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第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.知道圆周角定理的第二个推论并会利用其解决问题.
2.知道圆内接四边形及外接圆的概念,圆内接四边形的性质及相关应用.
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
圆周角定理是什么？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
复习回顾
合作探究
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学习目标
课堂总结
自主学习
探究一：直径所对的圆周角
问题1：如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
解：因为BC是直径，则半圆弧BAC所对的圆心角是平角∠BOC
根据圆周角定理，半圆弧BAC所对的圆周角∠A等于∠BOC的一半，即∠A＝90°
合作探究
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学习目标
课堂总结
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问题2：如图，圆周角∠BAC＝90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
B
C
A
解：因为∠BAC 是直角，
则∠BOC＝180°，
所以点B， O， C在一条直线上，BC是⊙O的直径
●O
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归纳总结：
圆周角定理的推论2：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
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练一练：
1.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°.故选C.
C
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探究二：圆内接四边形及其性质
四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？
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如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆.
(2)当ABCD为一般四边形时，
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
性质探究
(1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .
∠A+∠C=180 ，∠B+∠D=180
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验证猜想
已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
证明：连接OB、OD.
根据圆周角定理，可知
1
2
由四边形内角和定理可知，∠ABC+∠ADC=180°
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归纳总结：
圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
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练一练：
2.在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°,求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°
∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°
∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形对角互补）
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1.如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于（　　）
A．10° B．20° C．40° D．80°
C
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2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
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3.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D．求证：DB=DC．
证明：∵AD是∠EAC的平分线，∴∠DAC=∠DAE.
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠DCB=180°(圆内接四边形的对角互补).
∴∠DCB=∠DAE.
而∠DAC=∠DBC(在同圆中，同弧所对的圆周角相等)，
∴∠DCB=∠DBC，∴DB=DC.
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圆周角定理
推论2
推论3
圆内接四边形的对角互补.
直径所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径

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