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期末精选题练习2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．数学世界中充满了许多美妙的几何图形，等待着你去发现，下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．①勾股树 B．②分形树
C．③谢尔宾斯三角形 D．④雪花
3．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
4．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）
A． B．
C． D．
6．某种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别与相切于点，为上一点，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，半圆O的直径为10，点C、D在圆弧上，连接，两弦相交于点E．若，则阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，若让转盘自由转动一次，则指针落在红色区域的概率是 ．
10．已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 ．
11．在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ．
12．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩步）
13．设是抛物线上三点，则的大小关系是 (用号连接)．
14．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s与提出概念的时间之间近似满足函数关系，s值越大，表示接受能力越强，如图记录了学生学习某概念时t与s的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为 ．
15．抛物线的对称轴及部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的两根为 ．
16．如图，直线分别与相切于点，的周长 ．
17．如图，小明用图中的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的圆心角为，面积是，那么这个圆锥的底面半径是 ．
18．如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是 ．
三、解答题
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．杜甫是唐代伟大的现实主义诗人，被后人誉为“诗圣”．《绝句》是杜甫住在成都浣花溪草堂时写的，描写了草堂周围明媚秀丽的春天景色．如图，将这四句古诗分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，小莉和小芳玩抽诗句的游戏．
A两个黄鹂鸣翠柳， B一行白鹭上青天．
C窗含西岭千秋雪， D门泊东吴万里船．
(1)小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为___________．
(2)小莉先抽一张卡片，接着小芳从剩下的卡片中抽一张，用画树状图法或列表法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联（注：A与B为一联，C与D为一联）的概率．
21．随着人们生活水平的提高，节假日大家都喜欢游览观光祖国的大好河山，但一定要注意安全，特别要防止病毒的传染．我们利用学过的数学知识来解决一个关于病毒传染的问题：一个游客在旅游时，因不意防范，患上了流感，回家后，经两轮传染后有81人患上了流感，那么平均一个人传染了几个人？经过三轮传染后共有多少人患上了流感？
22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
(1)请画出关于原点对称的；
(2)将向右平移8个单位长度得到，请画出．
23．如图，抛物线过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点P的坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称．
(1)求该抛物线的解析式及点的坐标
(2)点是抛物线上的动点，若，求点的坐标
(3)点是轴上一动点，当最大时，求点的坐标．
25．如图，在中，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．
(1)求证：点B在上．
(2)当点D移动到使时，求的值．
(3)当点D到移动到使时，求证：．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．求出根的判别式的值再进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程中，
，
所以原方程没有实数根．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据配方法的关键点“等式两边加上一次项系数一半的平方”进行求解即可．
【详解】解：
；
故选D．
5．D
【分析】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．
【详解】原抛物线的顶点为，向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为；
可设新抛物线的解析式为，代入得：，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查二次函数的应用，将二次函数的一般式写成顶点式，即可知道从点火升空到引爆需要的时间．
【详解】解：，
∵，
∴这个二次函数图象开口向下．
∴当时，礼炮升空到最高点，
∴从点火升空到引爆需要的时间为．
故选B．
7．A
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和为，求出的度数，然后根据圆周角定理，即可得解．
【详解】解：∵分别与相切于点，
∴，
∴，
∴；
故选A．
8．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角和弧之间的关系，扇形的面积，连接、，根据，得出，得出，根据即可求得．
【详解】连接、，
是直径，
，
，
，
的度数为，
，
．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了几何概率的求法，根据概率的求法，用红色区域的圆心角度数除以即可解答．
【详解】解：∵白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，
∴若让转盘自由转动一次，则指针落在红色区域的概率是：．
故答案为：．
10．1
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可．此题考查了一元二次方程的根和根与系数关系，整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
故答案为：1
11．
【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．
【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设此矩形田的宽为步，依据题意，可列方程为，
解得：（负值舍去），
故答案为：．
13．
【分析】根据解析式得出抛物线开口向下，对称轴为直线，进而根据离对称轴越远的点的函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，离直线的距离最近，
∴．
故答案为：．
14．13
【分析】本题主要考查求函数最值，解题的关键是根据函数图象，利用待定系数法求出函数解析式．
【详解】解：已知满足函数关系，
根据图像可知经过，，，
将已知点代入解析式得：
，
解得：，
，
根据函数性质得：时，s最大，
即当学生接受能力最强时，提出概念的时间为．
故答案为：13．
15．
【分析】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的解是解题关键．根据抛物线的对称性求出抛物线与轴的另一个交点坐标即可求解．
【详解】解：根据图象可得：图象与x轴的一个交点是，对称轴为直线，
∴图象与x轴的另一个交点是，
∴关于x的一元二次方程的两根为：．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了切线长定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键．根据的周长为：，结合，代换计算即可．
【详解】∵直线分别与相切于点，
∴，
∴的周长为：
，
故答案为：．
17．/5厘米
【分析】本题主要考查了求扇形的面积．设这个圆锥的底面半径是，根据扇形的面积公式计算，即可求解．
【详解】解：设这个圆锥的底面半径是，根据题意得：
，
解得：（负值舍去），
即这个圆锥的底面半径是．
故答案为：
18．/
【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解．
【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为，
当时，，
∴是直角三角形，且，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时，走过的角度为，则走过的弧长为，
∴点P的运动速度是 ，
当时，，即是等边三角形，
∴，
∴，
此时点P走过的弧长为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，求弧长，勾股定理逆定理，圆的基本知识，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
19．(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，
因式分解得：，
∴或，
∴，；
（2），
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）小莉从中抽取一张卡片，恰好抽到的是这首诗的首句的概率为，
故答案为：；
（2）用列表法列举所有可能的结果：
小芳 小莉 A B C D
A A、B A、C A、D
B B、A B、C B、D
C C、A C、B C、D
D D、A D、B D、C
共有12种等可能的结果，其中抽到A、B（B、A）或C、D（D、C）的情况有4种，
∴两人所抽卡片上的诗句恰好成联的概率为．
21．平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意列方程求解．设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求出x的值，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数．
【详解】解：设平均一人传染了x人，
，
解得（不符合题意，舍去）
经过三轮传染后患上流感的人数为：（人），
答：平均一个人传染了8个人，经过三轮传染后共有729人患上了流感．
22．(1)如图，即为所求；
(2)如图，即为所求．
【分析】本题主要考查作图—平移变换和旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质作图．
（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）将三个顶点分别向左平移8个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
23．(1)
(2),
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由待定系数法求出直线的解析式，过点作轴的平行线，交于，设设，则，则，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案．本题考查了待定系数法，抛物线的最值，等腰直角三角形性质，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：，
解得，
直线的解析式为：，
如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，
∴
，由此可得，
当，最大为，
当时，，
∴．
24．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可，再根据解析式求出对称轴，即可求出点D的坐标；
（2）过点E作轴交于点F，求出直线的解析式，设点，则，由，再根据，建立方程求解出符合的解即可；
（3）连接，作的内接圆，设，在中，所对的边为，当为的内接圆的直径时，最大，且为直角，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于两点，
，
解得，
抛物线的解析式为：；
，
，
抛物线的图象关于对称，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
设点D的坐标为，
，
，
；
（2）解：设直线的解析式为，
将，，代入，
得，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
设点，
，
，
，
如图，过点E作轴交于点F，
，
，
，
，即，
或，
当时，
解得：或，
或；
（3）解：如图，连接，作的内接圆，

设，在中，所对的边为，
当为的内接圆的直径时，
最大，且为直角，
，
，
，即，
解得：或，
点的坐标为或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）根据题意得，结合，得到，继而得到即可证明．
（2）连接，根据得，，结合，得到，得到，，，结合已知证明即可．
（3）过点B作于点B，过点A作于点A，交于点N，连接，证明,,在中，根据勾股定理，得，等量代换证明即可．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∵，
∴，
∴，
∴点B在上．
（2）解：连接，如图，
∵，为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过点B作，过点A作，交于点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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