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瓜豆原理
模型概述
一条折线段，固定其折点；邻边定比例，夹角不改变。主动于直线，从动于直线，主动于(弧)圆，从动于(弧)圆。正所谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，“直线生直线”，“圆生圆”，即瓜豆原理。
命题1：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A
为定点，点B在定直线l上运动，在运动过程中，保持
，且不变．
则点C也在某一定直线上运动。
命题2：如图，若A、B、C为平面内的三个点，点A
为定点，点B在半径为r的定⊙O上运动，在运动过程
中，保持，且
不变．则点C也在一定圆上运动。
基本模型
模型一：轨迹之圆篇
例1、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
解：∵Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，
∴任意时刻，均有，QM:PO=AQ:AP=1:2．确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：．
∴Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
例2、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
解：Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，
且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有．
例3、如图，是直角三角形，且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
解：考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M
满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M
满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有，且相似比为2．
【模型总结】
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）．
【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
例4、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
解：Q点满足①∠PAQ=60°；②AP=AQ，
故Q点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，
且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有．
【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
例5、如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角．当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
解：Q点满足①∠PAQ=45°；②，
故Q点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且．
M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有
．即可确定点Q的轨迹圆．
模型二：轨迹之线段篇
例6、如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分
别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
例7、如图，是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，
P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
【模型总结】
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（是定值）．
结论：
（1）P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于（当
时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
（2）P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由
，可得）
模型三：轨迹之其他图形篇
所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是．
例8、如图，在反比例函数的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图像上运动，若，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解：且，显然点C的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x轴，垂足分别为M、N，连接OC，易证，∴CN=2OM，ON=2AM，
∴，故k=4×2=8．
【学以致用】
1.如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F，有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先至后)是（ ）
A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙
2.如图，点，圆P半径为2，，，点M是圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
3.如图，在等腰中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．
4.如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线段OF长的最小值．
5.中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为_____________．
6.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是________．
7.如图，在平面直角坐标系中，，点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．
8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边，连接CG，求CG的最小值是多少？
9.点A是双曲线在第一象限上的一个动点，连接AO并延长交另一交令一分支点B，以AB为斜边作等腰，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在某函数图像上运动，则这个函数的解析式为.
10.如图，在中，，AC＝8，BC＝6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM的长度的最大值为多少？
11.如图，已知线段AB＝12，点C在线段AB上，且是边长为4的等边三角形，以CD为边的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中点，连接MB，则线段MB的最小值为多少？
12.如图，在中，∠ACB＝90 ，∠A＝30 ，BC＝2，D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰，使∠CED＝90 ，连接BE，则线段BE的最小值为多少？
13.如图，已知在扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120 ，C是在上的动点，以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，求点D运动的路径长？
14.如图，，，，点P是边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角，当点P在边上运动一周时，求点Q的轨迹形成的封闭图形面积是多少？
15.如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点M，交直线于点N，若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30 ，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，求点B的运动路径长？
瓜豆原理
【参考答案】
1.解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°，
甲行走的距离是AB＋BF＋CF＝AB＋BC＝2AB；
乙行走的距离是AF＋EF＋EC＋CD；
丙行走的距离是AF＋FC＋CD，
∵∠B＝∠ECF＝90°，∴AF＞AB，EF＞CF，
∴AF＋FC＋CD＞2AB，AF＋FC＋CD＜AF＋EF＋EC＋CD，
∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．
2.解：由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．
∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：
由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是的中位线，∴AF＝2.5，
当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴.
3.解：当点P位于弧AB的中点时，M为AB的中点，
∵，
∴，
设，分别为AC、BC的中点，连接，交CP于点O，如图所示：
∵，，
当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M的运动路径是以O为圆心，1为半径的半圆，如图所示，
∴点M的运动路径长为π.
4.解：法一：∵OE＝2，∴点E可以看成是在以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA至点P，使得AP＝OC，连接PE，如图所示：
∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴，∴PE＝OF，
当O、E、P三点共线时，PE的值最小，
∵，
∴，
∴OF的最小值是.
法二：E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO＝2，故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．考虑DE⊥DF且DE＝DF，故作DM⊥DO且DM＝DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．
5.如图，以AO为直角边作等腰直角三角形AOF，且∠AOF＝90 ，则AO＝FO，，
∵四边形BCDE是正方形，∴BO＝CO，∠BOC＝90 ，
∵∠BOC＝∠AOF＝90 ，
∴∠AOB＝∠COF，∴，∴CF＝AB＝4，
若点A、C、F三点不共线时，AF＜AC＋CF，
若点A、C、F三点共线时，AF＝AC＋CF，
∴，∴AF的最大值是6，
∵，∴AO的最大值是；
6.解：根据∠PAB＝90°，∠APB＝30°可得：，故B点轨迹也是线段，且P点轨迹路径长与B点轨迹路径长之比也为，P点轨迹长ON为，故B点轨迹长为．
7.解：求OP最小值需先作出P点轨迹，根据是等边三角形且B点在直线上运动，故可知P点轨迹也是直线．取两特殊时刻：①当点B与点O重合时，作出P点位置；②当点B在x轴上方且AB与x轴夹角为60°时，作出P点位置P2．连接P1P2，即为P点轨迹．
根据∠ABP＝60°可知：与y轴夹角为60°，作，所得OP长度即为最小值，OP2＝OA＝3，所以．
8.解：同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点B向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到F点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在位置，最终G点在位置(不一定在CD边)，即为G点运动轨迹．
CG最小值即当CG⊥的时候取到，作CH⊥于点H，CH即为所求的最小值．
根据模型可知：与AB夹角为60°，故⊥．
过点E作EF⊥CH于点F，则HF＝＝1，，
所以，因此CG的最小值为．
9.解：连接OC，作CD⊥轴于点D，AE⊥轴于点E，如图所示：
设点A的坐标为，
∵A、B两点是正比例函数图像与反比例函数图像的交点，
∴点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，
∵为等腰直角三角形，∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC＋∠AOE＝90 ，
∵∠DOC＋∠DCO＝90 ，∴∠DCO＝∠AOE，
在与中，，∴，
∴，，
∴
∵，∴点C在反比例函数的图像上.
10.解：法一：中点模型
取AB的中点E，连接EM、CE，如图所示：
在中，，
∵E是斜边上的中点，∴CE＝5，
∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴，
∴在中，，即，
∴CM的长度最大值为7.
法二：瓜豆原理
由M为BD的中点，结合瓜豆原理内容可得点M的轨迹是一个圆，如图所示，M点的轨迹就是由圆A以定点B为位似中心，以为位似比缩小来的.
∴圆E的半径为2，
当C、E、M三点共线时，CM的长度最大，
∵E是斜边的中点，∴CE＝5，∴CM＝CE＋EM＝5＋2＝7.
11.解：连接AM、CM，如图所示：
∵为等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60 ，
∵四边形DCFE是矩形，点M是DF的中点，∴DM＝CM，
在与中，，∴，
∴∠DAM＝∠CAM，
∵∠DAC＝60 ，∴∠ACM＝30 ，∴当BM⊥AM时，MB有最小值，
此时.
12.解：由题意可知C为定点，D点为主动点，路径为线段AB，点E为从动点，
∵是等腰直角三角形，∴∠DCE＝45 ，，
结合瓜豆原理内容可知从动点E的路径为一条线段，可以看成是由线段AB先绕着定点C逆时针旋转45 ，再以定点C为位似中心，以为位似比缩小来的，
如图，将BE的最小距离转化为点到线的最小距离(点B到的最短距离)，
由旋转相似可得，∴，
∴，在中，有，则，
∴线段BE的最小值为.
13.解：将圆O补充完整，延长BO交圆O于点F，取的中点H，连接FH、HB、BD，如图所示：
由题意可得△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90 ，
∵，∴点D在圆H上运动，轨迹如图中蓝色虚线，
∴∠HFG＝∠HCF＝15 ，∴∠FHG＝150 ，
∴∠CHB＝120 ，∴，
∴点D的运动路径长度为.
14.解：根据是等腰直角三角形可得：Q点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据，可得P点轨迹图形与Q点轨迹图形相似比为，故面积比为2:1，面积为，故Q点轨迹形成的封闭图形面积为3．
15.解：由题意可知，点N在直线上，于点M，则是等腰直角三角形，∴，
如图1，设动点P在O点(起点)时，点B的位置为，动点P在N点(终点)时，点B的位置为，连接，
∵，，∴
∵，
∴，
∴，相似比为，
∴，
如图2，当点P运动至ON上任意一点时，设其对应的点B为，连接AP、、，
∵，，∴
∵，，∴
∴，∴，
又∵，，∴
∴点在线段上，即线段就是点B运动的路径，
综上所述，点B运动的路径是线段，其长度为.

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