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配方法
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。
基础的配方法：若二次项系数为1，且缺少常数项，则加上一次项系数一半的平方，配成一个完全平方式；若二次项系数不为1，且缺少常数项，则先将二次项系数化为1，再加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式。
配方时主要用到以下两个公式：
①
②
重要结论：
①
②
③
题型一：一元二次方程求解
例1、解方程
解：
∴
例2、解方程
解：首先将项拆成和
得
因此，或
所以，原方程的四个根为：
题型二：二次函数求最值
例3、已知实数满足，则的最大值为多少
解：∵
∴
∴
∴
题型三：证明非负性
例4、证明：
解：
题型四：分解因式
例5、分解因式：
解：原式
题型五：求抛物线的顶点坐标
例6、求抛物线的顶点坐标。
解：
故此抛物线的顶点坐标为
题型六：代数求值
例7、已知有理数x,y,z满足，那么，的值为多少？
解：∵
∴
∵
∴
∴
题型七：证明字母的值相等
例8、已知是的三边，且满足，判断这个三角形的形状，并说明理由。
解：是等边三角形
理由如下：∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是等边三角形
题型八：比较大小
例9、若代数式，试比较M与N 的大小。
解：
∵
∴
∴
【学以致用】
1.阅读理解并解答：（方法呈现）
（1）我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：
则这个代数式的最小值是________，这时相应的x的值是________
（尝试应用）
（2）求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．（拓展提高）
（3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度及这两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．
2.阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1.
（1）当________时，代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
（2）当________时，代数式有最________（填“大”或“小”）值为________．
（3）如图，已知矩形花园的一边靠墙，另外三边用总长度是的栅栏围成，当花园与墙垂直的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？（假设墙足够长）
3.某“优学团”在社团活动时，研究了教材第12页的“数学实验室”他们发现教材阐述的方法其实是配方过程的直观演示．他们查阅资料还发现，这种构图法有阿拉伯数学家阿尔花拉子米和我国古代数学家赵爽两种不同构图方法．该社团以方程为例，分别进行了展示，请你完成该社团展示中的一些填空．因为，所以有．
展示1：阿尔 花拉子米构图法
如图1，由方程结构，可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形若剪去两个相邻的，长、宽都分别为5和的小矩形，重新摆放并补上一个合适的小正方形，可以拼成如图2的大正方形．
（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为________；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为________；
展示2：赵爽构图法
如图3，用4个长都是，宽都是的相同矩形，拼成如图3所示的正方形．
（2）图3中，大正方形面积可以表示为________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于________，故可得原方程的一个正的根为________．
（3）请选择上述某一种拼图方法直观地表示方程的配方结果（请在相应位置画出图形，需在图中标注出相关线段的长度）．
4.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．解：，
∵，
∴，即的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题：
（1）已知，求的最小值．
（2）比较代数式与的大小，并说明理由．
（3）如图，在中，，，，点P在AC边上以的速度从点A向C移动，点Q在CB边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形APQB的面积为，运动时间为秒，求S的最小值．
5.甲、乙两位同学在求二次函数的函数值的取值范围时分别有以下方法：
甲：配方思想，即.
∵，∴.
乙：方程思想，即关于的方程有解，
∴，
解不等式得.
（1）求二次函数的函数值的取值范围；
（2）一正比例函数图像与双曲线：交于A，B两点，当线段AB长度取最小值时求此正比例函数解析式．
6.某医药研究所研制并生产治疗同一种病的A，B两种新药，经过统计，有两个成年人同时按正常药量服用，1小时后，服用A药品的血液中含药量（微克毫升）与时间（小时）满足反比例函数，服用B药品的血液中含药量（微克毫升）与时间（小时）满足二次函数，如图所示，且在3小时，含药量达到最大值为8微克毫升．
（1）求k以及a，b，c的值；
（2）当服用B药品的血液中含药量为3.5微克毫升时，求的值；
（3）若血液中B药品含量不低于6.5微克毫升时，A药品含量在0.75微克毫升与4.5微克毫升之间（包括0.75和4.5）时为疗效时间，求这两种药品均起疗效的时间有多长？（结果保留根号）
7.如图，已知抛物线经过点，，三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D为抛物线的顶点，求的面积；
（3）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（4）在（3）的条件下，连接NB，NC，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
8.阅读下列材料：
材料一：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数（三边形数）；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数（四边形数）．
材料二：在整式的运算中，把多项式中某些部分看做一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化多项式，而且能使式子的特点更加明显，便于完成运算，这种方法就是换元法．例如：，观察后可设，则原式可简化为，然后再根据需要进行下一步计算
材料三：利用配方把二次方程转化为一次方程进而求解的方法我们称为配方法
例如：解方程，可以将方程变形为，配方得，从而，故求得或-4．
请根据以上材料解决下面的问题：
（1）请直接写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为________．
（2）试证明：当a为整数时，必为正方形数
（3）我们记第n个k边形数为（其中）
例如：，，．
通过进一步的研究发现，，，
若n满足，求出的值．
9.阅读下列材料
材料1：我们知道如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定．若给出任意一个三角形的三边长，你能求出它的面积吗？设一个三角形的三边长分别为a，b，c，我们把它的面积记为S．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个通过三角形的三边长来求面积的海伦公式．我们可以把海伦公式变形为：
材料2：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值
例如：求的最小值
∵
∴
当时，，此时取得最小值
请你运用材料提供的方法，解答以下问题
（1）若三角形的三边长分别为13，14，15，求该三角形的面积；
（2）小新手里有一根长12米的铁丝，他想用这根铁丝制作一个三角形模型，要求该三角形的一边长为4米且面积最大，请你帮助他计算出这个三角形另两边的边长，并说明理由．
10.数学兴趣小组几名同学到商场调查发现，一种纯牛奶进价为每箱40元，厂家要求售价在40～70元之间，若以每箱70元销售平均每天销售30箱，价格每降低1元平均每天可多销售3箱．
（1）现该商场要保证每天盈利900元，同时又要使顾客得到实惠，那么每箱售价为多少元？
（2）若每天盈利为元，请利用配方法直接写出每箱售价为多少元时，每天盈利最多．
11.例读下列材料并解答后面的问题：
利用完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，，求的值
解：通过对例题的理解解决下列问题：
（1）已知，，求；
（2）若，求的值；
（3）若n满足，求式子的值．
12.阅读理解：
材料一：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为（在由原方程得到新方程的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想）．
于是可解得，．
①当时，，∴；
②当时，，∴；
∴原方程有四个根：，，，．
材料二：恒等变形是代数式求值的一个重要的方法．利用恒等变形，可以把无理数运算转化问有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式．
例如：当时，求的值．为解答这道题，直接代入的值进行计算，显然比较麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答：
先将条件化为整式，再把无理数运算转为有理数运算．
由，得，两边同时平方得，即，．
原式
请参照以上的解决问题的思路和方法，解决下列问题：
（1）解方程：
（2）若，求的值．
13.阅读下列材料：
配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则，∴，已知，求x，y的值，则有，∴，解得，．解方程，则有，∴，解得，．
根据以上材料解答下列各题：
（1）若，求a的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求a的值；
（4）若a，b，c表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
14.阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方…
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出的两种不同形式的配方；
（2）已知，求的值；
（3）已知，求的值．
15.请阅读以下材料，并解决问题：
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
【例1】把二次三项式进行配方．
解：．
【例2】已知，求x和y的值．
解：由已知得：，
即，
所以，，
所以，．
（1）若可配方成（m，n为常数），求m和n的值；
（2）已知实数x，y满足，求的最大值；
（3）已知a，b，c为正实数，且满足和，试判断以b，c，a+b为三边的长的三角形的形状，并说明理由．
16.何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解答过程的例题．
例：若，求m和n的值．
解：因为
所以
所以
所以，所以，
为什么要对进行了拆项呢？
聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题．相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程．
解决问题：
（1）若，求的值；
（2）已知a，b满足，求的值．
17.已知实数a，b，c满足．
（1）分别求a，b，c的值；
（2）若实数x，y，z满足，，，求的值．
18.阅读理解应用：要想比较和的大小关系，可以进行作差法，结果如下：
若，则；若，则；若，则．
（1）比较与的大小，并说明理由．
（2）比较与的大小，并说明理由．
（3）直接利用（2）的结论解决：求的最小值．
（4）已知如图，直线于O，在a，b上各有两点B，D和A，C，，，，，且，求四边形ABCD面积的最小值．
19.先仔细阅读材料，冉尝试解决问题
完全平方公式及的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式
因为无论x取什么数，都有的值为非负数，所以的最小值为0，当时，的最小值是，所以当时，原多项式的最小值是．
解决问题：
（1）请根据上面的解题思路探求：多项式的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求：多项式的最大值是多少，并写出此时x的值．
20.阅读下列材料：
材料1：
公式：．
运用上面公式我们可以得出：
公式逆用可以得出：
．
材料2：
例题：已知，求a，b的值．
解：因为，
所以0，
所以，所以，，
所以，．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）计算：；
（2）已知，求x，y的值；
（3）已知，求的值．
配方法
【参考答案】
1.解：（1）∵
∴其最小值为2，这时相应的的值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为59，相应的的值为7；
（3）有最大值；
设一段铁丝长为，则另一段长为，
由题意得：
当时，两个正方形的面积之和有最大值，则另一段铁丝的长度为.
2.解：（1）当时，代数式有最大值为2，
故答案为：1；大；2.
（2）∵，
∴当时，代数式有最大值为5.
故答案为：1；大；5；
（3）根据题意可得：当花园与墙垂直的边长为时，
，
∴当时，S取得最大值50，
∴当花园与墙垂直的边长为时，花园的面积最大，最大面积是.
3.解：（1）图2中，补上的空白小正方形的边长为5；通过不同的方式表达大正方形面积，可以将原方程化为；
故答案为：5，5，25；
（2）图3中，大正方形面积可以表示为（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，
则，
，
，
解得，．
故原方程的一个正的根为．
故答案为：，，；
（3）如图所示：
4.解：（1），
∵，∴，∴的最小值为3．
（2）
∵，∴，∴.
（3）由题意，得，，，
∴
∵，∴，∴当时，S有最小值5
5.解：（1）由题得
∵，
∴.
（2）设，则.
∵，
∴当时，即时，取得最小值，
∴AO的最小值为，
∴，
此时.
6.解：（1）∵点在上，
∴.
∵抛物线的顶点坐标为，
∴设.
∵也在抛物线上，
∴，
解之得，，
∴，
∴，．
（2）由题意得，，
解之得，（舍去），，
当时，．
（3）由题意得，，
解之得，，，
由图象得，B产品的疗效时间范围是，
当时，，
当，，
由图象得，A产品的疗效时间范围是，
所以这两种药品均起疗效的时长为小时.
7.解：（1）设抛物线的解析式为：，
则将代入，得，解得；
∴抛物线的解析式：．
（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，
配方得，
∴顶点.
如图，
连结CD，DB，
∵，，
∴，.
∴
（3）如图所示，
设直线BC的解析式为，
则代入，，
有，解得
∴直线BC的解析式．
已知点M的横坐标为m，，
∴，，
∴
（4）如图所示，
∵
∴
∴当时，的面积最大，最大值为．
8.解：根据阅读材料可知：
三角形数为：1，3，6，10，15，21，28，36，…，
四边形数为：1，4，9，16，25，36，…
所以既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为36．
故答案为36．
证明：当a为整数时，
设，
则原式．
因为是完全平方数，即为正方形数，
所以当a为整数时，必为正方形数；
根据题意可知：
，
，
，
…，
发现规律：
．
∴，
，
所以，
，
，
整理，得
因为为正整数，
所以，
所以
把代入，得．
9.解：（1），
三角形的面积；
（2）设这个三角形的一边为，则另一边为，
三角形的面积，
当时，面积有最大值，
∴这个三角形另两边的边长都是4．
10.解：（1）设每箱售价为元，根据题意得：
化简得：
解得：或（不合题意，舍去）
∴
答：当每箱牛奶售价为50元时，平均每天的利润为900元．
（2）由（1）可知，
∴当时，每天盈利最多．
答：每箱售价为60元时，每天盈利最多．
11.解：（1）∵，，
∴原式；
故答案为：10；
（2）把两边平方得：，
则；
（3）∵，
∴，
则．
12.解：（1）令，
原方程可化为，
∴，
∴或，
当时，，
∴或，
当时，方程无解，
∴原方程有两个根，或；
（2）∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
13.解：（1）∵
∴
∴
（2）∵
∴
∴，
∴
（3）∵
∴
∴，
（4）为等边三角形，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴是等边三角形
14.解：（1）的两种配方分别为：
，
；
（2）由得：，
∴
解得：，
∴；
（3）
从而有，，，
即，，，
故．
15.解：（1）因为．
所以，．
（2）由可得：．
．
因为，所以，
即当时，的最大值为6．
（3）以，，为三边的长的三角形是等腰直角三角形，理由如下：
由可得：，
因为，，都为正数，
所以，，
所以，即以，，为三边的长的三角形是等腰三角形
∵………①………②
由①+②得：，
，
．
即以，，为三边的长的三角形是直角三角形，
所以以，，为三边的长的三角形是等腰直角三角形
16.解：（1）∵，
∴，
即，；
解得，，
∴
（2）∵
∴
∴
∴，，
∴．
17.解：（1）已知等式整理得：，
∴，，，
解得：，；
（2）把，代入已知等式得：，即；，即；，即，
∴，
则原式．
18.解：（1）∵，
∴；
（2），
理由：∵，
∴；
（3）
的最小值是5；
（4）∵，，，，且，
∴
四边形ABCD面积的最小值是40.5．
19.解：（1）
当时，多项式的最小值是1；
（2），
当时，多项式的最大值是15．
20.解：（1）
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得，，；
（3），
则，
则，，
∴

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