是a，
则原式＝（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）
＝ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2
＝（a﹣5）x2+6，
∵标准答案的结果是常数，
∴a﹣5＝0，
解得：a＝5．
【点评】本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号、合并同类项法则
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