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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题八 数式规律探究专题
类型一、式子的规律
数字的规律探究，观察前几个数字的变化特点，找出一般性规律，如果数字是循环性规律，先找出循环周期内数字的变化特点，然后用序数除以循环数，观察商和余数。
【例1-1】．有一组数：，1，2，，5，8，，21，34请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第前 个数的和首次超过100．
【例1-2】．观察一列数:，请你找出其中排列的规律.
(1)第10个数是 ，第15个数是 ；
(2)第2018个数是 .
【例1-3】有一列数，，，，，…，则第个数是 ．
针对练习1
1．已知一列数，它们满足关系式，当时，则（ ）
A．2 B． C． D．
2．按一定规律排列的单项式：，，，…，则第个单项式是（　　）
A． B． C． D．
3．按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第个数是 ．
类型二，整式的规律
整式排列的规律可以从三个方面分析：
符号
系数的绝对值
指数
系数、指数通常按“匀增加”、“成倍增加”的规律变化
【例2-1】按一定规律排列的单项式：，，，，.则按此规律排列的第n个单项式为_______.（用含有n的代数式表示）
【例2-2】一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是___________.
【例2-3】给定下面一列分式:，…(其中)
1.把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
2.根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2019个分式.
【例2-4】一组按规律排列的式子:则第n个式子是(用含n的式子表示，n为正整数)( )
A. B. C. D.
针对练习2
1、依次排列的两个整式a，b，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有( )
①第7个整式为
②第34个整式中a系数的绝对值比b系数的绝对值大1
③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024
④若，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2、有依次排列的两个整式:, 对任意相邻的两个整式, 都用右边的整式减去左边的整式, 所得之差 写在这两个整式之间, 可以产生一个新整式串, 这称为第一次操作; 将第一次操作后的整式 串按上述方式再做一次操作, 可以得到第二次操作后的整式串 以此类推. 通过实际操作, 得出以 下结论：
①第二次操作后的整式串为:x,,3,x,;
②当 时,第二次操作后所有整式的积为正数;
③第四次操作后的整式串中共有 19 个整式;
④第 2023 次操作后,所有的整式的和为.
四个结论中正确的有( )
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
3、按一定规律排列的代数式：，，，，…，则第n个代数式是( )
A. B. C. D.
类型三、图形的排列规律
图形排列规律问题，实质也是整式排列的规律问题，将图形中相关的数据用含项数字母的整式表示出来，最后看看这些排列有怎样的规律，再根据所推导的规律解题。
【例3-1】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第6个图形共有 ．

【例3-2】观察图，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，第n层有______个圆圈．
(2)某层上有67个圆圈，这是第______层．
(3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和或，由此得，．同样，
由前三层的圆圈个数和得：．
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来______．
(4)计算：的和；
(5)计算：的和．
【例3-3】如图是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．图1中所贴剪纸“O”为5个，图2中所贴剪纸“O”为8个，图3中所贴剪纸“〇”为11个，…，以此类推．

(1)求图4和图10中所贴剪纸“〇”的个数；
(2)第n个图中所贴剪纸“〇”的个数．
【例3-4】如图是一组有规律的图案,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,……,则第 (为正整数)个图案由_____个▲组成。
针对练习3
1．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图形由( )个圆组成．
A．37 B．61 C．91 D．127
2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有个灰色小正方形，则这个图案是（ ）
A．第个 B．第个 C．第个 D．第个
3．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的五角星组合而成，第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有7个五角星，第3个图案中有10个五角星……按照此规律摆下去，第20个图案中有 个五角星．
4．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第2022个图中共有点的个数是( )
5．观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是 ．
类型四、算式规律
一般是先写出算式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
【例4-1】观察下列等式：；；；
；…
(1)根据上述规律，可以得出 ＝ ．
(2)请直接用一个含有n（n为正整数）的等式表示这个规律．
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．
【例4-2】观察下列两组等式：
①
②
(1)根据你的观察，先写出猜想：
①_____________
②_____________
(2)然后，用简便方法计算下列各题：
①
②若有理数满足，试求：
的值
【例4-3】观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：
．
……
(1)第4个等式中，______；
(2)第n个等式为：______（其中n为正整数）．
【例4-4】观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示），并说明理由
针对练习4
1．观察下列等式：
……
探究：直接写出第个等式为 ．
2．下列是一些两位数减法运算：
，
观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊情形进行探究：
（1）请另外写出一个符合上述规律的算式： ；
（2）用字母表示你所观察到的规律 ．
3．观察下列各式，回答问题：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
(1)猜想并写出：第n个等式为__________________（n为正整数）；
(2)请直接写出下列各式的计算结果：
①________________；
②__________________；
(3)探究并计算：的值．
4．①．
②．
③．
④．…
(1)根据上述式子所呈现的规律，请写出第n个等式：　　；
(2)按（1）中的规律计算：
①；
②．
5．小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，如表所示：
加数的个数n 连续偶数的和S
1
2
3
4
5
请你根据表中提供的规律解答下列问题：
(1)如果时，那么S的值为 　　；
(2)根据表中的规律猜想：用字母n的式子表示S，则　　；
(3)利用上题的猜想结果，计算的值（要有计算过程）．
类型五、综合性问题
【例5-1】综合与实践
【问题情境】数形结合是解决数学问题的一种重要思想，有时我们可以借助图形的直观性研究数之间的某种关系．数学课上数学老师组织同学们以探究“？”为主题开展数学活动．
【实践探究】小明所在这个数学小组想到了用图形来帮忙解决这个问题，解决方法如下：
； ；
．
【问题解决】
（1）请你观察上面图形和式子填空：
______；
（2）根据以上分析，他们得出“？”的计算方法为______（用含的代数式表示，为正整数）
（3）利用上述结论计算：．
【拓展延伸】
计算：．
【例5-2】探索规律．
(1)观察上面的各图形，我们会发现：
图①空白部分小正方形的个数是，
图②空白部分小正方形的个数是，
图③空白部分小正方形的个数是____________；
(2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______，
你会发现这些算式存在一个规律：
请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）；
(3)运用这个规律计算：．
针对练习5
1．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式；
①；②；③；④ ；
(2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（为正整数）
(3)请计算：．
2．探索规律．
(1)观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是
图②空白部分小正方形的个数是
图③空白部分小正方形的个数是______＋______．
(2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______．
(3)运用规律计算：．
3．用边长为1的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第（1）个图形用了1张正方形纸片；
第（2）个图形用了张正方形纸片；
第（3）个图形用了张正方形纸片；
第（4）个图形用了张正方形纸片；……
(1)由此可得：______(用含n的式子表示)；
(2)完成下列问题：
①直接写出的计算结果是______；
②计算的结果．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题八 数式规律专题探究
类型一、式子的规律
数字的规律探究，观察前几个数字的变化特点，找出一般性规律，如果数字是循环性规律，先找出循环周期内数字的变化特点，然后用序数除以循环数，观察商和余数。
【例1-1】．有一组数：，1，2，，5，8，，21，34请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第前 个数的和首次超过100．
【答案】12
【分析】找到这组数据的规律，故可求解；
此题主要考查规律的查找，解题的关键是根据已知的数据发现符号的规律，从而求解．
【详解】规律是：从第三个数开始往后，每一个数的绝对值是前两个数绝对值的和，数所站位置数字被3除，余数为1的时候，此位置的数的符号为负，其余的数的符号为正，
故第10个数为，
第11个数为，
第12个数为，
∵第1个到第11个的和为，
第1个到第12个的和为，
故第前12个数的和首次超过100，
故答案为：12．
【例1-2】答案：(1) (2)
解析：(1)观察数字，可以得出以下规律:偶数项为负，分子为项数，分母为项数加1，所以第10个数是;奇数项为正，分子为1，分母为项数加1，所以第15个数是;
(2)由(1)中总结的规律可知偶数项为负，分子为项数，分母为项数加1，所以第2018个数是.
【例1-3】有一列数，，，，，…，则第个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字的变化规律，第1个数的分子是，分母为，第2个数的分子为1，分母为，第3个数的分子为，分母为，可得第n个数的分子与分母．
【详解】解：根据已知条件找规律可得，第n个数的分子为，分母为，
∴第n个数应是，
故答案为：．
针对练习1
1．已知一列数，它们满足关系式，当时，则（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题目所给的关系式，先得出前几个数，总结出一般规律每3个数为以组，每组按照的顺序循环，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
……
∴每3个数为以组，每组按照的顺序循环，
∵，
∴为第674组第3个数，
∴，
故选：D．
2．按一定规律排列的单项式：，，，…，则第个单项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是根据所给的式子得出变化规律．符号、系数和字母的指数部分分别找规律，符号规律为，系数规律为，字母的指数规律为，进而可以得出第个单项式．
【详解】解：第个单项式是：，
第个单项式是：，
第3个单项式是：，
…，
第个单项式是：，
则第7个单项式是：，
故选：B．
3．按一般规律排列的一列数依次为：，，，，，……，按此规律排列下去，这列数中的第个数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了数字的变化类，通过观察，分析，归纳，发现数字的变化规律，是解答本题的关键．
根据观察，分子的规律：分子是常数项；分母的规律：第奇数项的分母为：，第偶数项的分母为：，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
一列数依次为：，，，，，……，
分子的规律：分子是常数项；
分母的规律：第个数的分母是：，
第个数的分母是：，
第个数的分母是：，
第个数的分母是：，
第个数的分母是：，
第个数的分母是：，
第奇数项的分母为：，
第偶数项的分母为：，
这列数中的第个数是：，
故答案为：．
类型二，整式的规律
整式排列的规律可以从三个方面分析：
符号
系数的绝对值
指数
系数、指数通常按“匀增加”、“成倍增加”的规律变化
【例2-1】按一定规律排列的单项式：，，，，.则按此规律排列的第n个单项式为_______.（用含有n的代数式表示）
答案：
解析：5a系数为，次数为1；
系数为，次数为2；
系数为，次数为3；
系数为，次数为4；
第n个单项式的系数可表示为：，字母a的次数可表示为：n，
第n个单项式为：.
【例2-2】一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是___________.
答案：
解析：解：当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
第n个式子是：.
故答案为：
【例2-3】给定下面一列分式:，…(其中)
1.把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
2.根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第2019个分式.
答案：1.第二个分式除以第一个分式得，第三个分式除以第二个分式得，
同理，第四个分式除以第三个分式也是，故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于.
2.由1可知该第2019个分式应该是.
【例2-4】一组按规律排列的式子:则第n个式子是(用含n的式子表示，n为正整数)( )
B. C. D.
答案：B
解析：因为所以第n个式子是.故选B.
针对练习2
1、依次排列的两个整式a，b，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第1次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘以2再减去第3个整式，称为第2次操作，得到第4个整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第3次操作，得到第5个整式，以此类推，下列4个说法，其中正确的结论有( )
①第7个整式为
②第34个整式中a系数的绝对值比b系数的绝对值大1
③第11个整式与12个整式所有系数的绝对值之和为1024
④若，则第2023次操作完成后，所有整式之和为2025
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
解析：①第1个整式：a，
第2个整式：b，
第3个整式：，
第4个整式：，
第5个整式：，
第6个整式：，
第7个整式：，
故①符合题意；
②由①可知，当n是奇数时，a的系数比b的系数大1，当n是偶数时，b的系数比a的系数大1，
第34个整式中a系数的绝对值比b系数的绝对值大1，
故②符合题意；
③第1个整式和第2个整式的系数和是2，
第3个整式和第4个整式的系数和是，
第5个整式和第6个整式的系数和是，
……
第11个整式和第12个整式的系数和是，
故③不符合题意；
④第2023次操作完成后，得到第2027个等式，
（其中1012个，1015个1）
故④不符合题意；
故选：B.
2、有依次排列的两个整式:, 对任意相邻的两个整式, 都用右边的整式减去左边的整式, 所得之差 写在这两个整式之间, 可以产生一个新整式串, 这称为第一次操作; 将第一次操作后的整式 串按上述方式再做一次操作, 可以得到第二次操作后的整式串 以此类推. 通过实际操作, 得出以 下结论：
①第二次操作后的整式串为:x,,3,x,;
②当 时,第二次操作后所有整式的积为正数;
③第四次操作后的整式串中共有 19 个整式;
④第 2023 次操作后,所有的整式的和为.
四个结论中正确的有( )
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
答案：B
解析： 第一次操作后的整式串为,
第二次操作后的整式串为, 即, 故结论①正确;，，, 即, , 即当 时, 第二次操作后所有 整式的积为非负数, 故结论②错误; 第二次操作后的 整式串中有 5 个整式, 第三次操作后的整式串中整式 有 (个), 第四次操作后的整式串中整式有 (个), 故结论③错误; 第一次操作后所有整式 的和为, 第二次操作后所有整式 的和为, 第三次操 作后所有整式的和为，, 第 n次操作后所 有整式的和为 ， 第 2023 次操作后, 所 有的整式的和为, 故结 论④正确. 正确的结论有①④, 故选 B.
3、按一定规律排列的代数式：，，，，…，则第n个代数式是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，，，…，第n个代数式是.
4、观察给定的分式:,…,猜想并探索规律,第n个分式是______.
、答案：
解析：∵，，，
∴第n个分式是
类型三、图形的排列规律
图形排列规律问题，实质也是整式排列的规律问题，将图形中相关的数据用含项数字母的整式表示出来，最后看看这些排列有怎样的规律，再根据所推导的规律解题。
【例3-1】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依此规律，第6个图形共有 ．

【答案】16
【分析】将每一个图案分成两部分，最下面位置处的3个与上面中间1个不变，上面两侧每一个图形比前一个图形多2个，根据此规律找出第n个图形中★的个数的关系式，然后把代入计算即可．
【详解】解：观察发现，
第1个图形★的个数是，，
第2个图形★的个数是，，
第3个图形★的个数是，，
…，
依此类推，第n个图形★的个数是，，
故当时，．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了图形变化规律问题，把★分成两部分进行考虑，并找出第n个图形★的个数的表达式是解题的关键．
【例3-2】观察图，解答下列问题．
(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，第n层有______个圆圈．
(2)某层上有67个圆圈，这是第______层．
(3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和或，由此得，．同样，
由前三层的圆圈个数和得：．
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来______．
(4)计算：的和；
(5)计算：的和．
【答案】(1)
(2)34
(3)
(4)40000
(5)37500
【分析】此题主要考查了图形的变化类；
（1）根据已知数据即可得出每一层小圆圈个数是连续的奇数，进而得出答案；
（2）利用（1）中发现的规律得出答案即可；
（3）利用已知数据得出答案即可；
（4）利用（3）中发现的规律得出答案即可；
（5）利用（3）中发现的规律得出答案即可．
【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈，
第二层有3个圆圈，
第三层有5个圆圈，
…，
依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数，
第n层有个小圆圈；
故答案为：；
（2）解：令，
解得：，
这是第34层，
故答案为：34；
（3）解：前一层的圆圈个数和得：，
前两层的圆圈个数和得：，
由前三层的圆圈个数和得：，
由前四层的圆圈个数和得：，
由前五层的圆圈个数和得：，
，
从1开始的n个连续奇数之和是，
用公式表示为：；
（4）解：；
（5）解：
．
【例3-3】如图是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．图1中所贴剪纸“O”为5个，图2中所贴剪纸“O”为8个，图3中所贴剪纸“〇”为11个，…，以此类推．

(1)求图4和图10中所贴剪纸“〇”的个数；
(2)第n个图中所贴剪纸“〇”的个数．
【答案】(1)14，32
(2)
【分析】本题主要考查观察图形找规律，
（1）通过观察图形发现，后一个图形比前一个图形多3个剪纸“〇”，从第一个开始递推到第四个，根据规律可写出第十个；
（2）根据第一问写出第n个图形的剪纸“〇”的表达式．
【详解】（1）解：第一个图案为个“〇”；
第二个图案为个“〇”；
第三个图案为个“〇”；
第4个图，案为个“〇”；
第10个图案为个“〇”；
根据第一问的规律可得，第n个图案所贴剪纸“〇”数为个．
【例3-4】如图是一组有规律的图案,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,第个图案由个▲组成,……,则第 (为正整数)个图案由_____个▲组成。
答案：
解析：观察发现:第一个图形有个三角形;
第二个图形有个三角形;
第一个图形有个三角形;
…
第个图形有个三角形
针对练习3
1．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第个图形由( )个圆组成．
A．37 B．61 C．91 D．127
【答案】C
【分析】本题考查了图形的变化类问题，所构成的图形是轴对称图形，沿中间的一排分开，两边对称，最上边的一行是个圆，下面一排比上边的一排多一个，直到中间的一排，中间的一排是个．中间的下边的每排依次减少．
【详解】解：最上边的一排是，第二排是，第三排是，，第排是；
第排以下，各排的个数分别是，，．
则第个图形的圆的个数是：
．
当时，，
故选：C．
2．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的灰白两种颜色的小正方形组成的，按照这样的规律，若组成的图案中有个灰色小正方形，则这个图案是（ ）
A．第个 B．第个 C．第个 D．第个
【答案】B
【分析】本题考查了规律型，图形变化类，根据图形的变化寻找规律，总结规律，运用规律，是解答本题的关键．
根据图形变化发现规律，第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：，求出组成的图案中有个灰色小正方形时图案的个数，由此得到答案．
【详解】解：根据题意，观察图形的变化可知：
第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：；
第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：；
第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：；
第个图案中，涂有阴影的小正方形个数为：，
若组成的图案中有个灰色小正方形，
则，
解得：，
故选：．
3．如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的五角星组合而成，第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有7个五角星，第3个图案中有10个五角星……按照此规律摆下去，第20个图案中有 个五角星．
【答案】61
【分析】本题考查图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形...依此类推即可解答．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有个三角形，
第2个图案有个三角形，
第3个图案有个三角形，
...
第n个图案有个三角形，
∴第20个图案中有（个）．
故答案为：61．
4．观察下列一组图形中的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第2022个图中共有点的个数是( )
【答案】6135760
【分析】本题考查了图形中数字的规律，利用枚举法，找到规律，一般化后代入计算即可．
【详解】根据题意，得
第1个图形中的点数为，
第2个图形中的点数为，
第3个图形中的点数为，
第n个图形中的点数为，
故当时，原式，
故答案为：．
5．观察并找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是 ．
【答案】3035
【分析】本题主要考查了图形规律变化类问题，解决这类问题的基本思路是：仔细地观察图形并正确地找到规律，利用所得的规律解决问题．根据图形找出规律：当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；然后算出第2023个图形中黑色正方形的数量即可．
【详解】解：观察图形可得，当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个；当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为（）个，
∴当时，黑色正方形的个数为：（个）．
故答案为：3035．
类型四、算式规律
一般是先写出算式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式．
【例4-1】观察下列等式：；；；
；…
(1)根据上述规律，可以得出 ＝ ．
(2)请直接用一个含有n（n为正整数）的等式表示这个规律．
(3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算、列代数式；
（1）根据题目中的等式，可以计算出的值；
（2）根据题目中的等式，可以发现结果的分母都是6，分子的第一个数字和这是第几个等式对应的数字一样，第二数字比第一个数字大1，第三个数字是(2n+1)，这里的n和第几个式子对应的数字相同，从而可以写出第n个等式；
（3）根据题目中式子，可以得到，然后计算即可解答本题．
【详解】（1），
故答案为：，．
（2）解：∵；；；
；…
∴第个算式是；
（3）解：
．
【例4-2】观察下列两组等式：
①
②
(1)根据你的观察，先写出猜想：
①_____________
②_____________
(2)然后，用简便方法计算下列各题：
①
②若有理数满足，试求：
的值
【答案】(1)①；②
(2)① ②
【分析】本题考查了有理数的运算、代数式求值以及数字类规律探求；
（1）①根据已知的式子得出规律解答即可；②根据已知的式子得出规律解答即可；
（2）①利用（1）中规律展开运算即可；②先根据非负数的性质求出a、b，再根据（1）的规律解答即可．
属于常见题型，找到规律并正确运用规律是解题的关键.
【详解】（1）解：①因为，
所以；
故答案为：；
②因为，
所以；
故答案为：；
（2）①解：
；
②解：∵，，
∴，
∴，
∴
.
【例4-3】观察下列等式，探究其中的规律并解答问题：
．
……
(1)第4个等式中，______；
(2)第n个等式为：______（其中n为正整数）．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本题考查数字类规律探究；
（1）根据前三个式子得出规律：结果是奇数的平方即可解答；
（2）根据前三个式子的规律：每一行的第一个数是行数，后面是奇数个连续整数的和，右边是奇数的平方，据此即可写出结果；
理解题意，找到等式的规律是解答的关键．
【详解】（1）解：由前三个等式知，第4个等式为：，
∴，
故答案为：7；
（2）解：由所给等式可知，
第n个等式为：，
故答案为：．
【例4-4】观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式；
（2）写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示），并说明理由.
答案：（1）
（2）
证明：左边
右边=1
∴左边=右边
∴原等式成立
解析：（1）根据已知规律，第6个等式分母为6和7,分子分别为1和5，
故应填.
（2）根据题意，第n个等式分母为n和.分子分别为1和，
故应填.
理由如下：
所以等式成立.
针对练习4
1．观察下列等式：
……
探究：直接写出第个等式为 ．
【答案】
【分析】根据前4个等式，找到规律，左边为，等式的右边连续的奇数的平方，据此即可求解．
【详解】解：
……
第个等式为
故答案为：．
2．下列是一些两位数减法运算：
，
观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊情形进行探究：
（1）请另外写出一个符合上述规律的算式： ；
（2）用字母表示你所观察到的规律 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了两位数的表示法，及其交换数位数字后新旧两位数的差，
（1）根据题意找一个两位数并将其个位与十位交换后做差即可；
（2）根据两位数的表示法，计算原来的两位数与交换十位数字和个位数字得到新两位数的差即可
【详解】解：（1），
（2）
3．观察下列各式，回答问题：
第一个等式：
第二个等式：
第三个等式：
(1)猜想并写出：第n个等式为__________________（n为正整数）；
(2)请直接写出下列各式的计算结果：
①________________；
②__________________；
(3)探究并计算：的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查了数字的变化类：
（1）根据题中的拆项规则求解；
（2）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解；
（3）先把每一项都拆成两项，再把相反数结合求解．
【详解】（1）解：根据题意得：第n个等式为；
故答案为：
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
4．①．
②．
③．
④．…
(1)根据上述式子所呈现的规律，请写出第n个等式：　　；
(2)按（1）中的规律计算：
①；
②．
【答案】(1)
(2)①240；②540
【分析】（1）根据题中的等式，找到规律，用字母表示即可；发现数字间的规律是解题的关键；
（2）①直接运用（1）所得的规律是解题的关键；②将原式写成，再根据（1）中等式计算即可．理解（1）所得的规律是解题的关键．
【详解】（1）解：第n个等式：．
故答案为：．
（2）解：①
=
．
②
．
5．小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，如表所示：
加数的个数n 连续偶数的和S
1
2
3
4
5
请你根据表中提供的规律解答下列问题：
(1)如果时，那么S的值为 　　；
(2)根据表中的规律猜想：用字母n的式子表示S，则　　；
(3)利用上题的猜想结果，计算的值（要有计算过程）．
【答案】(1)72
(2)
(3)990900
【分析】本题主要考查数字规律类问题，解题的关键是理解题意；
（1）根据表中的规律发现：第n个式子的和是，把代入求得数值即可；
（2）根据特殊的式子即可发现规律；
（3）结合上述规律，只需加上再减去即可计算．
【详解】（1）解：当时，那么；
故答案为：72；
（2）解：∵，
，
，
，
∴；
（3）解：
．
类型五、综合性问题
【例5-1】综合与实践
【问题情境】数形结合是解决数学问题的一种重要思想，有时我们可以借助图形的直观性研究数之间的某种关系．数学课上数学老师组织同学们以探究“？”为主题开展数学活动．
【实践探究】小明所在这个数学小组想到了用图形来帮忙解决这个问题，解决方法如下：
； ；
．
【问题解决】
（1）请你观察上面图形和式子填空：
______；
（2）根据以上分析，他们得出“？”的计算方法为______（用含的代数式表示，为正整数）
（3）利用上述结论计算：．
【拓展延伸】
计算：．
【答案】【问题解决】（1）；（2）；（3）；【拓展延伸】．
【分析】本题考查了新定义运算以及有理数的混合运算，
（1）根据题干的新定义运算法则，代入计算，即可作答．
（2）根据（1）的现有式子，总结，即可作答．
（3）比较（2），此时，代入计算即可；
拓展延伸：先把整理得，再对括号内的式子进行整理，即可作答．
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：（1）依题意：
；
故答案为：．
（2）因为
；
；
；
；
，
故答案为：；
（3）结合，
把代入，
即
，
拓展延伸：依题意，
．
【例5-2】探索规律．
(1)观察上面的各图形，我们会发现：
图①空白部分小正方形的个数是，
图②空白部分小正方形的个数是，
图③空白部分小正方形的个数是____________；
(2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______，
你会发现这些算式存在一个规律：
请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）；
(3)运用这个规律计算：．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）；
(3)
【分析】本题考查了图形规律，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键，再由数字规律求解即可．空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数．
【详解】（1）解：；
（2）（答案不唯一）；
规律为：，为正整数；
（3）
．
针对练习5
1．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
(1)在④后面的横线上写出相应的等式；
①；②；③；④ ；
(2)试用含有n的式子表示这一规律： ；（为正整数）
(3)请计算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形和算式找到规律是解答本题的关键．
（1）根据图形结合算式规律直接得到第个图案所代表的算式为：，得到答案；
（2）根据图形结合算式规律可以找到一般规律：第个图案所代表的算式为：，写出答案．
（3）根据（2）得出的一般规律，将，写成即即可得到答案．
【详解】（1）解：由已知可知：
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
（2）由已知可知：
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
第个图案所代表的算式为：；
以此类推：
第个图案所代表的算式为：．
故答案为：．
（3）根据（2）得出的一般规律，
，
，
，
．
2．探索规律．
(1)观察上面的图，发现：
图①空白部分小正方形的个数是
图②空白部分小正方形的个数是
图③空白部分小正方形的个数是______＋______．
(2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______．
(3)运用规律计算：．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查图形类规律探究；
（1）结合图形，进行作答即可；
（2）根据已有的等式得到，写出一道算式即可；
（3）先运用规律，计算括号内，再进行除法计算即可．
【详解】（1）解：图③空白部分小正方形的个数是；
故答案为：；
（2）由：，，， ，可得：
，
则：再写出一道算式可以为：；（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）；
（3）
．
3．用边长为1的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．
第（1）个图形用了1张正方形纸片；
第（2）个图形用了张正方形纸片；
第（3）个图形用了张正方形纸片；
第（4）个图形用了张正方形纸片；……
(1)由此可得：______(用含n的式子表示)；
(2)完成下列问题：
①直接写出的计算结果是______；
②计算的结果．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查了规律型之图形的变化类，关键是发现变化规律并灵活运用．
（1）观察图形的变化可得规律，根据发现的规律即可猜想的值；
（2）①根据（1）中的规律即可求解；
②根据（1）中的规律和①的结果，即可求得的值．
【详解】（1）解：第（1）个图形中有1个正方形；
第（2）个图形有个小正方形；
第（3）个图形有个小正方形；
第（4）个图形有小正方形；
；
故答案为：；
（2）①
；
故答案为：
②
，
．
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