资源简介

2008年高考圆锥曲线易错点分析
河北省井陉一中备课组长 梁彦庭
一.用判别式不全面或没有用判别式致错
例1.实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点。
错解：将圆与抛物线 联立，消去，
得 ①
因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 ， 解之得
失分会诊：如图，显然，当时，圆与抛物线有两个公共点。
要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得解之，得
因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点。
例2.已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点。
错解：（1）过点P且与x轴垂直的直线显然不符合要求。
（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：
∴，又∵ ∴
解之得：k=2，故直线方程为：y=2x-1,即直线是存在的。
失分会诊：本题的问题在于没有考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在。所以，我们在使用一元二次方程的根与系数的关系必需要注意检验根的判别式是否成立。
例3 .过点的直线交抛物线于
A、B两点，求以OA、OB邻边的平行四边形OAMB
的顶点M的轨迹方程。
错解：设，
直线的方程为。与抛物线方程
联立消去得：
（1）
由韦达定理有
∴
又在平行四边形OAMB中，AB中点即为OM中点。
∴
消去即得：，此即点M的轨迹方程。
失分会诊：直线与抛物线交于不同两点的前提条件是△>0，即在（1）中，
△
∴ 代入即得或
故M点的轨迹方程为 （或）。
例4.求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。
错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为
，消去得整理得
直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为
失分会诊： 此处解法共有三处错误：1.设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的;
2.题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透;3.将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法 1.当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。
2.当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。
3.一般地，设所求的过点的直线为,则，
令解得k = ,∴ 所求直线为
综上，满足条件的直线为：
二.没有考虑是不是标准方程致错
例5.已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。
错解1 故所求的双曲线方程为
错解2 由焦点知
故所求的双曲线方程为
失分会诊：这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。即此方程并不是标准方程，而我们把它当作了标准方程。正确的做法是利用双曲线的第二定义来求出方程。由此看来，判断准方程的类型是个关键。
正解1 设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知 整理得
正解2 依题意，设双曲线的中心为,
则 解得 ,所以
故所求双曲线方程为
三.主观臆断致错
例6.如图，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于.已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程。
错解：依题意，可知曲线是抛物线，
在内的焦点坐标是
因为二面角等于，
且所以
设焦点在内的射影是，那么，位于轴上，
从而
所以所以点是所求射影的焦点。依题意，射影是一条抛物线，开口向右，顶点在原点。所以曲线在内的射影的曲线方程是
失分会诊：上述解答错误的主要原因是，凭直观误认为F是射影(曲线)的焦点，其次，没有证明默认C/在( 内的射影(曲线)是一条抛物线。
正确解法 在内，设点是曲线上任意一点
过点作，垂足为，
过作轴，垂足为连接，
则轴。所以是二面角
的平面角，依题意，.
在
又知轴（或与重合），
轴（或与重合），设，
则
因为点在曲线上，所以
即所求射影的方程为

展开更多......

收起↑