资源简介

将军饮马
知识背景
传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传。
模型概述
将军饮马模型主要是指求路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
基本原理
1、两点之间，线段最短；
2、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
3、中垂线上的点到线段两端点的距离相等；
4、垂线段最短。
基本模型
模型一：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求和最小。
1、如图，定点A、B分布在定直线l两侧，在直线l上找一点P，使的值最小。
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求，PA+PB的
最小值即为线段AB的长度。
理由：在l上任取异于点P的一点，连接、，
在中，，即
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小。
基本原理：三角形两边之和大于第三边；两点之间，线段最短。
模型二：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求和最小。
2、如图，定点A和定点B在定直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点，连接交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段的中垂线，由中垂线的性质得：，要使PA+PB最小，则需值最小，从而转化为模型1。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
模型三：一条定直线，同侧两个定点，一个动点，求差最大。
3、如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。
解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
理由：此时，在l上任取异于点P的一
点，连接、，由三角形的三边关系知，即.
基本原理：三角形两边之和大于第三边。
模型四：一条定直线，异侧两个定点，一个动点，求差最大。
4、如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等），在直线l上找一点P，使的值最大。
解：作点B关于直线l的对称点，连接并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段的中垂线，由中垂
线的性质得：，要使最大，则需值最大 ，从而转化为模型3。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等。
模型五：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线同侧，求和最小。
5、如图，A为锐角∠MON外一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。
解：过点A作于点Q，AQ与OM相交于点P，此
时，AP+PQ最小；
理由：，当且仅当A、P、Q三点共线时，
AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小。
基本原理：垂线段最短。
模型六：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。
6、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AP+PQ的值最小。
解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON
于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；
理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，
只需A′P+PQ最小，从而转化为模型5。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等，垂线段最短。
模型七：两条定直线，一个定点，两个动点，定点在两直线异侧，求和最小。
7、如图，A为锐角∠MON内一定点，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使的周长最小。
解：分别作A点关于直线OM的对称点A1，关于ON的对
称点A2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点
P和点Q即为所求，此时周长最小，最小值
即为线段A1A2的长度；
理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，的周
长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线
时，其值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
模型八：两条定直线，一条定线段，两个动点，定线段在两直线异侧，求和最小。
8、如图，A、B为锐角∠MON内两个定点，在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小。
解：作点A关于直线OM的对称点，作点B关于直线
ON的对称点，连接交OM于P，交ON于Q，则
点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即
为线段AB和的长度之和；
理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为，将QB转化为，当、P、Q、四点共线时，的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
模型9：两条平行直线，一条垂线段，两个定点，定点在平行线外侧，求和最小。
9、如图，直线，A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直），在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至
点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点
Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此
时AP+PQ+BQ最小。
理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型10：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线异侧，求和最小。
10、如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边），确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小。
解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至，使=PQ=a，连接交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为+PQ，即+a。
理由：易知四边形为平行四边形，则，当、Q、B三点共线时，+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型11：一条定直线，一条动线段，两个定点，定点在直线同侧，求和最小。
11、如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边），确定PQ的位置，使得四边形APQB周长最小。
解：作A点关于l的对称点，将点沿着平行于l
的方向，向右移至，使，连接
交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左边），线段
PQ即为所求，此时四边形APQB周长的最小值为
，即。
理由：易知四边形为平行四边形，则，当、Q、B三点共线时，最小，即最小，又AB长为定值，此时四边形APQB周长最小。
基本原理：两点之间，线段最短。
模型12：两条定直线，两个定点，两个动点，两个定点分别在两条直线上，求和最小。
12、如图，点A在射线OM上，点B在射线ON上，在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使AQ+QP+PB最小。
解：作点A关于直线OM的对称点，作点B关于直线
ON的对称点，连接交OM于P，交ON于Q，则
点P、点Q即为所求，此时AQ+QP+PB最小，即为线段的长；
理由：AB长为定值，将QA转化为，将PB转化为，当、P、Q、四点共线时的值最小，即AQ+QP+PB的值最小。
基本原理：中垂线上的点到线段两端点的距离相等；两点之间，线段最短。
典例精析
例1、如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
解：连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小．
令中x=0，则y=4，∴点B坐标；
令中y=0，则，解得：，
∴点A的坐标为．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴CD为的中位线，
∴轴，且，
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴O为DD′的中点，D′，
∴OP为的中位线，
∴，
∴点P的坐标为．
在中，CD′===5，即PC+PD的最小值为5.
例2、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P在直线上运动，当|PA﹣PB|最大时点P的坐标为_________，|PA﹣PB|的最大值是_________.
解：作A关于直线对称点C，易得C的坐标为；
连接BC，可得直线BC的方程为，
与直线联立解得交点坐标P为；
此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，最大值BC==。
例3、如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M、N分别是线段AC、
AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为　　　　．
解：作点B关于AC的对称点E，再过点E作EN⊥AB于N，则BM+MN=EM+MN，其最小值即EN长；
∵AB=10，BC=5
∴AC==
等面积法求得AC边上的高为
∴
易知
∴，代入数据解得EN=8
即BM+MN的最小值为8
例4、如图，，点P是内的定点且，点分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则周长的最小值是多少？
解：如图，作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N.
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，
，
∴此时周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，
∵，
∴OH=OC=，CH=OH=，
∴CD=2CH=3．
即周长的最小值是3.
例5、如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，，，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A坐标为　 　，点B坐标为　 　；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.
解：（1）∵∠A=60°，AD=2，
∴，
∴，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=OC=6，
∴DB=6-2=4，
∴
（2）如图，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，
∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四边形OMPE是矩形，
∴PM=OE=，
∵OE=OE′，
∴PM=OE′，，
∴四边形OPME′是平行四边形，
∴OP=EM，
∵PM是定值，
∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，
∵直线OB的解析式为y=x，
∴．
例6、如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，把绕点O按顺时针方向旋转90°，得到．
（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．
解：（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4，
∴C点的坐标是，D点的坐标是.
（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意，得
解得，
∴所求抛物线的解析式为；
（3）要使四边形ACEF的周长最小，只需AF+CE最短.
抛物线的对称轴为x=1.
将点A向上平移至，则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点
，连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，
可求得A2C的解析式为，当时，，
∴点E的坐标为，点F的坐标为．
【学以致用】
1、如图，正方形ABEF的面积为4，是等边三角形，点C在正方形ABEF外，在对角线BF上有一点P，使PC＋PE最小，则这个最小值的平方为（ ）
A. B. C.12 D.
2、如图，在中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12，的周长是20，若点P在直线MN上，则的最大值为（ ）
A.12 B.8 C.6 D.2
3、如图，在∠MON的边OM，ON上分别有点A、D，且∠MON＝30 ，OA＝10，OD＝6，B、C两点分别是边OM，ON上的动点，则AC＋BC＋BD的最小值为 .
4、如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，AC与BD交于点O，点N在AC上且AN＝2，点M在BC上且，P为对角线BD上一点，则的最大值为 .
5、如图，在菱形ABCD中，，∠A＝120 ，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK＋QK的最小值为 .
6、如图，等边的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则的度数为多少？
7、如图，在中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB.
（1）若∠ABC＝70 ，则∠NMA的度数是 ；
（2）若AB＝8，的周长是14.
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出周长的最小值.
8、如图，在四边形ABCD中，，，点E为AD的中点，点F为AE的中点，AC⊥CD，连接BE、CE、CF.
（1）判断四边形ABCE的形状，并说明理由；
（2）如果AB＝4，∠D＝30 ，点P为BE上的动点，求的周长的最小值.
9、如图，在中，AB＝AC，AD是中线，且AC是DE的中垂线，
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接CE，写出BD和CE的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝90 ，BC＝8时，在AD上找一点P，使得点P到点C与到点E的距离之和最小，求的面积.
10. 如图，在中，∠ACB＝90 ，以AC为边在外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE，
（1）说明：AE＝CE＝BE；
（2）若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB＋PC最小，并求出此时PB＋PC的值.
11、如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90 ，∠C＝90 ，∠D＝60 ，AD＝3，，若点M、N分别为边CD、AD上的动点，则的周长最小值为（ ）
A. B.3 C.6 D.3
12、如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，DA＝6，∠B＋∠C＝150 ，CD与BA的延长线交于E点，A刚好是EB中点，P、Q分别是线段CE、BE上的动点，则BP＋PQ最小值是（ ）
A.12 B.15 C.16 D.18
13、如图，等边中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连接BM、BN，当BM＋BN最小时，∠MBN＝ .
14、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且，则PC＋PD的最小值为 .
15、如图，在中，∠ACB＝90 ，点D是直线BC上一点.
（1）如图1，若AC＝BC＝2，点D是BC边的中点，点M是线段AB上一动点，求周长的最小值；
（2）如图2，若AC＝4，BC＝8，是否存在点D，使以A，D，B为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直按写出线段CD的长度；若不存在，请说明理由.
16、如图，在锐角三角形ABC中，，∠ABC＝45 ，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，试求CM＋MN的最小值.
17、如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∠ADB＝90 ，E、F分别为边AB、CD的中点.
（1）求证：四边形DEBF是菱形；
（2）若BE＝4，∠DEB＝120 ，点M为BF的中点，当点P在BD边上运动时，求PF＋PM的最小值.
18、已知：矩形ABCD中，AD＝2AB，AB＝6，E为AD中点，M为CD上一点，PE⊥EM交CB于点P，EN平分∠PEM交BC于点N.
（1）求证：PE＝EM；
（2）用等式表示BP2、PN2、NC2三者的数量关系，并加以证明；
（3）过点P作PG⊥EN于点G，K为EM中点，连接DK、KG，求DK＋KG＋PG的最小值.
将军饮马
【参考答案】
1、解：连接AC、AE，过点C作CG⊥AB，如图所示：
∵四边形ABEF为正方形，
∴AE⊥BF，OA＝OE，
即可得：E关于BF的对称点是A，连接AC交BF于P，则此时EP＋CP的值最小，EP＋CP＝AC，
∵正方形ABEF的面积为4，是等边三角形，
∴AB＝BE＝2，BE＝BC＝2，
在中，，BC＝2，
∴CG＝1，，
∴，
∴，即这个最小值的平方为.
解：∵MN垂直平分AC，
∴MA＝MC，
又∵，BM＋MA＝AB＝12，
∴，
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC，
如图所示，连接PA、PB、PC，∴PA＝PC，
∴，
在中
当P、B、C共线时有最大值，此时，故选B.
3.解：作点D关于OM的对称点D'，作点A关于ON的对称点A'，连接A'D'，与OM，ON的交点就是点B、C，如图所示：
此时AC＋BC＋BD＝A'C＋BC＋BD'＝A'D'为最短距离。
连接OD'，OA'，
根据对称性可知：
OA＝OA'，OD＝OD'，∠AOA'＝60 ，∠DOD'＝60 ，
∴和是等边三角形，
∴OD'＝OD＝6，OA'＝OA＝10，∠A'OD＝90 ，
根据勾股定理，得，
∴AC＋BC＋BD的最小值为.
4.解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点，连接，，
根据轴对称性质可知，，∴，
当P，M，N'三点共线时，取“＝”，
∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60 ，
∴AC＝6，
∵O为AC中点，
∴AO＝OC＝3，
∵AN＝2，∴ON＝1，
∴ON'＝1，CN'＝2，∴AN'＝4，
∵，
∴，
∴，
∴，∠CMN'＝60 ，
∵∠N'CM＝60 ，
∴为等边三角形，
∴，即的最大值为2.
5.解：过点C作CE⊥AB，如图所示：
∵菱形ABCD中，，∠A＝120 ，
∴∠ABC＝60 ，，BD平分∠ABD，
∴，，
∵BD平分∠ABD，
∴在AB上作点P关于BD的对称点，
∴，
当，K，Q三点共线且时，PK＋QK有最小值，
即最小值为平行线AB，CD的距离，则最小值为.
6.解：过E作，交AD于N，如图所示：
∵AC＝4，AE＝2，
∴EC＝2＝AE，
∴AM＝BM＝2，
∴AM＝AE，
∵AD是BC边上的中线，是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵，
∴AD⊥EM，
∵AM＝AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF＋CF的值最小，
∵是等边三角形，
∴∠ACB＝60 ，AC＝BC，
∵AM＝BM，
∴.
解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70 ，
∴∠A＝40 ，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴∠ANM＝90 ，
∴∠NMA＝50 ；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，
∵AB＝8，的周长是14，
∴；
②当点P与M重合时，周长的值最小，
理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，，
∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，
∴周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14.
8.解：（1）四边形ADCE是菱形，理由如下
∵点E是AD的中点，
∴，
∵，
∴AE＝BC
∵，即，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∵AC⊥CD，点E是AD的中点，
∴CE＝AE＝DE，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）由（1）得，四边形ABCE是菱形
∴AE＝EC＝AB＝4，且点A、C关于BE对称，
∵点F是AE的中点，，
当PA＋PF最小时，的周长最小，
即点P为CF与BE的交点时，的周长最小，
此时的周长＝PA＋PF＋AF＝CF＋AF，
在中，点E是AD的中点，则CE＝DE，
∠ECD＝∠D＝30 ，
∴是等边三角形，
∴AC＝AE＝CE＝4，
∵AF＝EF，CF⊥AE，
∴
的周长最小.
9.解：（1）∵AB＝AC，AD是中线，∴∠BAD＝∠CAD；
（2）BD＝CE.
理由：∵AD是中线，∴BD＝CD，
∵AD，AE关于AC对称，∴CD＝CE，∴BD＝CE；
（3）连接BE交AD于点P，此时PE＋PC的值最小，如图所示：
∵AB＝AC，∠BAC＝90 ，BD＝DC＝4，
∴AD＝AE＝4，
由题意，AE＝AD＝BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴PA＝PD＝2，
∵PD⊥BC，
∴.
10.解：（1）∵是等边三角形，DF⊥AC，
∴DF垂直平分线段AC，
∴AE＝EC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∵∠ACB＝90 ，
∴∠ACE＋∠BCE＝90 ＝∠CAE＋∠B＝90 ，
∴∠BCE＝∠B，
∴CE＝EB，
∴AE＝CE＝BE；
（2）连接PA，PB，PC，如图所示：
∵DA⊥AB，
∴∠DAB＝90 ，
∵∠DAC＝60 ，
∴∠CAB＝30 ，
∴∠B＝60 ，
∴BC＝AE＝EB＝CE＝6.
∴AB＝12，
∵DE垂直平分AC，
∴PC＝AP，
∴PC＝PB＋PA，
∴当PB＋PC最小时，也就是PB＋PA最小，即P，B，A共线时最小，
∴当点P与点E共点时，PB＋PC的值最小，最小值为12.
解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点和(不同于点M和N)，连接，，和，如图1所示：
∵，，，
∴，
又∵，，，
∴，
时周长最小；
连接DB，过点作于的延长线于点H，如图示2所示：
在中，AD＝3，，
∴，
∴∠2＝30 ，
∴∠5＝30 ，，
又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60 ，
∴∠1＝30 ，
∴∠7＝30 ，，
∴＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120 ，
，
又∵，
∴∠6＝60 ，
∴，，
在中，由勾股定理得：
，
∴，故选C.
12.解：如图，作点B关于CE的对称点F，连接BF，EF，则EB＝EF，
∵∠B＋∠C＝150 ，
∴∠BEC＝30 ，
∴∠BEF＝60 ，
∴是等边三角形，
连接BP，PF，PQ，则BP＝FP，
∴BP＋QP＝FP＋PQ，
当F，P，Q在同一直线上且FQ⊥EB时，BP＋PQ的最小值为FQ的长，
此时，Q为EB的中点，故与A重合，
∵DA⊥AB.DA＝6，
∴，
∴中，，
∴BP＋PQ最小值值为18，故选D.
13.解：作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH，如图所示：
∵是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30 ，，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30 ，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴，
∴BM＝HN，
∵，
∴B，N，H共线时，BM＋BN＝NH＋BN的值最小，
当B，N，H共线时，如图所示：
∵，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45 ，
∵∠ABD＝60 ，
∴∠DBM＝15 ，
∴，
当BM＋BN的值最小时，∠MBN＝30 .
14.解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC.设，
∵四边形ABC都是矩形，，
AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵，
∴，
∴，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在中，，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC＋PD＝PC＋PE≥EC，
∴，
∴PD＋PC的最小值为.
15.解：（1）如图，作C关于AB的对称点E，连接DE交AB于M，此时，周长的值最小，
∵AC＝BC，∠ACB＝90 ，
∴∠BCE＝45 ，
连接BE，∴BC＝BE＝2，
是等腰直角三角形，
∴，
∴周长的最小值；
（2）存在，
∵AC＝4，BC＝8，
∴，
当AD1＝AB时，的等腰三角形，
∵AC⊥BC，
∴CD1＝BC＝8
当时，是等腰三角形，
∴，
当AD3＝D3B时，的等腰三角形，
∴，
∴,
∴，解得CD2＝3，
当时，的等腰三角形，
∴，
综上所述，以A、D、B为顶点的三角形是等腰三角形，线段CD的长度为8或或3或.
16.解：如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点，过点作于，则CE即为CM＋MN的最小值.
∵，∠ABC＝45 ，BD平分∠ABC，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故CM＋MN的最小值为4.
17.解：（1）证明：∵平行四边形ABCD中，，
∴∠DBC＝∠ADB＝90 ，
∵中，∠ADB＝90 ，E时AB的中点，
∴，
同理，BF＝DF，
∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF，
∴四边形DEBF是菱形；
（2）连接BF，如图所示：
∵在菱形DEBF中，∠DEB＝120 ，
∴∠EBF＝60 ，
∴是等边三角形，
∵M是BF的中点，
∴EM⊥BF，
则，
即PF＋PM的最小值是.
18.解：（1）证明：过P作PQ⊥AD于Q，则PQ＝AB，如图所示：
∵AD＝2AB，E为AD中点，
∴AD＝2DE，
∴PQ＝DE，
∵PE⊥EM，
∴∠PQE＝∠D＝∠PEM＝90 ，
∴∠QPE＋∠PEQ＝∠PEQ＋∠DEM＝90 ，
∴∠QPE＝∠DEM，
∴，
∴PE＝EM；
（2）三者的数量关系是：BP2＋NC2＝PN2
①点N与点C重合时，P为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
②点P与点B重合时，N为BC的中点，显然BP2＋NC2＝PN2成立；
③证明：连接BE、CE，如图所示：
∵四边形ABCD为矩形，AD＝2AB，E为AD中点，
∴∠A＝∠ABC＝90 ，AB＝CD＝AE＝DE，
∴∠AEB＝45 ，∠DEC＝45 ，
在和中，，
∴，∠BEC＝90 ，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB＝45 ，
∴∠EBC＝∠ECD，
又∵∠BEC＝∠PEM＝90 ，
∴∠BEP＝∠MEC，∠EBP＝∠ECM
在和中，，
∴，
∴BP＝MC，PE＝ME，
∵EN平分∠PEM，
∴∠PEN＝∠MEN＝45 ，
在和中，，
∴，
∴PN＝MN，
在中有：MC2＋NC2＝MN2，
∴BP2＋NC2＝PN2；
（3）连接PM，如图所示：
由（2）可得PN＝MN，PE＝ME，
∴EN垂直平分PM，PG⊥EN，
∴P、G、M三点共线，且G为PM的中点，
∵K为EM中点，
∴，
又∵∠D＝90 ，
∴，
由（2）可得为等腰直角三角形，
根据勾股定理，可得，
∴，
∴当ME取得最小值时，DK＋GK＋PG取得最小值，
即当ME＝DE＝6时，DK＋GK＋PG有最小值，最小值为.

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