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圆幂定理
圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、割线定理、切割线定理的统一。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。即
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即
【学以致用】
1.如图，中，，，点P是AC边上一动点（不与点A、C重合），以PA长为半径的与边AB交于点D，过点D作于点E．
（1）当与边BC相切时，求的半径；
（2）连接BP交DE于点F，设AP的长为，PF的长为，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当以PE长为直径的与相交于AC边上的点G时，求相交所得的公共弦的长．
2.如图．AB是的直径，弦于点H，点G在弧BD上，连接AG，交CD于点K，过点G的直线交CD的延长线于点E，交AB的延长线于点F，且．
（1）求证：EF是的切线；
（2）若的半径为13，，，求FG的长．
3.阅读材料，回答问题：
相交弦定理是指圆内的两条相交弦分别被交点分成两条线段，这两条线段的长度之积相等，或经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两条线段的积相等.用几何语言表示如下：若圆内任意两条弦AB、CD交于点P，则相交弦定理下面是该定理的部分证明过程（只给出了作辅助线的方法）
如图1，的两弦AB、CD相交于点P，求证：
证明：连接AC，BD…
（1）请继续完成以上相交弦定理的证明过程.
（2）如图2，AB是的弦，P是AB上一点，，，，则的半径为________.
4.如图，已知点P是外一点，PS、PT是的两条切线，过点P作的割线PAB，交于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
5.如图1，点A在外，射线AO交于F，C两点，点H在上，，D是上的一个动点（不运动至F，H），BD是的直径，连接AB，交于点C，CD交OF于点E．且．
（1）设，，求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当AD与相切时（如图2），求的值；
（3）当时（如图3），求EF的长．
6.已知，，D是线段AB上的动点，过D作，垂足为E，四边形是正方形，点F在射线BC上，连接AG并延长交BC于点H．
（1）求DE的取值范围；
（2）当DE在什么范围取值时，为钝角三角形；
（3）过B、A、G三点的圆与BC相交于点K，过K作这个圆的切线KL与DG的延长线相交于点L．若，这时点K与点F重合吗？请说明理由．
7.我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题，并加以研究．
例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）．
请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究：
（1）如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些？（直接写出两个即可）
（2）如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和n（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）．请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之；
（3）如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是的中点，于点．请找出点C和点E重合的条件，并说明理由．
8.如图，的直径，弦于H，分别切，AB，CD于点E，F，G．
（1）已知，求的值；
（2）当时，求EF的长；
（3）设，的半径为，用含的代数式表示．
9.如图，已知的半径为1，PQ是的直径，个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．
（1）如图1，当时，求正三角形的边长；
（2）如图2，当时，求正三角形的边长；
（3）如题图，求正三角形的边长（用含的代数式表示）
10.如图，直角内接于，点D是直角斜边AB上的一点，过点D作AB的垂线交AC于E，过点C作，CP交DE的延长线于点P，连结PO交于点F．
（1）求证：PC是的切线；
（2）若，，求AB的长．
11.如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，交于点C，连AC交PO于E点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
12.已知：如图，在中，，P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，于点N，于点Q，．求证：
（1）是等腰三角形；
（2）．
13.如图，直线AB经过上的点C，并且，，交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若，的半径为3，求OA的长．
14.如图，在中，．BM平分交AC于M，以A为圆心，AM为半径作交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交于P，K两点，作于T．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求证：．
15.如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交于点C．连接PC，交于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：．
16.如图，两个同心圆的圆心是O，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD是大圆的直径．大圆的弦AB，BE分别与小圆相切于点C，F．AD，BE相交于点G，连接BD．
（1）求BD的长；
（2）求的度数；
（3）求的值．
17.如图1，AB为的直径，直线CD切于点C，于点D，交于点E．
（1）求证：AC平分；
（2）若，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，CF交于点F，若，，求CF的长．
18.已知：在中，AD为的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且，．
（1）求证：；
（2）求的余弦值；
（3）如果，求的面积．
19.如图，已知：PA切于A，割线PBC交于B，C，于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交于F，连接AF．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）连接AC，若，，求EF的长．
20.小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角一弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线AB与相切于C点，D，E为上不同于C的两点，连接CE，DE，CD．请你写出图中的两个弦切角________；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线AB________，D，E为圆上不同于C的两点，连接CE，DE，CD．
求证：________.
（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理________.
21.阅读材料：如图1，在中，，，点P在AB边上，于点E，于点F，则．（此结论不必证明，可直接应用）
（1）【理解与应用】
如图2，正方形的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，点P在AB边上，于点E，于点F，则的值为________．
（2）【类比与推理】
如图3，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，，点P在AB边上，交AC于点E，交BD于点F，求的值；
（3）【拓展与延伸】
如图4，的半径为4，A，B，C，D是上的四点，过点C，D的切线CH，DG相交于点M，点P在弦AB上，交AC于点E，于点F，当时，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
22.如图所示，已知AB是的直径，直线与相切于点，，CD交AB于E，直线L，垂足为F，BF交于C．
（1）图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；
（2）若，，求AB的值．
23.如图，中，，以AC为直径的与AB边交于点D，过点D作的切线，交BC于点E；
（1）求证：；
（2）若以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，的半径为，求的面积；
（3）若，，求的半径OC的长．
24.已知：如图，内接于，的平分线交于点D，交的切线BF于点F，B为切点．求证：
（1）BD平分；
（2）．
25.如图1，线段PB过圆心O，交圆O于A，B两点，PC切圆O于点C，作，垂足为D，连接AC，BC．
（1）写出图1中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图1中的切线PC变为图2中割线PCE的情形，PCE与圆O交于C，E两点，AE与BC交于点M，，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图2中，证明：．
26.如图，半圆O为的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上的一动点，P在CB的延长线上，且有．求证：AP是半圆O的切线．
27.如图，与的弦BC切于C点，两圆的另一个交点为D，动点A在上，直线AD与交于点E，与直线BC交于点F．
（1）如图①，当A在弧CD上时，求证：①；②；
（2）如图②，当A在弧BD上时，是否仍有？请证明你的结论．
28.如图，AB是的直径，P为AB延长线上一点，PC切于点C，过点C作，垂足为E，并交于D．
（1）求证：；
（2）若点E是线段PA的中点，求的度数．
29.如图，的割线PBA交于A、B，PE切于E，的平分线和AE、BE分别交于C、D，，，．
（1）求证：；
（2）试求以PA、PB的长为根的一元二次方程；
（3）求的面积．（答案保留）
30.如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点P，E为BC的中点，过E点的圆O与BD相切于点P，圆O与直线AC，BC分别交于点F，G．
（1）求证：；
（2）如果，，（如图2）．求圆O的直径．
圆幂定理
【参考答案】
1.解：（1）设与边BC相切的切点为H，
圆的半径为R，连接HP，
则，
∵，
∴，
，
解得．
（2）在中，，，
设，，
过点B作，
则，
同理可得：，
，，
则，
，
易知，
解得，
则，
如图所示，
∵，
∴，
，
则，，
，
∵，
∴，
即，
整理得：．
（3）以EP为直径作，如图所示，
两个圆交AC边于点G，
则，
即两个圆的半径相等，
则两圆另外一个交点为点D，
GD为相交所得的公共弦，
∵点Q是弧GD的中点，
∴，
∵AG是的直径，
∴，
由（2）知，，
∴四边形PDBE为平行四边形，
∴，
即，
解得：，
，
即相交所得的公共弦的长为．
2.（1）证明：如图，连结OG，OC,
∵弦于点H，
∴,
∴,
∵，∵
∵，∴,
∴．
∵
∴，∴，即,
∴．
∴EF是的切线．
（2）解：在中，
∵，
∴，∴．
∵，∴
∴．
3.解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图1，的两弦AB、CD相交于E，
求证：．
证明如下：
连结AC，BD，如图1，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）过P作直径CD，如图2，
∵，，，
∴，
，
，
由（1）中结论得，，
∴，
解得（舍去）．
所以的半径．
4.证明：连接PO交ST于点D，则；
连接SO，作于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以
又因为
所以
即
而由切割线定理知
所以
即
5.解：（1）∵
∴
又∵
∴，
由切割线定理的推论得，
∴
∴，自变量的取值范围是；
（2）∵AD与相切，
∴
又∵
∴
∴
∴；
（3）过点D作于M，
∵BD是直径
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
由相交弦定理，得
∴
设，则
又∵
∴
∴
∴
化简，得
∴，（不合题意，舍去）
即．
6.解：（1）当点D与点A重合时，
在中，，，，
∴，
当点D与B重合时，，
∴DE的取值范围是：；
设，中，
∵，则，，
分两种情况：
①若，如图1，在中，
，
∴，又，
∴，，
∴，
即当时，为钝角三角形．
②若，如图2，此时点F与点H重合．
在中，，
，
∴，又，
∴
∴，
∴，
则当时，为钝角三角形．
综上，当或时，为钝角三角形；
（3）当时，点K与点F不重合，理由如下：
解：当点K与点F重合时，如图3，
∵四边形ABKG内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴此时即为（2）中①的情形，仍然设，则，
∴，
在（2）①中已求得：．
连接BG，∵KL切圆于点K，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，点K与点F不重合．
7.解：（1）弦（图中线段AB）、弧（图中的弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等．
（2）如图，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P．
结论：．
证明：连接AD，BC，
∵，
∴
∴；
（3）若点C和点E重合，
则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称，
设，则，，
又D是的中点，所以，
即，
解得．
8.解：（1）∵AB是的直径，
∴．
又∵，
∴．
∴，
，
∴或（不合题意，应舍去）．
∴，
∴．
∴．
（2）∵，，，
∴，．
连接，，OE，
∵分别切AB，CD于F，G，切于E．
∴O，，E三点共线．
∴．
又，，
∴四边形正方形．
设的半径为，
在中，
，，
∴．
从而．
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）由射影定理，得①
∵，
∴，，②
由①②得，
∴．
∴，
∴，
即．
9.解：（1）设PQ与交于点D，连接．
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得；
（2）设与交于点E，连接．
∵是等边三角形，
∴，
∵是与边长相等的正三角形，
∴，
，
在中，，
即，
解得；
（3）设PQ与交于点F，连接，
得出，
同理，在中，，
即，
解得．
10.（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴PC是切线．
（2）解：延长PO交圆于G点，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
11.（1）证明：∵PA、PB是圆的两条切线，
∴，.
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴，
∴为等腰三角形.
∴
（2）解：过O点作于点.
∵，，
∴，.
又∵，，
∴.
设，故.
又∵，
∴有，
即，
解得，.
12.证明略.
13.证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∴是的切线．
．
证明：∵ED是直径，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
设，则，
∵，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
14.解：（1）∵BM平分，，，
∴．
又∵，
∴．
（2）∵BM平分，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）连接、KM
∵和BPK为的割线，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
即．
∴．
15.解：证明：∵，
∴．又PA是的切线，
∴，故，
∴，
∴，
即．
由切割线定理得
∴，
∵，，
于是，
故，
即．
16.解：（1）连接OC，BD，
∵AB是小圆的切线，C是切点，
∴，
∴C是AB的中点．
∵AD是大圆的直径，
∴O是AD的中点．
∴OC是的中位线．
∴．
（2）连接AE．
由（1）知C是AB的中点．
同理F是BE的中点．
即，，
由切线长定理得．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）连接BO，在中，
∵，，
∴．
由（2）知．
∵，
∴．
∴．
17.解：（1）连接OC，如图1①，
∵CD为的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）连接BC、EC、OC，如图1②，
设，则由可得D．
∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵直线CD与相切，
∴根据切割线定理可得，
∴，
∴，
∴；
（3）过点A作，连接AF，如图2，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
．
∵，
∴，
∴，
∴，
即CF的长为．
18.解：（1）证明：∵AD平分
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵DE是半圆C的直径
∴
∴
（2）连接DM
∵DE是半圆C的直径
∴
∵
∴可设，则
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
在中，
（3）过A点作于N
∵
∴
∴
在和中
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
19.解：（1）证明：∵PA切于点A，
∴．
∵，
∴．
∴①
∵PBC是的割线，PA为切线，
∴②
联立①②，得；
（2）证明：∵，
∴，
∵为公共角，
∴，
∴，
∵四边形ABCF内接圆，
∴，
∴，
∴；
（3）∵AP是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴①，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，即②
联立①②，有，
∴．
20.解：（1）由题中给出的弦切角的定义，观察图形可得：
AB是圆的切线，CE，CD与圆相交，
因此与是弦切角.
故答案为：与.
（2）与相切于点C；.
证明：延长CO交于点F，连接，
∵AB与相切于点C，
∴，
∴，
∴.
∵CF是直径，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为：与相切于点C；.
（3）根据（2）得，弦切角等于它所夹弧所对的圆周角．
故答案为：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角.
21.解：（1）如图2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∵，，，，
∴．
（2）如图3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴的值为．
（3）当时，是定值．
理由：连接OA、OB、OC、OD，如图4
∵DG与相切，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形．
∴．
同理可得：．
∵，，
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴当时，．
22.解：（1），理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵，
∴，
∴，即；
∵直线L切于C，
∴，
∴，
∴，；
∴；
在和中，，，，
∴，则．
（2）∵FC切于C，
∴，即；
在中，，；
∴；
在中，，由射影定理得：
，即．
23.解：（1）证明：连接CD，由AC是直径知；
DE、CE都是切线，所以，；
又，；
所以，所以，从而；
（2）解：连接OD，
当以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时，；
从而，即是一个等腰直角三角形；
，；
（3）解：若，，则；
在中，；所以；
在中，，即，；
另解：设，；由，得，；
则：，解得；即．
24.证明：（1）∵AD平分，
∴，
∵BF切于点B，∴，
∴，
又∵，
∴，即BD平分；
（2）在和中，
∵，，
∴，
∴即
∵，
∴，
∴．
25.证明：（1）图1中相等的角有：，，
连接OC，则，
∵，
∴．
∴．
又，，
∴．
又为直径，，
∴
∵，
∴．
（2），，，（三组即可）；
（3）由（2）知：，
又∵，
∴．
∴，即．
26.解：和为同弧所对的圆周角，
∴．
又AC为直径，
∴．
即．
又，
∴．
即AP为切线．
27.（1）证明：①∵BC为的切线
∴
又
∴，
②在中，
∴
∴；
（2）解：仍有．
证明：∵四边形ABCD是的内接四边形
∴
∵BC为的切线
∴
∴
∴．
28.证明：连接AC、BC，则
∵，
∴，
∴
∵PC是的切线，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴；
∵E是AP的中点，且，
∴，；
∵，
∴；
在中，，即，
∴．
29.解：（1）证明：由弦切角定理得，
∵PC是的平分线，
∴，
∴；
（2）解：由切割线定理得，
∵，，
∴，
∴，，
∴所求方程为：；
（3）解：连接BO并延长交于F，连接AF，
则BF是的直径，
∴，
∴
在中，，
∴．
∴的面积为：（面积单位）．
30.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵BD切于P，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形ABCD中，，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴，，
，，，
∴，
∴，
∵切BD于P，，
∴PF为的直径，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的直径为．

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