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5.3 简单的轴对称现象
第2课时
学习目标
1）理解线段垂直平分线的相关性质。
2）掌握用尺规作线段垂直平分线的方法。
3）利用线段垂直平分线的相关性质进行计算。
重点
理解线段垂直平分线的相关性质。
难点
利用线段垂直平分线的相关性质进行计算。
一、等腰三角形的性质
1.等腰三角形是轴对称图形.
3.等腰三角形的两个底角相等.
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
二、什么是轴对称图形？
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
三、轴对称的性质是什么？
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
线段AB(如图)是轴对称图形吗？你能画出它的对称轴吗
A
B
A
B
O
如图，画一条线段 AB，然后对折 AB，使 A，B 两点重合， 设折痕与 AB 的交点为 O．你发现了什么？
想一想:
(1)折痕两旁的部分能重合吗 线段是一个轴对称图形吗 这条折痕是线段的对称轴吗
(2)点O是线段AB的中点吗 折痕与线段AB垂直吗 为什么
(3)由此你能得到什么结论
通过折叠可以看到AB对折后能够重合,说明线段AB是轴对称图形,而且折痕就是线段AB的对称轴.可以发现折痕与AB垂直,并且平分这条线段AB.
·
A(B)
·
B
O
2
1
1.线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
2.垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）.
(1)在折痕上任取一点M，沿MA将纸折叠
(2)把纸张展开，得到折痕MA和MB
（3）MA与MB有怎样的数量关系呢？
（4）在折痕上移动M的位置，结果会怎样？
能说明你的理由吗？
A
B
P
O
M
议一议
MA=MB
A
B
P
O
M
证明：
∵PO垂直并且平分AB
且AO=BO
∴∠MOA=∠MOB=90°
在△MOC和△MOC中
∴△MOA≌△MOB
AO=BO
∠MOA=∠MOB
MO=MO（公共边）
∴MA=MB
改变点M的位置
仍有MC=MC吗？
推理证明
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
A
B
C
D
M
几何表达：
∵CD垂直平分AB，M在CD上
∴MA=MB
线段垂直平分线的性质：
例1.如图，DE是AC的垂直平分线，AB＝12厘米，BC＝10厘米，则△BCD的周长为(　　)
A．22厘米 B．16厘米
C．26厘米 D．25厘米
A
例2.如图，MP，NQ分别垂直平分AB，AC，且BC＝13 cm，求△APQ的周长．
解：因为MP，NQ分别垂直平分AB，AC，
所以AP＝BP，AQ＝QC.
所以△APQ的周长＝AP＋AQ＋PQ
＝BP＋QC＋PQ
＝BC＝13 cm.
尺规作图
利用尺规，作线段AB的垂直平分线.
作法：
1.分别以点A和点B为圆心，以大于AB一半的长为半径作弧，
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
2.作直线CD. 直线CD就是线段AB的垂直平分线．
C
D
两弧相交于点C和D；
例：如图所示,祥和乳业公司要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离相等
可以先作线段AB的垂直平分线,与河岸边的交点就是码头M的位置.
居民区A
·
居民区B
·
街道
·
M
利用尺规作如图所示△ABC的重心.
A
B
C
A
B
C
H
E
G
N
M
D
O
作法：①作线段BC的垂直平分线MN交BC于点D；
②作线段AC的垂直平分线GH交AC于点E；
③连接AD，BE，并且AD与BE相交于点O.
点O就是△ABC的重心
1.下列说法中,不正确的是(　　)
A.线段是轴对称图形
B.将线段AB对折,使A,B两点重合,则折痕所在的直线是线段的一条对称轴
C.一条线段可看作是以它的垂线为对称轴的轴对称图形D.线段的垂直平分线是它的一条对称轴
C
2.已知△ABC(AC＜BC)，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是(　　)
D
3.在△ABC中，AB的中垂线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40°
C.40°或140° D.40°或50°
4.如图，直线CD是线段PB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
P
A
B
C
D
5.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是(　　)
A．8 B．9
C．10 D．11
C
6.如图，DE是△ABC边AB的垂直平分线，交AB、BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周长.
A
D
B
E
C
7．如图，在△ABC中，AC＝20，DE垂直平分AB.
(1)若△DBC的周长为35，求BC的长；
(2)若BC＝13，求△DBC的周长．
解：（1）因为DE垂直平分AB，所以AD＝BD.
因为△DBC的周长为35，
即BD＋DC＋BC＝35，
所以AD＋DC＋BC＝35，
即AC＋BC＝35.
因为AC＝20，所以BC＝15.
（2）△DBC的周长＝BD＋DC＋BC.
由(1)知BD＝AD，
所以BD＋DC＋BC＝AD＋DC＋BC＝AC＋BC.
因为AC＝20，BC＝13，
所以△DBC的周长＝20＋13＝33.
8. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB边的垂直平分线DE交BC于点E,垂足为D. 试说明:∠CAB=∠AED.
解:因为DE是AB的垂直平分线,所以EA=EB,所以∠EAB=∠B.因为∠C=90°,所以∠CAB+∠B=90°.又因为∠AED+∠EAB=90°,所以∠CAB=∠AED.
9.如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
因为EO是线段AB的垂直平分线，
所以点O到A，B的距离相等，
所以这个公共汽车站
C应建在O点处，才能
使到两个小区的路程
一样长．
1.线段是轴对称图形，它的对称轴是它的垂直平分线.
2.线段的垂直平分线的定义.
3.线段的垂直平分线的性质.
4.三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等.
习题5.4
第1、2、3题

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