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三角形性质小结
下面就三角形的边、角、以及五心（外心、内心、重心、垂心、旁心）进行小结。
对于△ABC，BC=a，CA=b，AB=c；外接圆为⊙O，半径为R；内切圆为⊙I，半径为r。△ABC的面积记为S。再设△ABC的垂心为H，重心为G。
则：
（1）
（2）正弦定理：
证明：
方法一、由于
所以有
证毕。
方法二、如图（1）；作△ABC外接圆⊙O的直径BD，连接CD。


同理有
得证。
证毕。
方法三、如图（2）；作的单位向量，再过A作单位向量，使


同理有
于是
证毕。
上述三种方法对于钝角、直角三角形也成立。证明过程略。
（3）余弦定理：
证明：
方法一、如图（3）；
即
亦即
同理有
方法二、如图（4）；作出AB边上的高CD，垂足为D。
设
则△ADC中，△BDC中
于是有
解得
所以

于是有
同理有
（4）射影定理：
作出各边上的高，易得：
（5）记O为△ABC的外心，有
（证明略）
（6）设AG、BG、CG的延长线交BC、CA、AB于D、E、F。则：
（证明略）
（7）记则：
………………………………………………………⑴
…………………………⑵
…………………………………………………⑶
下面仅证明（1）和（3）式。
先证（1）式：
如图（5），记△IBC，△ICA，△IAB的面积分别为则
证毕。
再证明（3）式。（3）式的证明方法很多，下面仅用一种方法证明。
证毕。
（8）欧拉定理：O、G、H三点共线，且
证明：
方法一、如图（6）。作⊙O的直径BF，连接AF、OD。则有


故OD∥AF。
于是△GCH∽△GDO。…………………………………………………………………（4）
有
所以O、C、H三点共线。
并且（4）知：
故
（9）（三角形（外）角平分线性质定理）设AD为△ABC的角A的角平分线（或角A的外角平分线），则有
证明：如图（7）。
方法一、记△ABD、△ACD的面积分别为、
则有
故
方法二、设
因为B、D、C三点共线，应有

因此………………（5）
再设则
……（6）
由（5）（6）式得
。
得
故
（10）设A的旁切圆圆心M（角A的平分线与角B、C的外角平分线的交点），若BC与⊙M的切点为N。则
证明：如图（8）。由切线长定理有：
…………………………………………………………（7）
并有
………………………………（8）
……………………………………（9）
联立（7）（8）（9），得
（11）记G为△ABC的重心。则有
证明：如图（9）。延长AG交BC于D，再延长GD到E，使DE=GD；连接BE、CE。
因为BD=CD，GD=DE，
所以四边形GBEC为平行四边形。
所以有
又
所以有
即
（12）设H为△ABC的垂心，则有
（证明从略）
（13）O、H分别为△ABC的外心、垂心。，则有
证明：如图（10）。作直径BD，再连接AH、CH、DC、AD。
则有DC⊥BC，AH⊥BC，于是有
DC∥AH；
又CH⊥AB，AD⊥AB，于是有
AD∥CH。
所以四边形AHCD为平行四边形。
于是有
证毕。
（14）I为△ABC的内心。有
证明：如图（11），设AI的延长线交BC于D，连接IB、IC。
由性质（9）（三角形角平分线性质定理）有
故
即
……………………………………（10）
再由性质（9）中的第二种方法知
…………………………………（11）
把（11）代入（10）中有
……………（12）
同理有：
…………………………………（13）
联立（12）（13），得
即
证毕。
（15）记M为△ABC的A的旁切圆的圆心，则有
证明：如图（12）。延长BM、CM分别交AC、AB于E、F。
由性质（9）（三角形外角平分线性质定理）知
于是有
于是有
故
………………………（14）
同理有
……………………………（15）
由（14）（15）得：
即
亦即
证毕。
（16）设△ABC的外心、内心分别为O、I，且外接圆、内切圆的半径分别为R、r。则
证明：如图（13），延长CI交⊙O于N，连接AI、IN。
又
所以：
于是
由相交弦定理有
又
所以
故
证毕。
三角形性质的一些推论：
（1）平行四边形的对角线平方和与四边平方和相等。
证明：如图（14），△ABC中，由余弦定理：
……………………………………………………（16）
△BCD中，由余弦定理：
……………………………………………………（17）
因为
故
证毕。
（2）平行六面体的对角线平方和等于十二条棱的平方和。
证明：如图（15），
平行四边形ACC1A1中，由推论（1）知：
（18）
同理：平行四边形BDD1B1中，有：
（19）
而在平行四边形ABCD中，有：
（20）
在平行四边形A1B1C1D1中，有：
（21）
（18）+（19），并结合（20）（21），有：
证毕。
（3）△ABC的边BC上的中线AD长为
　（帕普斯( Pappus) 定理( 中线公式)）
证明：如图（16），延长AD到E，使DE=AD，连接BE，EC。
则四边形ABEC为平行四边形。
于是有
△ACE中，由余弦定理，有：
而
于是
故
证毕。
（此题的方法可以作为一种解决2005年湖北卷的第18题，原题如下：
在△ABC中，已知边上的中线求的值。
在此，不给出答案了。）
（4）运用三角形性质小结中的第（13），可得2005年全国I卷中的第（15）题，原题如下：
的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =
显然答案是m=1。

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