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2023-2024学年数学人教版八年级上册压轴题特训卷
1．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如的三角形是“智慧三角形”．如图，，在射线上找一点A，过点作交于点，以为端点作射线，交射线于点．
(1)的度数为_______°，______（填“是”或“不是”）智慧三角形；
(2)若，求证：为“智慧三角形”；
(3)当为“智慧三角形”时，求的度数．
2．如图1，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点B是第四象限内一点，轴于点，且，．
(1)求点B的坐标；
(2)如图2，点是线段上一动点，交于点，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点，与交于点，求的度数；
(3)如图3，将点C向左平移4个单位得到点H，连接，与y轴交于点D．
①求点D的坐标；
②y轴上是否存在点M，使三角形和三角形的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．，直线交于点，交于点，点在上，点在直线右侧、且在直线和之间，连接、．
(1)写出，，之间的关系，并说明理由；
(2)如图1，连接，若平分，，，．求的度数；
(3)如图2，若平分， 的平分线所在的直线与相交于点，则 与之间的数量关系，并说明理由．
4．已知：在中，作平分线，在上找一点D，使得，过点D作，交直线于点E．
(1)依题意补全图形；
(2)用等式写出、、之间的数量关系，并给出证明；
(3)如果把作的平分线，改为作的外角的平分线，其他条件不变，直接用等式写出、、之间的数量关系．
5．如图，和均为等腰直角三角形，，，，连结交于点．
(1)求证：；
(2)证明：；
(3)连结，求的度数．
6．（1）如图1，在和中，，，．说明的理由；
（2）如图2，在和中，，，，点在同一直线上，连接．直接写结论：__________°；
（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，，，点，，在同一直线上，为的边上的高，连接．已知，的面积为（即），请求出的面积．
7．如图1，点、在轴正半轴上，点、分别在轴上，平分与轴交于点，．

(1)求证：；
(2)如图2，点的坐标为，点为上一点，且，求的长；

(3)在（1）中，过作于点，点为上一动点，点为上一动点，（如图，当在上移动，点在上移动时，始终满足，试判断、、这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．

8．如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到．
(1)如图1，当时，连接，求的长度；
(2)如图2，在旋转过程中，直线与直线相交于点Q,证明：；
(3)在（2）的条件下，当是等边三角形时，直接写出的长度．
9．四边形,,点在上,点在上,连接,

(1)如图1,求证:;
(2)如图2,点在上,连接,,,求证：;
(3)如图3,在（2）的条件下,过点作的平行线交于点,,,求的值．
10．中，，，是的中点．
(1)如图1，连接，过点作，分别交，于点，．
①若，直接写出的度数为_________；
②求证：．
(2)如图2，点，是边上动点，连接，相交于点，已知，连接，求证：．
11．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，直角顶点在轴上，点在轴上，点在第二象限，．
(1)在线段上找一点，使得，连接、，求证：；
(2)将绕点逆时针旋转，使得点落在轴正半轴上．
如图，轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于点，则与有怎样的数量关系？并说明理由，
如图，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于点下，在滑动的过程中，是否为定值？若是，请直接写出答案；若不是，请说出理由．
12．通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；
再例如求代数式的最小值，．
可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)代数式的最大值为： ；
(2)若与，判断的大小关系，并说明理由；
(3)已知：，，求代数式的值．
13．如图①，在平面直角坐标系中，点A，点B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在第二象限，且，，点 B 的坐标为，点 C的纵坐标为n，满足．
(1)求点A的坐标；
(2)如图②，点D是的中点，点E，F分别是边，上的动点，且，在点E，F移动过程中，四边形的面积是否为定值？请说明理由；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出满足条件的点P的坐标.
14．对于任意实数，，我们规定：，，例如：，．
(1)填空：
①_________；
②若，则_________；
③若，则_________0．（填“”，“”或“=”）
(2)若，且，求与的值；
(3)若正整数，满足，，求的值．
15．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”．
(1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；）
(2)分式的“可存异分式”是________；
(3)已知分式是分式A的“可存异分式”．
①求分式A的表达式；
②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值；
(4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值．
16．我们约定：若关于的整式与同时满足：，，则称整式A与整式互为“美美与共”整式．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于的整式与互为“美美与共”整式，求k，m，n的值．
(2)若关于x的整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，且是的一个因式，求的值；
(3)若，且关于的方程的解为正整数，求的“美美与共”整式，并求出的最小值．
17．定义：形如的式子，若，则称为“勤业式”；若，则称为“求真式”；若的值为整数，则称为“至善式”．
(1)下列式子是“求真式”的有______（只填序号）；
① ② ③
(2)若，，请判断为“勤业式”还是“求真式”，并说明理由；
(3)若，，且x为整数，当为“至善式”时，求x的值．
18．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______．
(2)求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值．
参考答案：
1．(1)30；是
(2)见解析
(3)的度数为或或或或或
【分析】本题属于几何综合题，考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点在线段和线段的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的度数为
∴，
∴为直角三角形，是“智慧三角形”，
故答案为：30；是；
（2）∵，
∴，
∴为“智慧三角形”；
（3）∵为“智慧三角形”
①当点在线段上时，
∵，
∴，
I、当时，，
∴，
II、当时，
∴
∴此种情况不存在，
III、当时，
∴，
∴，
∴，
IV、当时，
∴，
∴，
∴(舍去)，
V、当时，
∴，
∴(舍去)，
VI、当时，
∴，
∴，
∴此种情况不存在，
②当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
1．当时，
∴，
∴，
∴，
II、当时，
，
当为“智慧三角形”时，的度数为或或或．
2．(1)；
(2)；
(3)①；②存在，或
【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性a、c的值即可得到A、C的坐标，再利用梯形面积公式求解即可得到答案；
（2）连接，根据的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，可以得到，根据，可以得到，最后根据，即可得到，从而可以求解；
（3）①连接，设设，，根据即可求得点D的坐标；
②依题意，，，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2中，

∵的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点G，
∴可以假设，
∵，
∴，
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①如图3中，连接，设，．
由题意，
∵，
∴，
解得，
∴；
②存在，
∵，
∴，
∴，，
∵三角形和三角形的面积相等，
∴，，，
∴，
解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．(1)，理由见解答
(2)
(3)
【分析】（1）延长交于，利用平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到；
（2）连接，由已知条件可得，结合（1）的结论可得，由平行线的性质及角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可求解的度数；
（3）根据平分，可设，根据四边形内角和可得，依据是的外角，可得，最后依据，即可得到与之间的数量关系．
【详解】（1）解：关系为，
理由如下：
延长交于，如图所示：

，
，
是的外角，
；
（2）解：连接，如图所示：

，
，
由（1）知：，
，．
，，
，
，
，
平分，
，
，
，解得；
（3）解：平分，
可设，
，
，
在四边形中，，
，
是的外角，
，
又平分，
，即，
整理可得．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义的综合运用，熟记“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”，数形结合是解决问题的关键．
4．(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）由题意画出图形即可；
（2）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解；
（3）过点D作于点F，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得；根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，全等三角形的对应边相等可得，，即可求解．
【详解】（1）解：依题意补全图形如下：
（2）解：．
证明：过点D作于点F，如图：
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：．
证明：过点D作于点F，如图：
∵是外角的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
5．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）根据条件证明即可证明结论；
（）设相交于点，由得到，因为，根据三角形内角和定理即可得到；
（）过点作于，于，由得到，，进而得到，即可判定平分，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的判定，角平分线的判定和性质，构造辅助线，得到平分是解题的关键．
【详解】（1）∵，
∴，
即
在与中
，
∴，
∴；
（2）设相交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）过点作于，于，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意证明三角形全等，利用三角形全等的性质求解．
（1）由得，从而得：≌即可求解；
（2）先证明≌，依据等边三角形的性质，利用角的和差关系即可求解；
（3）由，得出，进而得证≌，依据，的面积为，得到，最后利用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：（1），
，
即，
在和中，，
≌，
；
（2），，，
和是等边三角形，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：；
（3）为等腰直角三角形，
．
又为的边上的高，
，
．
和均为等腰直角三角形，
，，，，
，
，
∴≌，
，
，
，
．
≌，
，，
，
在中，由勾股定理得，．
为等腰直角三角形，∴，
，
．
7．(1)见解析
(2)；
(3)，证明见解析
【分析】（1）根据角平分线得出，进而判断出，即可得出结论；
（2）过点作于，根据角平分线得出，进而判断出，得出，进而判断出，得出，再判断出，即可得出结论；
（3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论．
【详解】（1）平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）如图2，

过点作于，
平分，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）；
证明：如图3，

在的延长线上取一点，使，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定理，等腰三角形的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．
8．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先证明四边形是正方形，根据正方形的性质和勾股定理即可得到答案；
（2）分别过点A、E作直线的垂线，垂足为M、N，证明得到，再证明，即可得到；
（3）先根据等边三角形的性质推算出，根据直角三角形的性质分别计算出和，结合（2）的全等三角形得到和的值，再证明三角形是等边三角形，进一步证得，最后根据求得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：分别过点A、E作直线的垂线，垂足为M、N，下图所示，
∵，
∴，
∵，
∴；
∴，
∵,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：设和相交于点O，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴,
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形、等边三角形、直角三角形、全等三角形和旋转的性质，解题的关键是正确添加合适的辅助线构造出全等三角形．
9．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】本题考查全等三角形判定及性质,三角形内角关系,正确做出辅助线是解出本题的关键．
（1）由,得,利用三角形各内角关系即可得出结论;
（2）利用三角形内角关系证明,即可得;
（3）延长于点,使得,连接,可证明,利用全等三角形性质及条件再证明,继而得出答案．
【详解】（1）解:证明:∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解:证明:∵,,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴．
（3）解:如图,延长于点,使得,连接,

∴在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
作于点,交的延长线于点,
在和中,
,
∴,
∴,,
∵,,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∴的值为．
10．(1)①；②见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确作出辅助线，熟练运用等腰三角形的性质和全等三角形的性质是解题关键．
（1）①首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质求得，再结合，可解得，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即可获得答案；②利用“”证明，由全等三角形的性质可证明；
（2）连接，过点作交于点，首先证明为等腰三角形，易得，然后利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而确定，即可证明．
【详解】（1）解：①，，
，
，
，
，是的中点，
，即，
，
故答案为：；
②证明：，，，是的中点，
，，
，
，
，
，
，
又，，
，
；
（2）连接，过点作交于点，
，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
．
11．(1)证明见解析；
(2)，理由见解析；是定值，．
【分析】（）证明，推导出，得到，又由得到，求出，即可求证；
（）延长交于点，可证，，即可求得；
作，则，，可证，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，过点作轴于点，则，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：．
理由：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
是定值，．
如图，作，则， ，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，余角性质，解题的关键是作出正确的辅助线，构造出全等三角形．
12．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值．
（1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可；
（2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解；
（3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可．
【详解】（1）解：，
当时，由最大值，为，
代数式的最大值为，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，，
，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
．
13．(1)
(2)四边形的面积是定值；理由见解析；
(3)或
【分析】（1）过点A作x轴垂线，过点C作y轴垂线，延长，与交于M，证明，得出，求出，即可求出结果；
（2）连接，证明即可得出结论；
（3）过A作垂线，使延长,使分别过向x轴作垂线，垂足为G，K，证明，，得出，，求出，，得出，即可．
【详解】（1）解：，
，
∴点，
过点A作x轴垂线，过点C作y轴垂线，延长，与交于M，则，
∴，，
∵在和中，
∴，
∴，
∴，
，
∴点A的坐标为；
（2）解：四边形的面积是定值；理由如下：
连接，
∵，D为的中点，，
∴，平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴；
（3）解：过A作垂线，使延长,使分别过向x轴作垂线，垂足为G，K，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴满足条件的点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，坐标与图形，非负数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．
14．(1)①；②3；③0
(2)3，1
(3)3或6
【分析】（1）①由题意知，，计算求解即可；②由题意知，，计算求解即可；③由题意知，，则，然后作答即可；
（2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可；
（3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）①解：由题意知，，
故答案为：；
②解：由题意知，，
解得，，
故答案为：3；
③解：由题意知，，
∴，
故答案为：0；
（2）解：∵，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴；
∴的值为3，的值为1；
（3）解：∵，，
∴，
∴，即，
∵正整数，，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，整理得，，
∴，
∴当时，，（舍去）；
当时，，（舍去）；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
综上所述，的值为3或6．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
15．(1)不是
(2)
(3)①；②分式A的值是1，3，5；
(4)520
【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可；
（2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可；
（3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可；
②根据整除的定义进行求解即可；
（4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，
，
∴，
∴分式不是分式的“可存异分式”；
故答案为：不是．
（2）解：设的“可存异分式”为，则，
∴，
∴
．
故答案为：．
（3）①∵分式是分式A的“可存异分式”，
∴，
∴，
∴
；
②∵整数使得分式A的值是正整数，，
∴时，，
时，，
时，，
∴分式A的值是1，3，5；
（4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则：
，
∴
，
∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，
∴，
整理得：，
解得：，
∴
．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
16．(1)k的值为，m的值为3，n的值为2．
(2)
(3)或，最小值为或
【分析】题目主要考查整式的乘法运算及因式分解，解分式方程等，熟练掌握因式分解是解题关键．
（1）根据题意得到即可解答；
（2）根据题意得出，再由是的一个因式，进行因式分解确定，即可求解；
（3）根据因式分解得出，再由分式方程的解确定或，即可分情况得出Q，然后配方确定最小值即可．
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：k的值为，m的值为3，n的值为2．
（2），
∵整式，（a，b为常数），M与互为“美美与共”整式，
∴，
∴，
∵是的一个因式，
∴，
∴，
∴；
（3）
，
∴，
得，
∵关于的方程的解为正整数，
∴或，
∴或，
∴，或
∴最小值为或．
17．(1)①③；
(2)为“勤业式”，理由见解析；
(3)x的值为0或1或．
【分析】（1）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（2）先比较A、B的大小，再根据定义进行判断即可得解；
（3）先求得，由为“至善式”，得为整数，从而有或或或，求解符合条件的x的值即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴为“求真式”，故①符合题意，
∵
∴为“勤业式”， 故②不符合题意，
∵，
∴即，
∴为“求真式”， 故③不符合题意．
故答案为：①③；
（2）解：为“勤业式”，理由如下：
∵，
∴，
∴为“勤业式”；
（3）解：∵，，且x为整数，
∴
∵为“至善式”，
∴的值为整数，即为整数，
∴为整数，
∴或或或，
解得或（舍去）或或，
∴x的值为0或1或．
【点睛】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，分式方程等知识，掌握以上知识是解题的关键．
18．(1)或或
(2)
(3)27
【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．
（1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可；
（2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可；
（3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可．
掌握分式的变形方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的值为非负整数，
∴，
∴；
故答案为：或或；
（2），
∵，
∴，
∴，即：；
（3）∵，
又，
∴，，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴；
∴的最小值为．
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