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七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十 一元一次方程考点梳理专题训练
知识点回顾
一、一元一次方程
1.方程：含有未知数的等式叫做方程。
2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程可以化为ax+b=0（a≠0）的形式，分母中不能含有未知数。
4.求方程的解叫做解方程
二、等式的性质（解方程的依据）
1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么a±c=b±c。
2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc， =（c≠0）
拓展：①对称性：如果a=b，那么b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（等量代换）
三、一元一次方程的解法
（1）去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数。
注意：在方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不能漏乘任何一项。
去括号；
注意：①去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；②括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。
移项；把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。。
注意：移项要变号。
合并同类项；
注意：合并同类项系数相加，字母字母的指数不变。
（5）系数化为1
注意：依据等式性质2，两边同时除以未知数系数
四、一元一次方程模型的应用（难点）
1.一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。
弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。
解方程模型应用的几种类型
一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。
主要的应用模型有以下几类：
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
（一）行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；
②速度=路程/时间；
③时间=路程/速度
1.航行问题
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
2.相遇问题
A走的路程+B走的路程=两地之间的距离
3.追击问题
同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）
4.环形问题
（1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（二）工程问题
1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。
2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。
3.常见的相等关系有两种：
①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。
②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差
一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
（三）销售计费问题
销售类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。
（1）价格费用问题
费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量
基本关系式有
费用（总价）=单价×数量
分段计费：总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+……
（2）销售利润问题
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：
利润＝销售价（收入）-成本（进价）；
成本（进价）＝销售价（收入）-利润；
利润率＝；
利润＝成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
打折：n折即表示标价的n/10，如7折为70%
（3）存贷问题（利息、利润问题）
存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其关系式有：
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和（本利）＝本金+利息
（四）数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
任何数=∑（数位上的数字×位权） （54=5×10+4）
如两位数ab= 10a + b；三位数abc= 100a + 10b + c
（五）比例问题
比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。
比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。
调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。
（六）设中间变量的问题
一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。
高频考点
【考点1】一元一次方程有关概念
【例1-1】方程（k﹣2）x|k|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则k＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．±1 D．±2
【例1-2】已知是关于x的一元一次方程的解，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．3 D．
针对练习1
1．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
2．下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知：方程是关于x的一元一次方程，求m的值．
【考点2】等式性质
【例2-1】根据等式的性质，下列等式的变形正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
【例2-2】由能得到等式吗？为什么？反之，由能得到等式吗？为什么？
针对练习2
1、已知等式，则下列等式中不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
2、若且，则的值为( )
A.5 B. C. D.
3 .已知方程，用含x的代数式表示y的形式为________.
4.请帮帮小马虎：
在将等式变形时，小马虎得出一个奇怪的结论，其过程如下：
因为，所以（第一步），所以（第二步）.
请回答：
（1）小马虎的第一步的依据是什么？
（2）第二步得出错误的结论，其原因是什么？
5、利用等式的性质解方程，并检验：
（1）；
（2）.
【考点3】解方程
【例3-1】解方程：
(1)；
(2).
【例3-2】某同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，求的值和方程正确的解．
【例3-3】老师在黑板上出了一道解方程的题小明是这样做的：
①
②
③
④
⑤
(1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在第________步，错误的原因是．_______________．这一步的依据是_______________．
(2)请你自己细心地解此方程．
(3)请你根据平时学习经验，针对解一元一次方程还需要注意的事项，给其他同学提一条建议．
针对练习3
1、从-3，-2，-1，1，2，3中选一个数作为k的值，使得关于x的方程的解为整数，则所有满足条件的k的值的积为( )
A.-4 B.-12 C.18 D.36
2、小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是( )
A.6 B.5 C.4 D.1
3、若关于x的方程与方程的解相同，则k的值为____________.
4、观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的x值为_____.
5 .解方程：
【考点4】一元一次方程的应用
行程问题
例1.综合与实践：问题情境：太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共8000米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，小明从步道的长风桥端（记为点）出发向胜利桥端（记为点）方向行走，速度为150米/分，同时小亮从距离点500米处的步道上一点出发向点行走，速度为100米/分，设他们行走的时间为分钟．请解答下列问题．
数学思考：
(1)在上述行走过程中，小明离开点的距离为________米，小亮离点的距离为________米（均用含的式子表示）．
问题解决：
(2)求小明追上小亮时的值；
(3)如图，步道上点处是一个出口，它到起点的距离为3500米．因有其他事情，小明到达点后立即按原速返回，到点停止行走；小亮到达点也停止了行走，求小明返回途中与小亮相距250米时的值．
工程问题
例2 .为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，花桥街道进行住房改造工程，有甲乙两个工程队加入住房改造中来，如果由甲工程队单独做需要30天完成，如果由乙工程队单独做需要20天完成．
(1)甲乙两个工程队合作，完成这项工程需要几天？
(2)甲工程队先单独做6天，因特殊事情离开，余下的乙工程队单独做，为了使人民能够更快住上于净漂亮的房屋，要求乙工程队提高一倍的工作效率来完成房屋改造工程，问乙工程队完成此项工程还需要几天？
配套问题
例3 .某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉．
(1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？
(2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？
销售利润问题
例4 .双节（中秋节和国庆节）期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是甲乙两个商场各自推出的优惠办法：
甲：1．若一次购物不超过元（不含），不予优惠．
2．若一次购物满元（含），但不超过元（不含），所有商品享受9折优惠．
3．若一次购物超过元（含），超过部分享受6折优惠，其余部分享受9折优惠；
乙：1．若一次购物不超过元（不含），不予优惠．
2．若一次购物满元（含），则所有商品率受8折优惠．问：
(1)李老师想到甲商场买一件标价为元的衣服，她应该付多少钱？
(2)当购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
方案选择问题
甲、乙两家店出售同样品牌的茶壶和茶杯，售价也相同，茶壶每把28元，茶杯每只4元．以下是两家店的优惠方案：
甲店：买一送一（买一把茶壶赠送茶杯一只）；乙店：全场九折优惠．
某茶社需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
(1)设购买茶杯只；
①在甲店购买需付________元；②在乙店购买需付________元；
(2)若茶社需购买10只茶杯时，到哪家店购买较便宜？说明理由．
(3)当茶社购买多少只茶杯时，在两家店所付的款一样多．
球赛积分问题
例6 .例七（1）班组织生活小常识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息解答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
①号 20 0 100
②号 19 1 94
③号 18 2 88
④号 16 4 76
⑤号 10 10 40
(1)如果参赛者⑥号得分为64分，那么他答错了几道题？
(2)如果参赛者⑦号说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．
几何图形问题
例7 .如图，这是由6块正方形组成的长方形．已知中间小正方形的边长是1，则这个长方形的面积是 ．
其他问题
例8 .某校开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元/件） 20 14 8
数量（件） x
(1)用含x的式子表示：二等奖奖品的数量是______件，三等奖奖品的数量是______件；
(2)求购买这50件奖品所需的总费用（用含x的式子表示，结果化为最简形式）；
(3)若二等奖奖品购买了22件，则该校购买奖品共花费多少元？
针对练习4
1．某社区做核酸检测，甲单独采完样需8小时，乙单独采完样需10小时．现在由甲先单独采样小时，然后由甲和乙合作共同完成采样．完成此次核酸检测采样的时间为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．幻方是中国古代的一种谜题，在如图所示的正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的倒数为 ．
3．两地相距，甲、乙两车分别从两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙的速度分别为和，甲从地出发，到达地立刻调头返回地，并在地停留等待乙车抵达，乙从地出发前往地，和甲车会合．
(1)求两车第一次相遇的时间（用一元一次方程解答）；
(2)直接写出甲车出发多长时间，两车相距．
4．用A，B两种硬纸板做圆柱模型，每个圆柱需要1个长方形做侧面和2个圆做底面．两种硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A纸板：剪2个长方形做侧面和3个圆做底面；
B纸板：剪1个长方形做侧面和4个圆做底面．
问需要用A，B两种硬纸板各多少张恰好能做这种圆柱模型1000个？
5．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
(1)每件服装的标价是多少元？
(2)该服装每件打几折销售能恰好保证利润率为？（利润率=利润成本）
6．西安滨河学校一年一度的校园艺术节又来了，初一年级的红歌比赛要在10月14日举行，鸿图A班和鸿瑞B班共有94名学生，（其中鸿图A班人数多于鸿瑞B班人数，且鸿图A班人数不够90名）准备统一购买服装参加比赛，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．
(1)若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？
(2)鸿图A、鸿瑞B两个班各有多少名学生准备参加红歌比赛？
(3)如果鸿图A班有10名学生被调去参加年级节目，不能参加红歌比赛，请你为这两个班设计一种最省钱的购买胶装的方案．
7．某次数学竞赛，共有20道题目，其中三位同学的得分如表；
人名 答对题数 答错或不答题数 得分
小明 20 0 100
小丽 14 6 64
小红 19 1 94
问题：
(1)由如表可知，每答对一道题得______分，答错或不答得______分；
(2)若小军同学的得分为76分，请问小军答对了几道题？
(3)有同学说他的得分为80分，请问合理吗？说说理由．
8．综合与实践
【问题情境】：
新学期，两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：
【知识运用】
（1）求每本书的厚度和课桌的高度分别是多少cm？
（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
【综合应用】
（3）若桌面上有54本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成摞，若有16名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离．
七年级数学上期末大串讲+练专题复习
专题十 一元一次方程考点梳理专题训练
知识点回顾
一、一元一次方程
1.方程：含有未知数的等式叫做方程。
2.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
3.只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。一元一次方程可以化为ax+b=0（a≠0）的形式，分母中不能含有未知数。
4.求方程的解叫做解方程
二、等式的性质（解方程的依据）
1.等式两边都加上或者减去同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么a±c=b±c。
2.等式两边都乘或者除以同一个数（或代数式），所得结果仍是等式。如果a=b，那么ac=bc， =（c≠0）
拓展：①对称性：如果a=b，那么b=a，即等式的左右互换位置，所得的结果仍是等式；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（等量代换）
三、一元一次方程的解法
（1）去分母：在方程两边同乘各分母的最小公倍数。
注意：在方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不能漏乘任何一项。
去括号；
注意：①去括号时要看清括号前面的符号，用去括号法则去括号；②括号前面的系数要与括号里面的每一项相乘，不能漏乘任何一项。
移项；把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。。
注意：移项要变号。
合并同类项；
注意：合并同类项系数相加，字母字母的指数不变。
（5）系数化为1
注意：依据等式性质2，两边同时除以未知数系数
四、一元一次方程模型的应用（难点）
1.一般步骤：（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）验算；（6）作答。
弄清题目中“几倍、多、少、差、几分之几”等关键词体现的等量关系。
解方程模型应用的几种类型
一元一次方程应用题的解题关键就是：先找出等量关系，根据基本量设未知数。一般是问什么设什么，但是一些特殊的题目为了使方程简便有时会设一些中间量为未知数。解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
找等量关系：①从题目中的关键语句入手寻找等量关系；②利用某些基本公式寻找等量关系；③从变化的关系中寻找不变的量，进而找到等量关系。
主要的应用模型有以下几类：
不管是什么问题，关键是要了解各个具体问题所具有的基本量，并了解各个问题所本身隐含的等量关系，结合具体的问题，根据等量关系列出方程。
（一）行程问题
行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
等量关系为：①路程=速度×时间；
②速度=路程/时间；
③时间=路程/速度
1.航行问题
①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；
②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：
顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
2.相遇问题
A走的路程+B走的路程=两地之间的距离
3.追击问题
同时不同地出发：A走的路程-B走的路程=被追赶的路程（A、B出发时相距的距离）
4.环形问题
（1）同向行驶，如果A速度较快，则A走的路程-B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（2）反向行驶，A走的路程+B走的路程=n环/圈（n表示第n次相遇）
（二）工程问题
1.工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。关系式为：工作量=工作效率×工作时间；
工作时间=工作量/工作效率；工作效率=工作量/工作时间。
2.工程问题中，在工作总量不明的情况下一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为1/t。
3.常见的相等关系有两种：
①如果以工作量作相等关系，A工作量+B工作量 =总工作量。
②如果以时间作相等关系，对于同一工作：A工作时间-B工作时间=时间差
一般情况下，合作的工作效率=A工作效率+B工作效率
（三）销售计费问题
销售类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②存贷问题。这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。
（1）价格费用问题
费用问题中的基本量：费用（总价）、单价、数量
基本关系式有
费用（总价）=单价×数量
分段计费：总费用=第一阶段单价×数量+第二阶段单价×数量+……
（2）销售利润问题
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：
利润＝销售价（收入）-成本（进价）；
成本（进价）＝销售价（收入）-利润；
利润率＝；
利润＝成本（进价）×利润率。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。打折问题中常以进价不变作相等关系。
打折：n折即表示标价的n/10，如7折为70%
（3）存贷问题（利息、利润问题）
存贷问题中有本金、利息、利率、本息等基本量。
其关系式有：
①利息＝本金×利率×期数；
②本息和（本利）＝本金+利息
（四）数字问题
一元一次方程应用题中的数字问题多是整数，要注意数位、数位上的数字、数值三者间的关系：
任何数=∑（数位上的数字×位权） （54=5×10+4）
如两位数ab= 10a + b；三位数abc= 100a + 10b + c
（五）比例问题
比例问题在生活中比较常见，比如合理安排工人生产，按比例选取工程材料，调剂人数或货物等。
比例问题中主要考虑总量与部分量之间的关系，或是量与量之间的比例关系。
调配问题也属于比例问题，其关键是要认识清楚部分量、总量以及两者之间的关系。在调配问题中主要考虑“总量不变”。
（六）设中间变量的问题
一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。
高频考点
【考点1】一元一次方程有关概念
【例1-1】方程（k﹣2）x|k|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，则k＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．±1 D．±2
【分析】根据一元一次方程的定义可得关于k的方程组，求解即可．
【解答】解：∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+3＝0是关于x的一元一次方程，
∴，
解得：k＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义、绝对值，解题关键是熟知一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．
【例1-2】已知是关于x的一元一次方程的解，则a的值为（ ）．
A． B．1 C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查方程的解，方程的解是能使方程成立的未知数的值．根据一元一次方程的解的定义代入原方程即可求出a的值．
【详解】解：将代入可得：，
解得：，
故选：A．
针对练习1
1．已知是关于的一元一次方程的解，则的值是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入中求得的值即可，将代入中得到关于的方程是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解，
，
解得：，
故选：A．
2．下列方程中，解为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了方程的解的定义，是方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键．把分别代入各选项，即可做出判断．
【详解】解：A. 当时，左边，右边，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；
B. 当时，左边右边，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；
C. 当时，左边，右边，左边右边，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当时，左边，右边，左边右边，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
3．已知：方程是关于x的一元一次方程，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟记“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题关键．根据一元一次方程的定义，得到，且，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：．
即m的值是．
【考点2】等式性质
【例2-1】根据等式的性质，下列等式的变形正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答案：D
解析：A、，，原变形错误，不符合题意；
B、，，原变形错误，不符合题意；
C、，，原变形错误，不符合题意；
D、正确，符合题意.
故选：D.
【例2-2】由能得到等式吗？为什么？反之，由能得到等式吗？为什么？
答案：解：由不能得到.
因为当时，，0不能为除数，不符合等式的性质2.
由可以得到.
因为是已知条件，等式的两边同时乘，等式仍成立，
所以可得到等式
针对练习2
1、已知等式，则下列等式中不一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：由等式，可得：，，，
当时，无意义，不能成立.
故选：D.
2、若且，则的值为( )
A.5 B. C. D.
答案：B
解析：，
，
，
.
故选：B.
3 .已知方程，用含x的代数式表示y的形式为________.
答案：
解析：
故答案为：
4.请帮帮小马虎：
在将等式变形时，小马虎得出一个奇怪的结论，其过程如下：
因为，所以（第一步），所以（第二步）.
请回答：
（1）小马虎的第一步的依据是什么？
（2）第二步得出错误的结论，其原因是什么？
答案：（1）等式的基本性质.
（2）题中没有给出、也没有隐含这个条件，不能两边除以.
5、利用等式的性质解方程，并检验：
（1）；
（2）.
答案：（1）方程两边同时减去4得，
两边同时除以-2，得，
当时，左边，右边，
左边=右边，故是方程的解.
（2）方程两边同时减去得，
两边同时除以3得，
当时，左边，右边，
左边=右边，故是方程的解.
【考点3】解方程
【例3-1】解方程：
(1)；
(2).
答案：(1)
(2)
解析：（1），
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得；
（2）（2），
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化成1得：.
【例3-2】某同学在解关于的方程去分母时，方程右边的没有乘以6，因而求得方程的解为，求的值和方程正确的解．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照该同学的解方程过程，去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解得，解得，再按照正确的解题过程求解即可得到答案．
【详解】解：该同学的解方程过程如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵该同学解得，
∴，
∴；
正确解法如下：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
【例3-3】老师在黑板上出了一道解方程的题小明是这样做的：
①
②
③
④
⑤
(1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在第________步，错误的原因是．_______________．这一步的依据是_______________．
(2)请你自己细心地解此方程．
(3)请你根据平时学习经验，针对解一元一次方程还需要注意的事项，给其他同学提一条建议．
【答案】(1)①；去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12；等式的基本性质2
(2)
(3)把含有未知数的项都移到方程的一边,其它项都移到方程的另一边．注意:移项要变号．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
（1）小明解方程的第①步中去分母时“”没有乘以；
（2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为，从而得到方程的解．
（3）提出注意的事项即可．
【详解】（1）解：解：第①步错误，错误原因：去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12，依据是：等式的基本性质2．
（2）解：
去分母得：
去括号得：
移项得：
合并得：
系数化为1得：.
（3）把含有未知数的项都移到方程的一边,其它项都移到方程的另一边．注意:移项要变号．（答案不唯一）
针对练习3
1、从-3，-2，-1，1，2，3中选一个数作为k的值，使得关于x的方程的解为整数，则所有满足条件的k的值的积为( )
A.-4 B.-12 C.18 D.36
答案：A
解析：，
，
，
，
，
方程的解为整数，
，2
所有满足条件的k的值的积-4，
故选：A.
2、小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是( )
A.6 B.5 C.4 D.1
答案：C
解析：将代入得：，
，
解得：，
故选：C.
3、若关于x的方程与方程的解相同，则k的值为____________.
答案：11
解析：解可得：，
将代入可得：，
解得：，
故答案为：11.
4、观察如图所示的程序，若输出的结果为5，则输入的x值为_____.
答案：3或
解析：根据题意可得：
当时，运算程序是，
解得，符合题意；
当时，运算程序是，
解得：，不合题意舍去，
只取，
综上所述，或，
故答案为：3或.
5 .解方程：
答案：
解析：原方程可化为：，
去分母得：，
去括号得：，移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：.
【考点4】一元一次方程的应用
行程问题
例1.综合与实践：问题情境：太原市已建成的汾河健身智慧步道，从长风桥到胜利桥共8000米，步道上铺有保护膝盖的松软塑胶，吸引了广大市民前来健身．周日，小明和小亮相约去该步道健身，如图，小明从步道的长风桥端（记为点）出发向胜利桥端（记为点）方向行走，速度为150米/分，同时小亮从距离点500米处的步道上一点出发向点行走，速度为100米/分，设他们行走的时间为分钟．请解答下列问题．
数学思考：
(1)在上述行走过程中，小明离开点的距离为________米，小亮离点的距离为________米（均用含的式子表示）．
问题解决：
(2)求小明追上小亮时的值；
(3)如图，步道上点处是一个出口，它到起点的距离为3500米．因有其他事情，小明到达点后立即按原速返回，到点停止行走；小亮到达点也停止了行走，求小明返回途中与小亮相距250米时的值．
【答案】(1)，
(2)10
(3)25或27
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，
（1）根据明从步道的长风桥端（记为点A）出发向胜利桥端（记为点B）方向行走，速度为150米/分，同时小亮从距离A点500米处的步道上一点C出发向点B行走，速度为100米/分列出代数式即可；
（2）根据小明追上小亮列方程即可得到结论；
（3）根据小明返回途中与小亮相距250米列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：∵小明的速度为150米/分，小亮从距离A点500米处的步道上一点C出发向点B行走，速度为100米/分，他们行走的时间为x分钟，
∴小明离开A点的距离为米，小亮离A点的距离为米；
故答案为：，；
（2）解：根据题意得，，
解得：，
答：小明追上小亮时x的值为10；
（3）解：根据题意得：
或，
解得：或，
答：小明返回途中与小亮相距250米时，x的值为25或27．
工程问题
例2 .为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，花桥街道进行住房改造工程，有甲乙两个工程队加入住房改造中来，如果由甲工程队单独做需要30天完成，如果由乙工程队单独做需要20天完成．
(1)甲乙两个工程队合作，完成这项工程需要几天？
(2)甲工程队先单独做6天，因特殊事情离开，余下的乙工程队单独做，为了使人民能够更快住上于净漂亮的房屋，要求乙工程队提高一倍的工作效率来完成房屋改造工程，问乙工程队完成此项工程还需要几天？
【答案】(1)甲乙两个工程队合作，完成这项工程需要12天
(2)乙工程队完成此项工程还需要8天
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合计算的实际应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
（1）根据工作总量工作效率工作时间列式计算即可；
（2）设乙工程队完成此项工程还需要x天，根据甲做的工作量乙做的工作量工作总量建立方程求解即可．
【详解】（1）解：天，
答：甲乙两个工程队合作，完成这项工程需要12天；
（2）解：设乙工程队完成此项工程还需要x天，
由题意得，，
解得，
答：乙工程队完成此项工程还需要8天
配套问题
例3 .某工厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉．
(1)若制作若干盒月饼共用了面粉，请问制作大小两种月饼各用了多少面粉？
(2)在（1）的条件下，已知制作一个精美月饼包装盒的成本为5元，面粉的进价为25元/千克，在不计其它成本的情况下，工厂想达到的利润率，则应如何制定每盒月饼的出厂价？
【答案】(1)制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉
(2)每盒月饼的出厂价应定为26元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；
（1）设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼，根据“每盒装4块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉”列方程求出x即可；
（2）设每盒月饼的出厂价为元，根据工厂想达到的利润率列方程求解即可.
【详解】（1）解：设用面粉制作大月饼，则用面粉制作小月饼，
由题意得：，
解得：，
则，
答：制作大月饼用了面粉，制作小月饼用了面粉；
（2）设每盒月饼的出厂价为元，
由（1）可知，共制作出月饼（盒），
由题意得：，
解得：，
答：每盒月饼的出厂价应定为26元．
销售利润问题
例4 .双节（中秋节和国庆节）期间，各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是甲乙两个商场各自推出的优惠办法：
甲：1．若一次购物不超过元（不含），不予优惠．
2．若一次购物满元（含），但不超过元（不含），所有商品享受9折优惠．
3．若一次购物超过元（含），超过部分享受6折优惠，其余部分享受9折优惠；
乙：1．若一次购物不超过元（不含），不予优惠．
2．若一次购物满元（含），则所有商品率受8折优惠．问：
(1)李老师想到甲商场买一件标价为元的衣服，她应该付多少钱？
(2)当购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
【答案】(1)她应该付元钱；
(2)当购买不超过元或元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠
【分析】（1）本题考查列代数式分段计价问题，根据题意分段列式求解即可得到答案；
（2）本题考查一元一次方程解决销售活动问题，根据费用相等列方程求解即可得到答案
【详解】（1）解：由题意可得，
（元），
答：她应该付元钱；
（2）解：由题意可得，
①当一次购物不超过元，两个商场都不做活动，在两个商场可以享受相同的优惠；
②一次购物超过元，设购买元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠，由题意可得，
，
解得，
综上所述，当购买不超过元或元钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠．
方案选择问题
甲、乙两家店出售同样品牌的茶壶和茶杯，售价也相同，茶壶每把28元，茶杯每只4元．以下是两家店的优惠方案：
甲店：买一送一（买一把茶壶赠送茶杯一只）；乙店：全场九折优惠．
某茶社需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
(1)设购买茶杯只；
①在甲店购买需付________元；②在乙店购买需付________元；
(2)若茶社需购买10只茶杯时，到哪家店购买较便宜？说明理由．
(3)当茶社购买多少只茶杯时，在两家店所付的款一样多．
【答案】(1)，
(2)到甲店购买较便宜
(3)15
【分析】本题考查了根据题意列代数式，求代数式的值，一元一次方程的应用等知识．
（1）根据两店的优惠方案列出式子并化简即可求解；
（2）把分别代入（1）中代数式，再对代数式的值进行比较即可求解；
（3）根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设购买茶杯只，
①在甲店购买需付元；
②在乙店购买需付元．
故答案为：，；
（2）解：当时，
元，元，
，
∴到甲店购买较便宜；
（3）解：设购买茶杯只时，在两家店所付的款一样多．
由题意得，
解得，
答：当茶社购买15只茶杯时，在两家店所付的款一样多．
球赛积分问题
例6 .例七（1）班组织生活小常识竞赛，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛者的得分情况，根据表中信息解答下列问题：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
①号 20 0 100
②号 19 1 94
③号 18 2 88
④号 16 4 76
⑤号 10 10 40
(1)如果参赛者⑥号得分为64分，那么他答错了几道题？
(2)如果参赛者⑦号说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由．
【答案】(1)参赛者得64分，他答错了6道题；
(2)不可能；理由见解析．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用：
（1）根据题意先求出答对一题的得分，答错一题的扣分，然后设参赛者⑥号答对了道题，答错了道题，根据“参赛者⑥号得分为64分，”列出方程，即可求解；
（2）假设他得60分可能，设参赛者⑦号答对了道题，答错了道题，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，答对一题的得分是：，
答错一题的扣分为：（分）．
设参赛者⑥号答对了道题，答错了道题，
由题意，得，
解得，
，
答：参赛者得64分，他答错了6道题；
（2）解：假设他得60分可能，
设参赛者⑦号答对了道题，答错了道题，
由题意，得，
解得，
因为为正整数，
所以参赛者⑦号说他得60分，是不可能的．
几何图形问题
例7 .如图，这是由6块正方形组成的长方形．已知中间小正方形的边长是1，则这个长方形的面积是 ．
【答案】143
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这6个正方形中最大的一个边长为x，用含x的式子表示出其余正方形的边长，根据长方形的对边相等列方程，求出x的值，进而求出长方形的长和宽，即可求出面积．
【详解】解：设这6个正方形中最大的一个边长为x，
∵图中最小正方形边长是1，
∴其余的正方形边长分别为，，，，
∴，
∴，
∴长方形的长为，宽为，
∴面积为．
故答案为：143．
其他问题
例8 .某校开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖，根据需要购买了50件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件，各种奖品的单价如表所示：
一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品
单价（元/件） 20 14 8
数量（件） x
(1)用含x的式子表示：二等奖奖品的数量是______件，三等奖奖品的数量是______件；
(2)求购买这50件奖品所需的总费用（用含x的式子表示，结果化为最简形式）；
(3)若二等奖奖品购买了22件，则该校购买奖品共花费多少元？
【答案】(1)，
(2)元
(3)该校购买奖品共花费元
【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的式子和方程是解题的关键．
（1）根据二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的3倍少2件得到二等奖奖品的数量是件，再根据总奖品为50件，求出三等奖的数量即可；
（2）根据（1）所求，结合一等奖，二等奖，三等奖奖品的单价列式求解即可；
（3）根据题意可得方程，解方程求出x的值，再代入（2）中结果中计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，二等奖奖品的数量是件，
∴三等奖奖品的数量是件，
故答案为：，；
（2）解：
元，
∴购买这50件奖品所需的总费用为元；
（3）解：由题意得，，
解得，
∴元，
答：该校购买奖品共花费元．
针对练习4
1．某社区做核酸检测，甲单独采完样需8小时，乙单独采完样需10小时．现在由甲先单独采样小时，然后由甲和乙合作共同完成采样．完成此次核酸检测采样的时间为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．
【详解】解：设甲和乙合作的时间为x小时，根据题意得：
，
解得：，
（小时），
故选：B．
2．幻方是中国古代的一种谜题，在如图所示的正方形网格中填上9个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则x的倒数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，倒数的定义，列代数式，等式的性质，设左上角的数为a，左下角的数为b，正中间的数为c，则，求得，设每行、每列及对角线上的数字之和都等于w，则，求得，再根据倒数的定义即可得到问题的答案．
【详解】解：设左上角的数为a，左下角的数为b，正中间的数为c，
由第一行三个数的和等于第一列三个数的和得，
解得，
设每行、每列及对角线上的数字之和都等于w，
根据题意得，
，
解得：，
x的倒数为
故答案为：．
3．两地相距，甲、乙两车分别从两地出发，沿一条公路匀速相向而行，甲与乙的速度分别为和，甲从地出发，到达地立刻调头返回地，并在地停留等待乙车抵达，乙从地出发前往地，和甲车会合．
(1)求两车第一次相遇的时间（用一元一次方程解答）；
(2)直接写出甲车出发多长时间，两车相距．
【答案】(1)两车经过5小时第一次相遇
(2)甲车出发时或时或时或时或29时，两车相距
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分类讨论思想应用．
（1）设经过x小时两车第一次相遇，根据“甲车行驶路程加上乙车行驶路程”列方程求解；
（2）设甲车出发t小时与乙车相距分第一次相遇前、后，第二次相遇前、后及甲车到达M地停留等待乙车抵达时五种情况，列方程求解．
【详解】（1）解：设经过x小时两车第一次相遇，由题意可得：
，
解得：，
答：两车经过5小时第一次相遇；
（2）解：设甲车出发t小时与乙车相距，
①两车第一次相遇前，
，
解得：；
②两车第一次相遇后且甲车还未到达N地，
，
解得：；
③甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇前，
，
解得：；
④甲车到达N地返回M地至两车第二次相遇后，
，
解得：；
⑤甲车到达N地等待乙车抵达时，
，
解得：，
综上，甲车出发时或时或时或时或29时，两车相距．
4．用A，B两种硬纸板做圆柱模型，每个圆柱需要1个长方形做侧面和2个圆做底面．两种硬纸板以如图两种方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）．
A纸板：剪2个长方形做侧面和3个圆做底面；
B纸板：剪1个长方形做侧面和4个圆做底面．
问需要用A，B两种硬纸板各多少张恰好能做这种圆柱模型1000个？
【答案】需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板
【详解】设需要x张A种硬纸板，y张B种硬纸板，根据题意，得
，解得
答：需要用400张A种硬纸板，200张B种硬纸板．
5．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
(1)每件服装的标价是多少元？
(2)该服装每件打几折销售能恰好保证利润率为？（利润率=利润成本）
【答案】(1)每件服装的标价是200元
(2)打9折销售能恰好保证利润率为
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设每件服装的标价是x元，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）设打m折销售能恰好保证利润率为，然后根据题意可得方程，进而求解即可．
【详解】（1）解：设每件服装的标价是x元，
根据题意得，
解得，
答：每件服装的标价是200元；
（2）解：设打m折销售能恰好保证利润率为，
根据题意得
解得．
答：打9折销售能恰好保证利润率为．
6．西安滨河学校一年一度的校园艺术节又来了，初一年级的红歌比赛要在10月14日举行，鸿图A班和鸿瑞B班共有94名学生，（其中鸿图A班人数多于鸿瑞B班人数，且鸿图A班人数不够90名）准备统一购买服装参加比赛，下面是某服装厂给出的服装价格表：
购买服装的套数 1套—46套 47套—90套 91套及以上
每套服装的价格 60元 50元 40元
如果两个班分别单独购买服装，一共应付5120元．
(1)若两班联合起来购买服装，则比各自购买服装共可以节省多少元？
(2)鸿图A、鸿瑞B两个班各有多少名学生准备参加红歌比赛？
(3)如果鸿图A班有10名学生被调去参加年级节目，不能参加红歌比赛，请你为这两个班设计一种最省钱的购买胶装的方案．
【答案】(1)元
(2)鸿图A班和鸿瑞B班分别有52人、42人准备参加演出
(3)最省钱的购买服装方案是两班联合购买91套服装（即比实际人数多购买7套）
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的算式和方程是解题的关键．
（1）计算出联合起来购买需付的钱数，然后即可得出节省的钱数．
（2）根据题意判断出鸿图A班的学生大于48人，鸿瑞B班的学生小于46人，从而根据两所学校分别单独购买服装，一共应付5120元，可得出方程，解出即可；
（3）根据实际人数84乘以单价得购买费用，再计算总人数乘以单价的购买费用，两者比较可得省钱的购买方案．
【详解】（1）解：（元）．
答：两班联合起来购买服装，比各自购买服装共可以节省元．
（2）解：∵鸿图A班的人数多于鸿瑞B班的人数，
∴鸿图A班的学生人数大于48，鸿瑞B班的学生小于48，
设鸿图A班有x人准备参加演出，则鸿瑞B班有人准备参加演出．
由题意，得．
解得，
∴．
答：鸿图A班和鸿瑞B班分别有52人、42人准备参加演出．
（3）解：∵鸿图A班有10人不能参加比赛，
∴鸿图A班有（人）参加比赛，
∴两班参加演出的人数为．（人）．
若两班联合购买84套服装，则需要（元）．
但如果两班联合购买91套服装，只需（元）．
∵．
∴最省钱的购买服装方案是两班联合购买91套服装（即比实际人数多购买7套）．
7．某次数学竞赛，共有20道题目，其中三位同学的得分如表；
人名 答对题数 答错或不答题数 得分
小明 20 0 100
小丽 14 6 64
小红 19 1 94
问题：
(1)由如表可知，每答对一道题得______分，答错或不答得______分；
(2)若小军同学的得分为76分，请问小军答对了几道题？
(3)有同学说他的得分为80分，请问合理吗？说说理由．
【答案】(1)5，
(2)小军答对了16道题；
(3)不合理，理由见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设每答对一道题得x分，设答错或不答得y分，分别根据小明和小红的得分列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设小军答对了m道题，则答错或不答道题，根据小军同学的得分为76分，列出方程，解方程即可；
（3）设该同学答对了a道题，则答错或不答道题，根据有同学说他的得分为80分，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：设每答对一道题得x分，
由题意得：，
解得：，
∴每答对一道题得5分；
设答错或不答得y分，
由题意得：，
解得：，
∴答错或不答得分，
故答案为：5，；
（2）解：设小军答对了m道题，则答错或不答道题，
由题意得：，
解得：，
答：小军答对了16道题；
（3）解：不合理，理由如下：
设该同学答对了a道题，则答错或不答道题，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
∴有同学说他的得分为80分，是不合理的．
8．综合与实践
【问题情境】：
新学期，两摞规格相同的数学课本整齐地叠放在讲台上，左边一摞有3本，右边一摞有6本，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题：
【知识运用】
（1）求每本书的厚度和课桌的高度分别是多少cm？
（2）当课本数为x（本）时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离（用含x的代数式表示）．
【综合应用】
（3）若桌面上有54本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成摞，若有16名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离．
【分析】（1）让高摞书距离地面的距离减去低摞书距离地面的距离后除以3即为每本数的高度；让低摞书的高度减去3本书的高度即为课桌的高度；
（2）高出地面的距离＝课桌的高度+x本书的高度，把相关数值代入即可；
（3）把x＝54﹣16代入（2）得到的代数式求值即可．
【解答】解：（1）书的厚度为：（88﹣86.5）÷（6﹣3）＝0.5cm；
课桌的高度为：86.5﹣3×0.5＝85cm．
故答案为：0.5；85；
（2）∵x本书的高度为0.5x，课桌的高度为85，
∴高出地面的距离为（85+0.5x）（cm）．
故答案为：（85+0.5x）cm；
（3）当x＝54﹣16＝38时，85+0.5x＝104cm．
故余下的数学课本高出地面的距离是104cm．
【点评】本题主要考查列代数式，得到课桌的高度及每本书的厚度是解决本题的关键．
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