资源简介

手拉手模型
模型概述
所谓手拉手模型，满足三个条件:①有共顶点的角;②共顶点
角的度数相等;③两个角的两边对应相等．以上的条件在题目中
通常会直接告知，或者两个等边(等腰)三角形有一个顶点重合，
还可以是两个边长不等的正方形有一顶点重合等其他的正多边
形都可以．
基本模型
结论：
结论：（1）；（2）OA平分∠BOC。
基本原理
1、利用旋转思想构造辅助线
（1）根据相等的边找出被旋转的三角形
（2）根据对应边找出旋转角度
（3）根据旋转角画出旋转后的三角形
2、旋转前后具有以下性质
（1）对应线段和对应角分别相等
（2）任意两条对应线段的夹角都等于旋转角
3、八字模型
如图所示，若，则。
【学以致用】
1、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________.
（2）如图1，已知格点(小正方形的顶点)，，，请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标．
（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转，得到△DBE，连接AD、DC，．求证：，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）若将图2中△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转a度，得到连接AD、DC，则∠DCB=________，四边形ABCD是勾股四边形．
2、图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中，.
（1）如图2，固定，将绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，
①求证：是等边三角形．
②设的面积为S1，的面积为S2，探究S1与S2的数量关系并证明．
（2）当绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
3.问题发现：（1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于CB延长线上时，线段AC的长可取得最大值，则最大值为________．（用含a，b的式子表示）
尝试应用：
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，M，N分别为AB，AD的中点，连接MN，CE．AD=5，AC=3.
①请写出MN与CE的数量关系，并说明理由；
②直接写出MN的最大值．
（3）如图3所示，为等边三角形，DA=6，DB=10，，M、N分别为BC、BD的中点．求MN长；
（4）若在第(3)中将“”这个条件删除，其他条件不变，请直接写出MN的取值范围．

4.如图1，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形，将BM绕点B逆时针旋转得到BN，连接EN．
（1）求证：；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为的费尔马点．若点M为的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图2，分别以的AB、AC为一边向外作等边和等边，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为的费尔马点．试说明这种作法的依据．
5、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.
①线段AD，BE之间的数量关系为________；
②∠AEB的度数为________；
（2）拓展探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：如图3，在正方形ABCD中，，若点P满足，且，请直接写出点C到直线BP的距离.
6、（1）问题发现：如图1，和均为等边三角形，当旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠AEB的度数为________；
②线段AD、BE之间的数量关系是________．
（2）拓展研究：如图2，和均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若AD=a，AE=b，AB=c，求a、b、c之间的数量关系．
（3）探究发现：图1中的和，在旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
7、如图1，和都是等腰直角三角形，，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
（1）请直接写出线段BE和线段CD的关系：________；
（2）如图2，将图1中的绕点A顺时针旋转角，
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当时，探究在旋转的过程中，是否存在这样的角，使以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的角的度数；若不存在，请说明理由．
8、已知是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转得到AE，连接DE．
（1）如图1，是________三角形；
（2）如图2，猜想线段CA，CE，CD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）①当，求BD的长；
②点D在运动过程中，直接写出周长的最小值．
9、（1）如图1，和均是顶角为等腰三角形，求证：BD=CE；
（2）如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数；
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，使得，连接BE，作中DE的高AF，判断BE，CE，AF之间的数量关系，并说明理由．
10、已知等边，D为BC边上一点，点E在线段AD上，且∠EBD=∠BAD．将绕着点A逆时针旋转至，连结EF，交AC于点G．
（1）求证：B，E，F三点共线；
（2）记的面积为S1，的面积为S2，若，求的值；
11、已知在中，，BA=BC，点D是AC边的中点，点E、F分别在射线AB、BC上，且DE⊥DF．
（1）试说明的理由；
（2）如图1，当点E在AB上、点F在BC上时，试说明DE=DF的理由；
（3）如图2，当点E在AB的延长线上、点F在BC的延长线上时，试问，与三者面积间有怎样的数量关系，并说明理由．
12、定义：有一个公共顶点的两个三角形，将其中一个三角形绕公共顶点旋转一定角度，能与另一个三角形构成位似图形，我们称这两个三角形互为“旋转位似图形”．
（1）知识理解：①如图1，，都是等边三角形，则________的“旋转位似图形”（填“是”或“不是”）；
②如图2，若与互为“旋转位似图形”，，，则∠DAE=________；
③如图2，若与互为“旋转位似图形”，若AB=4，AD=6，AE=15，则AC=________；若连接BD，CE，则________；
（2）知识运用：如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90 ，AE⊥BD于E，∠DAC=∠DBC，求证：和互为“旋转位似图形”；
（3）拓展提高：如图4，为等腰直角三角形，点G为AC中点，点F是AB上一点，D是GF延长线上一点，点E在线段GF上，且与互为“旋转位似图形”，若AC=6，，求DE和BD的长.
13、在中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果，则∠BCE=________度；
（2）设，．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在直线BC上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
14、【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“顶角互补的等腰三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．如图1，两张等腰三角形纸片ABC和AEF，其中AB=AC=m，AE=AF=n，m>n．，绕点A顺时针旋转，旋转角为，点M为BF的中点．
【特例感知】
（1）如图1，当时，AM和CE的数量关系是________；
（2）如图2，当时，连接AM，CE，请判断AM和CE的数量关系，并说明理由；
【深入探究】
（3）如图3，当为任意锐角时，连接AM，CE，探究AM和CE的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，和都是等腰直角三角形，，AB=AC，AE=AF，M为BF的中点，连接CE，MA，MA的延长线交CE于点N，若，，则AN=_______.
15、（1）问题发现：如图1，和同为等边三角形，连接AD，CE，延长线段CE交AD于点F，则AD与CE的数量关系为________，________；
（2）类比探究：如图2，和同为等腰直角三角形，其他条件同(1)，请问（1）中的结论还成立吗？说出你的理由；
（3）拓展延伸：如图3，和同为直角三角形，，，且AC=2AE=4．将绕点A逆时针旋转，当B，D，E三点在一条直线上时，请直接写出BE的长度．
16、如图，C为线段AB上任意一点（不与A，B重合）分别以AC，BC为一边在AB的同侧作等边和等边，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N．AE与BD交于点P．连接PC．试说明：
（1）①求证：AE=BD；②求∠APD的度数；
（2）求证：∠APC=∠BPC；
（3）若AC=6，BC=4，将绕点C按顺时针旋转，在旋转过程中AE的长度有没有最大值或最小值，若有请直接写出最大值或最小值，若无请说明理由．
17、综合与探究
问题情境：在中，，AB=AC，点D是射线BC上一动点，连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转至AE，连接DE，CE．
探究发现：（1）如图1，BD=CE，BD⊥CE，请证明；
探究猜想：（2）如图2，当BD=2DC时，猜想AD与BC之间的数量关系，并说明理由；
探究拓广：（3）当点D在BC的延长线上时，探究并直接写出线段BD，DC，AD之间的数量关系．
18、（1）如图1，等腰直角与等腰直角有公共的直角顶点C，直角边CD在AC上，求证：BD=AE，BD⊥AE；
（2）把绕点C按顺时针方向旋转一定角度到图2的位置，探究线段BD，AE之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）如图3，等边和等边有公共的顶点C，请直接写出线段BD，AE之间的数量关系和线段BD，AE所在直线相交所夹锐角的度数.
19、已知和都是等腰三角形，且AB=AC，AD=AE．若点D在BC边上运动时，总保持∠ADE=∠B，连接CE，DE与AC交于点F．
（1）①如图1，当点D为BC边中点时，求CE、BC的值；
②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE=BD；
（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得时，若AB=12，BC=16，则CE的长为________．
20、（1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，，则线段AE，BD的数量关系为________，AE，BD所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为中DE边上的高，请判断∠ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，已知中，AB=7，BC=3，，以AC为直角边作等腰直角，，AC=AD，连接BD，则BD的长为________.
21.在中，，BC=AC=2，将绕点A顺时针方向旋转角至的位置．
问题探究：
（1）如图1，当旋转角为时，连接与AB交于点M，则C′C=________.
（2）如图2，在(1)条件下，连接，延长交于点D，求CD的长．
（3）如图3，在旋转的过程中，连线、，所在直线交于点D，那么CD的长有没有最大值？如果有，求出CD的最大值；如果没有，请说明理由．
22、天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边BC上任意一点，连接AP，以AP为边作等边，连接CQ．求证：BP=CQ；
(2)变式探究：如图2，在等腰中，AB=BC，点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰，使AP=PQ，∠APQ=∠ABC，连接CQ．判断∠ABC和∠ACQ的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形ADBC中，点P是边BC上一点，以AP为边作正方形APEF，Q是正方形APEF的中心，连接CQ．若正方形APEF的边长为6，，求正方形ADBC的边长．
23、如图1，是等边三角形，过点C作，点D在CB的延长线上，点E在直线CM上．
（1）若，
①求证：BD=CE；
②若等边的边长为6，且，求点E到BC的距离；
（2）若，延长AB交DE于点F，如图2，求证：．
24、在正方形ABCD中，点E是正方形AB边上或正方形内部一点，连接DE，以DE为边向右侧作等腰，且，连接CF．
（1）如图1，当点E在正方形AB边上时，AE与CF的数量关系是________，AE与CF的位置关系是________；
（2）如图2，当点E在正方形内部时，连接AE，（1）中结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点O为EF的中点，过点F作，连接AO并延长，与FG交于点G，连接CG，请判断的形状，并说明理由．
25、如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，，连接OD．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当时，试判断的形状，并说明理由；
（3）探究：当为多少度时，OD=AD？
26、如图(a)，已知点B(0，3)，点C为x轴上一动点，连接BC，和都是等边三角形．
（1）求证：BO=DE；
（2）如图(b)，当点D恰好落在BC上时，此时点C的坐标为.
①求点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；如不存在，说明理由．
27、（1）（问题发现）如图1，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为________
②________．
（2）（类比探究）如图2，和均为等腰直角三角形，，AC=BC，AE=DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）（解决问题）如图3，在中，∠，，AB=5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE=3．将绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）
28、如图，点B是线段AC上一动点，，均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点H，F，CD交BE于点G，连接FG．
（1）求证：AE=DC；
（2）证明：是等边三角形．
29、在直线AB的同一侧作两个等边三角形和，连接AE与CD，试解决下列问题：
（1）求证：AE=DC；
（2）求∠DHA的度数；
（3）连接GF，试判断形状．
30、探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已知，均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B，点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知，均为等边三角形，连接CE，BD，若，则∠ADB+∠ADE=________度；
（3）如图3，已知点E在等边三角形外，点E，点B位于线段AC的异侧，连接BE，CE．若，猜想线段BE，AE，CE三者之间的数量关系，并说明理由．
手拉手模型
【参考答案】
1.解：（1）在我们学过的特殊平行四边形：矩形、菱形、正方形三种图形中，一定为勾股四边形的有矩形、正方形.
故答案为：矩形或正方形.
（2）如图1所示：或；
（3）如图2，连接CE，
由旋转得：，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即四边形ABCD是勾股四边形．
（4）如图3，当，四边形ABCD是勾股四边形．
理由：连接CE，
由旋转得：，
∴，，
又∵，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴．
∴四边形ABCD是勾股四边形．
故答案为：．
2.解：（1）①∵绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，
∴.
∵，
∴是等边三角形.
②.
∵是等边三角形，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∴根据同底等高的三角形面积相等，可得．
∵，，
∴中，，
∴点是AB的中点，
∴，
∴的面积和的面积相等，即.
（2）如图3，∵是由绕点C旋转得到，
∴，.
∵，
，
∴.
∵在和中，
∴，
∴，
∴的面积和的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即.
3.解：（1）由题意得，线段AC的长的最大值为.
故答案为：.
（2）①连接BD，
∵M，N分别为AB，AD的中点，
∴MN为的中位线，
∴，
∵和均为等腰直角三角形，
∴，.
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∴.
②∵，，
∴的最大值为，
∴MN的最大值为4.
（3）如图，连接CD．以AD为边向左构造等边，连接BE，
易得，
∴，
过点E作BD垂线，交BD延长线于点F，
易得，
∵，
∴，，，
∴，即，.
（4）MN最大时，如图所示，
此时易得，
∴，
∴MN的最大值为8.
MN最小时，如图所示，
此时易得，
∴，
∴MN的最小值为2.
∴MN的取值范围为.
4.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
而，
∴．
在与中，
∴．
（2）解：连接MN．
由（1）知，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴当E、N、M、C四点共线时，的值最小，
此时，；
；
．
（3）解：由（2）知，的费尔马点在线段EC上，同理也在线段上，
因此线段EC与BF的交点即为的费尔马点．
5.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，.
∴.
在和中，
∴.
∴.
故答案为：；
②∵，
∴.
∵是等边三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴.
∴.
∴.
故答案为：.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，.
∴.
∵，
∴.
∴，.
∴.
（3）由题得，点P在以点D为圆心，半径为的圆上，
又，
∴点P在以点BD为直径的圆上，
如图，点P为两圆的交点.
①若点P在CD右侧，则连接CP，过点C作于点H，
∵，
∴.
又，，
∴.
∵，
∴B，C，P，D四点共圆，
∴，且
∴，
∴在中，，
解得，舍去，
∴点C到直线BP的距离为；
②若点在CD左侧，连接，过点C作于点，
同理可得.
综上，点C到直线BP的距离为或.
6.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴.
∴，
∵为等边三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，∴，
∴，
故答案为：60；
②∵，∴，
故答案为：.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，.
∴，
∴.
∴，，
∵为等腰直角三角形，
∴.
∵点A，D，E在同一直线上，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴.
（3）的度数是或．
如图3，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图4，
同理求得，
∴.
∴的度数是或．
7.解：（1）∵和都是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∴且.
故答案为：且；
（2）①∵和都是等腰直角三角形，，
∴，.
由旋转的性质可得，
在与中，
∴，
∴.
由角的和差可得，
故（1）中的结论成立；
②∵以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，和都是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴或或，
∴角的度数是或或.
8.解：（1）由旋转的性质可知，，，
∴是等边三角形.
故答案为：等边三角形.
（2）.
证明：由旋转的性质可知，，.
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
∴，
∴，
∴.
（3）①当点D在线段BC上时，∵，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
当点D在线段BC的延长线上时，∵，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
综上，当时，BD的长为2或8.
②点D在运动过程中，的周长存在最小值，最小值为，
理由如下：∵，
∴，
则的周长，
当DE最小时，的周长最小，
∵为等边三角形，
∴，
AD的最小值为，
∴的周长的最小值为．
9.（1）证明：∵和均为等腰三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵和均为等边三角形
∴，，
，
∴，
∴．
在和中，
∴．
∵，
∴，
∴．
（3）解：①如图，，
理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，
，，
∴，
∴．
在和中
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴点B，D，E三点共线，
∴．
∵AF是的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
②，
理由如下：
∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴点B，D，E三点共线，
∴．
∵是的高，
∴，
∴，
∴，
∴．
10.（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
，
∴，
∴．
∵绕着点A逆时针旋转至，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴B，E，F三点共线．
（2）解：设，则．
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
∵绕着点A逆时针旋转至，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则．
解得，（舍去），
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
过点D作，垂足为M，过点G作，垂足为N，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
11.解：（1）因为，
所以．
因为，，
所以．
因为，点D是AC边的中点，
所以，，
所以，
所以，
即．
（2）因为，
所以．
因为，
所以，
所以．
在和中，
所以，
所以．
（3）因为，，，
所以．
在和中，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
所以，
所以．
12.（1）解：①是的“旋转位似图形”.
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，，
即，
∴绕点A顺时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴是的“旋转位似图形”.
②∵与互为“旋转位似图形”，,
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
③∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，，
∴，
即.
∵，，，
∴，，
∴.
故答案为：是；；10；.
（2）证明：∵，
∴
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴绕点A逆时针旋转的度数后与构成位似图形，
∴和互为“旋转位似图形”.
（3）解：过E作于H，
∴，
∴.
∵为等腰直角三角形，点G为AC中点，
∴，.
∵与互为“旋转位似图形”，
∴，
∴，，
即，
∴.
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
则.
综上所述，，.
13.解：（1）∵，
∴．
即．
在与中，
∴，
∴．
∴，
∴，
又∵
∴.
故答案为：90.
（2）①当点D在线段BC上移动时，与之间的数量关系是.
理由：∵，
∴，
∴.
在与中，
∴，
∴.
在中，
∵，
∴，
即，
即.
②当点D在CB的延长线上，如图，.
理由是：
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴.
当点D在BC的延长线上时，如图，.
理由是：
∵，
∴，
∴.
在和中，
∴，
∴.
在中，，
∴
∴，
即.
14.解：（1）当时，
∵，，M是BF中点，
∴，
，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
（2）．理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
M是BF的中点，∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（3）．理由如下：
如图，延长AM至点G，使得，连接，FG．
∵M是BF的中点，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（4）由（3）得，（在此问依然成立），
∵M，A，N在同一条直线上，．
∴，又，
∴，∴．
∵，∴．
∵．
∴．
∴,
∵,
∴，
∴．
故答案为：．
15.解：（1）∵与同为等边三角形，
∴，，，
易证，
∴，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：；.
（2）（1）中的结论不成立，理由如下：
∵与同为等腰直角三角形，
∴，，，
易证，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴（1）中的结论不成立.
（3）①如图，B，D，E三点在一条直线上，
∵易证四边形ABCE为矩形，
∴；
②如图，B，E，D三点在一条直线上，
∵，
∴.
∴，
，
∴.
16.（1）①证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴.
②解：∵，
∴，，
∴，
∴.
（2）证明：如图，过点C作于G，作于H，
在和中，
∴，
∴，且，，
∴PC平分，
即.
（3）解：有最大值，有最小值.
∵，，
∴当点E旋转到与直线AB共线（在点C右侧）时，AE有最大值，
最大值为；
当点旋转到与直线AB共线（在点C左侧）时，AE有最小值，
最小值为.
17.（1）证明：∵，，
，
∴.
在和中，
∴，
∴，.
又∵，
∴，
∴.
（2）解：在和中，
∴，
∴，.
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，，
∴，
∴，
又∵为等腰直角三角形，
∴，
即，
∴.
（3）解：作，如图，
∵为等腰直角三角形，F为BC中点，
∴，
∴，，
由勾股定理，得，即，
∴.
18.（1）证明：如图，延长BD交AC于M．
∵与是等腰直角三角形，
∴.
，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）解：，.
理由：∵，
∴，
∴.
设BD，AE交点为M，如图，
在和中，
，,
∴，
∴，.
令AC与BD交于点，
∴，
∴.
∴，
∴.
（3）解：，BA与AE所成的角的度数为．
理由如下：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
令AE与BD的交点为F，
∴
，
即BD与AE所成的角的度数为．
19.（1）①解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，点D为BC的中点，
∴，
∴，
∵，
∴AC垂直平分DE，
∴，
∵点D为BC的中点，
∴，
∴.
②证明：由①知，，
在和中，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
由（1）①知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由（1）知，.
故答案为：9.
20.解：（1）结论：，.
理由：如图中，延长交BD于点H，AH交BC于点O．
∵和均为等腰直角三角形，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，.
∵，，
∴，
∴，
即
故答案为：相等；垂直.
（2）结论：.
理由：∵和均为等腰直角三角形，
，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在等腰直角三角形中，CM为斜边DE上的高，
∴，
∴，
∴.
（3）情形1：如图中，在的外部，以A为直角顶点作等腰直角，
使，，连接EA，，，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴.
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴.
情形2：如图中，作交BC的延长线于E，
则是等腰直角三角形，
同法可证：，
∴.
∵，
∴.
综上所述，BD的长为或.
故答案为：或.
21.解：（1）如图中，作于H．
当旋转角为时，，，是等边三角形，
.
故答案为：2.
（2）如图2中，作于H，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，，.
（3）CD的长有最大值．
理由：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴.
取AB的中点H，以H为圆心，HB为半径作圆H，连接CH，
∵，，
∴，，，
，
点D的运动轨迹是圆H
当时，CD的值最大，此时.
22.（1）问题发现：
证明：∵与都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）变式探究：
解：和的数量关系为：．理由如下：
∵在等腰中，，
∴，
∵在等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解决问题：
解：连接AB，AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴，，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∵，
∴，
∴正方形ADBC的边长．
23.（1）解：①∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∵，∴，
∴．
∵，∴，
∴，
∴，∴；
②过点A作于点G，过点E作于点Q，EQ即为所求；
∵，，∴，
在中，∵，，∴，，
在中，∵，∴，
∴，
由①得，∴，
在中，∵，∴，
∴.
（2）证明：∵是等边三角形，∴，
∴．
∵，∴，
∴，
又，
∴，∴，
又，∴，
∴，
即
24.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵是等腰直角三角形，
∴.
在和中，
∴，
∴.
∵，
∴.
故答案为：；.
（2）结论仍然成立.证明如下：
如图，延长AE和FC交于点H，交BC于点P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴.
在和中，
∴，
∴，.
∵，
∴.
又，，
∴.
∵，
∴，
∴.
（3）为等腰直角三角形.理由如下：
如图，延长AE和FC交于点H，交BC于点P，
∵O为EF的中点，
∴，
∵，
∴.
又，
∴，
∴.
∵，
∴.
由（2）可知，，，
∴.
∴为等腰直角三角形.
25.（1）证明：∵，
∴.
又∵，
∴是等边三角形．
（2）解：是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（3）解：∵，
，
∴．
若，则，
∴，
∴，
∴当为时，．
26.（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，.
∴，
即.
在和中，
∴，
∴.
（2）①∵，，
∴，.
由（1）可知，，
∴，
∴.
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
如图，过点E作轴于点F.
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴.
∴点E的坐标为.
②存在，点P的坐标为或．理由如下：
如图，当时，且点P在点C左侧时，
∵，
∴，
∴;
当点P在点C右侧时，，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴是等边三角形，
此时，重合，舍去.
综上所述，当为等腰三角形时，点P的坐标为或．
27.解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
在和中，
∴，
∴.
②∵点B，D，E在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
故答案为：，60.
（2）∵和均为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）①如图，当点B在线段ED的延长线上时，连接CD，取AB中点H，连接EH，CH，
∵，H是AB的中点，
∴，，
∴，
∴点A，E，C，B四点在以H为圆心，为半径的圆上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点C到直线DE的距离；
②如图，当点B在线段DE的延长线上时，
由①同理可得，，，
∴点C到直线DE的距离为，
综上所述，点C到直线DE的距离.
28.证明：（1）∵，均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即．
在和中，
∴，
∴．
（2）∵，
∴．
在和中，
∴，
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
29.（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，.
∵，
∴.
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴.
又∵，
即．
（3）解：由（1）知，
∴.
∵，
∴在和中，
∴，
∴.
∵，
∴是等边三角形．
30.解：（1）.
理由：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）由（1）可知，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：180.
（3）
理由如下：
在线段BE上取一点H，使得，
设AC交BE于点O，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即.

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