资源简介

四点共圆
1．（2022秋 鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图．
（1）在图1、2中，取的中点，根据　　得，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图．假设点落在外，交于点，连接，可得　　，所以　　，得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论Ⅲ同理可证．
（3）利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
（4）如图7，点是外部一点，过作直线，，的垂线，垂足分别为，，，且点，，在同一条直线上．求证：点在的外接圆上．
2．（2022秋 仪征市期中）【问题提出】
苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题：
1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？
（1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明：
是的直径，
　　，
，
四边形内角和等于，
　　．
（2）请回答问题2，并说明理由；
【深入探究】
如图（3），的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，．
（3）直接写出四边形边满足的数量关系　　；
（4）探究、满足的位置关系；
（5）如图（4），若，，，请直接写出图中阴影部分的面积．
3．（2010 永州）探究问题：
（1）阅读理解：
①如图（A），在已知所在平面上存在一点，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离；
②如图（B），若四边形的四个顶点在同一圆上，则有．此为托勒密定理；
（2）知识迁移：
①请你利用托勒密定理，解决如下问题：
如图（C），已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：；
②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中、、均小于的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图（D），在的外部以为边长作等边及其外接圆；
第二步：在上任取一点，连接、、、．易知　　；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图（D）中找出的费马点，并请指出线段　　的长度即为的费马距离．
（3）知识应用：
2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水．
已知三村庄、、构成了如图（E）所示的（其中、、均小于，现选取一点打水井，使从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
4．（2023 鹿城区校级二模）如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．
（1）求证：．
（2）求与的长．
（3）是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，．
①求关于的表达式．
②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．
5．（2023 郸城县一模）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
（1）填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一：　　；
依据二：　　．
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（3）填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则　　．
6．（2022秋 新华区校级期末）如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．
（1）求证：是的切线；
（2）求的直径；
（3）当点在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是　　．
7．（2022秋 靖江市期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在中，，当长度不变时，则点在以为直径的圆上运动（不与、重合）．
【探索发现】
小明继续探究，在中，，长度不变．作与的角平分线交于点，小明计算后发现的度数为定值，小明猜想点也在一个圆上运动．请你计算的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征．
【拓展应用】
在探索发现的条件下，若，求出面积的最大值．
【灵活运用】
在等边中，，点、点分别在和边上，且，连接、交于点，试求出周长的最大值．
8．（2022 遵义）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
反思归纳：
（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：　 　；依据2：　 　．
（2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　．
拓展探究：
（3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，AD AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
9．（2022秋 慈溪市校级月考）如图，已知，四边形内接于，且．
（1）求证：①；
②若为直径，则．
（2）已知的半径为5，四边形有一个角为，且，求四边形的面积．
（3）设，，，，探究并用等式表示，，，的数量关系．
10．（2022 松北区三模）如图，已知四边形内接于，连接、，．
（1）求证：平分；
（2）如图2，若，求证：．
（3）在（2）的条件下，连接并延长交于点，交、于点、，连接，当，时，求的值．
11．（2022秋 东湖区期中）已知，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，得到△（点的对应点为，点的对应点为，连接，．
（1）当旋转到图①位置时，求的值；
（2）当点在射线上时，如图②所示，直接写出线段的长；
（3）设直线，与直线相交于点，
①当点与点重合时，直接写出线段的长；
②当时，直接写出线段的长．
12．（2022秋 建湖县期中）如图，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．
（1）若，则　　；
（2）过点作于，判断、、之间的数量关系并证明；
（3）若、，求的值．
13．（2022春 金山区校级月考）如图，为半圆的直径，，过作的垂线，点为直线上一点，连接交半圆于点，以为圆心，为半径作圆弧交于点不与重合）．
（1）如图1，连接、交于点，若为重心时，求的值；
（2）如图2，设，，求关于的函数关系式，并写出定义域；
（3）延长交于点，延长交射线于点，
①设与线段交于点，连接，的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请至少给出两种不同情况下所对应的度数；
②若，求的长．
14．（2021秋 鹿城区校级期中）如图，内接于，，，，．
（1）度数 　　．（直接写出答案）
（2）求的长度．
（3）是上一点（不与，，重合），连结．
①若垂直的某一边，求的长．
②将点绕点逆时针旋转后得到，若恰好落在上，则的长度为 　　（直接写出答案）
15．（2021秋 固始县月考）阅读材料并完成相应任务：
婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位．其中就包括他提出的婆罗摩笈多定理（也称布拉美古塔定理）．
婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．
下面对该定理进行证明．
已知：如图（1），四边形内接于，对角线于点，
于点，延长交于点．
求证：．
证明：，，
，，
．
任务：
（1）请完成该证明的剩余部分；
（2）请利用婆罗摩笈多定理完成如下问题：如图（2），已知中，，，，分别交于点，，连接，交于点．过点作，分别交，于点，．若，求的长．
16．（2023 永州模拟）如图1，在正方形中，为对角线，点，分别在边，上，，连结交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过点，，的圆交于点，连结交于点，求证：；
（3）在（2）的条件下，当点是线段的中点时，求的值．
17．（2023 新乡二模）如图，中，，点为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接．
（1）求证；
（2）请你添加一个条件 　　，证明四边形为菱形．
（3）在（2）的条件下，若，求的长．
18．（2023 天心区校级三模）如图1：在中，为直径，是上一点，，．过分别作于点，于点，点、分别在线段、上运动（不含端点），且保持．
（1）　　；四边形是 　　（填矩形菱形正方形）；　　；
（2）当和不重合时，求证：；
（3）①在图1中，是的外接圆，设面积为，求的最小值，并说明理由；
②如图2：若是线段上一动点，且，，是四边形的外接圆，则当为何值时，的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．
19．（2022秋 南关区校级期末）【问题情境】如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结，取的中点，连结、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连结，，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 　　；
（2）如图③，过点分别作于点，于点，连结，则的最小值为 　　．
20．（2022 芜湖一模）如图，在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），作点关于直线的对称点，连接，再连接并延长交射线于点，连接和．
（1）若，则　　（用含的式子直接填空）；
（2）求证：点在正方形的外接圆上；
（3）求证：．1．（2023 鹿城区校级三模）如图1，在中，，，，是的中点，经过，，三点的圆交于点，若动点从点匀速运动到点时，动点恰好从点匀速运动到点，记，．
（1）求的长．
（2）求关于的函数表达式．
（3）连接．
①当时，求的值．
②如图2，延长交于点，连接，当为直角三角形时，求的值．
【解答】解：（1）如图1，
连接，
，，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2），
由题意得，
，
，
；
（3）①如图2，
作于，
在中，，，
，
，
，
，
，
，（舍去），
；
②如图3，
连接，
，
是的直径，
当时，
是的直径，此时点在处，
，，
，
，
由上知：，，
，
，
，
，
，
如图4，
当时，，
连接，，，作于，设与交于点，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
，，
，
同理可得，
，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
综上所述：或．
2．（2023 西湖区校级二模）如图，四边形内接于，，为直径，为一动点，连结交于点，交于点，连结．
（1）设为，请用表示的度数．
（2）如图1，当时，
①求证：．
②当，时，求半径的长．
（3）如图2，当过圆心时，若，直接写出的值（用含的代数式表示．
【解答】（1）解：，
，
，
是的直径，
，
，，
，
．
（2）①证明：如图1，连结，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
②解：如图1，作于点，
则，，
，
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
的半径的长为．
（3）解：．
如图2，连结交于点，设，
是的直径，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
设，则，，
，
，，
，
．
3．（2023 道里区三模）已知为的直径，弦和相交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在 上有一点，，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接和，在上取一点，使，，垂足为点，连接，在上取一点，使，在上取一点，连接和，若，，与相交于点，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接和，
，
，
，，
，
，
；
（2）证明：如图，连接和，过点作，垂足为点，连接，
，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：连接和相交于点，与相交于点，过点作垂足为点，
是的直径，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
设，则，，，
，
，
在中，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
4．（2023 袁州区校级二模）如图1，在四边形中，，，是的直径，平分．
（1）求证：直线与相切；
（2）如图2，记（1）中的切点为，为优弧上一点，，．
①求的直径；
②求的值．
【解答】（1）证明：作于，如图所示：
则，
，
，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
又，
直线与相切．
（2）解：①作于，连接，交于，做于，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，是的切线，
由（1）得是的切线，
，，
，
，
；
②，平分，，
，
，
，
，
，
，
．
5．（2023 福田区校级二模）【定义1】如图1所示，像这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角；
【定义2】站在某一位置观察测物体时，视线范围所成的角度称为视角，如图2，在和点对矩形观测，会有不同的视角．
【判断】如图3，连接，　　．，，
【问题解决】如图4，在平面直角坐标系中，，，直线，为直线上一点，连接，，求的最大值．
【拓展应用】学校计划组织学生春游，一条北偏东走向的路上经过紫色大厦时，小明发现在观察紫色大厦时的最大视角为，小明认为，可以通过将公路和建筑物放在如图所示的平面直角坐标系中，可以计算出此时公路距离紫色大厦的最近距离的长度．请你协助小明完成计算，直接写出答案．
【解答】解：（1）连接．
因为，
所以．
故答案为：．
（2）当以为弦的圆，与直线相切时．
即为切点时，最大．
因为此时只有点在圆上，直线上的其它点都在圆外．
如图所示．
令直线与轴，轴的交点记为，，则，，．
将这个圆记为，令，
则，即．
又，．
所以，
解得，（舍去）．
所以．
在中，，所以，则．
所以．
即的最大值为．
（3）令公路与轴，轴的交点记为，；与轴交点为．
如图所示．
当以为弦的圆与直线相切时，切点处观察紫色大厦的视角最大．
令，则．
又，所以．
则，
所以为等腰直角三角形．
所以，，
则．
又三角形为等腰直角三角形，
所以．
故．
所以．
过点作垂线，则垂线经过点，且垂线段的长为，
所以最近距离的长为：．
故答案为：．
6．（2023 梧州二模）如图，是的外接圆，是的直径，与关于对称，点的对应点为点，交于点，连接交于点．在点作，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，求的值．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）证明：连接，
是的直径，
，
与关于对称，点的对应点为点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（3）解：连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
．
7．（2023 潮南区模拟）如图，以为直径的外接于，过点的切线与的延长线交于点，的平分线分别交，于点，，其中，的长是一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：；
（2）若线段上存在一点，使得四边形是菱形，请求出菱形面积．
【解答】（1）证明：平分，
，
与相切，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：作于点，
由于，的长是的两个实数根，
解得：，，
由（1）可知：，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
菱形面积为：．
8．（2023 金平区一模）如图，为的直径，点、点在上，，交延长线于点，连接，且．
（1）证明：；
（2）证明：为的切线；
（3）若，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形内接于，
．
．
．
为的直径，
．
，
．
．
；
（2）证明：连接，
，
．
由（1）得，，
．
又，
．
．
，
．
为的切线；
（3）解：，
．
又，
．
，
．
连接，．
为的直径，
．
在中，，
．
9．（2023 醴陵市一模）如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，且，求的面积．
【解答】（1）证明：连接，
是的切线，
，即，
，
，
，
，
，
，即平分；
（2）解：是的直径，
，
，
又，
，
，
，，
，
在中，
；
（3）解：，，
，
，
，
，
，
中，，
，
在中，
，
．
10．（2023 惠城区校级二模）如图1，是的直径，点是上一点（不与点，重合），连接，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点，在线段异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，在（1）的条件下，过点作的切线，分别交，的延长线于点，．
①求证：；
②过作于，交于点，若，，求的长．
【解答】（1）解：如图1，点即为的中点．
（2）①证明：连接，
平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
；
②解：如图，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
11．（2023 天河区校级三模）如图，正方形的对角线，相交于点，关于的对称图形为．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）连接，若．
①求的值；
②以为直径作，点为上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，求的最小值．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，，
关于的对称图形为，
，，，，
，，
四边形是正方形；
（2）解：①如图，连接，并延长交于点，
四边形是正方形，，
，，，，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
，，
在中，，
；
②如图，过点作于点，连接，，
四边形是正方形，，
，，，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
设，，则，，，
，
在中，，
为的直径，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得：，
设，则，
，
，
，
这个关于的一元二次方程有实数根，
方程根的判别式，即，
解方程，得：或，
关于的不等式的解集为，
，即，
的最小值为．
12．（2023 盐都区三模）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，把点沿纵轴或横轴方向到达点的最短路径长记为．
例如：如图1，点，点，则．
（1）①已知点和点，则　6　．
②点是平面直角坐标系中的一点，且，则所有满足条件的点组成的图形是 　　．
．一条线段
．一个等边三角形
．一个正方形
．一个圆
【新知运用】
（2）已知点，点在线段上．
①如图2，已知点和点，则的最大值是 　　；
②如图3，已知点和点，求的最小值．
（3）如图4，已知点，点，以点为圆心，5为半径作，点在上，则的取值范围是 　　．
【尺规作图】
（4）如图5，请用无刻度直尺和圆规在直线上找一点，使得，，．
【解答】解：（1）①和点，
；
故答案为：6；
②设，
，
，
去绝对值符号，得，
画出函数图象如图所示，
所有满足条件的点组成的图形是正方形；
故选：．
（2）①点和点，
轴，
点在线段上，
设，，
，
当取得最大值时，取得最大值，
，
当时，的最大值为；
②设直线的函数解析式为，
将点和点代入，得，
解得：，
直线的函数解析式为，
点在线段上，
设，，
，
当时，，，
此时，随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值为；
当，，，
此时，随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为．
综上，的最小值为．
（3）解：过上任意一点作轴于点，过点作直线，交轴于点，使，如图，
则为等腰直角三角形，
，，
，
当最大时，最大，当最小时，最小，
即过圆上一点作的平行线，与轴交于一点，该点与点间的距离最大时，最大，该点与点间的距离最小时，最小，
作，使与相切于点，交轴于点，此时最大，
即当点运动到点时，最大，
过点作轴于点，连接，过点作于点，轴于点，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
的最大值为，
过点作轴，交于、两点，过点作交轴于点，此时最小，
当点运动到点时，最小，
过点作于点，连接，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
最小值为 ．
综上，．
故答案为：．
（4）如图，连接，作的垂直平分线交于点，以点为圆心，为半径作，与的垂直平分线交于点，过点作轴的平行线与直线的交点即为所求点，
连接、，过点作于点，作于点，
则，
为的直径，
，
，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，．
13．（2023 淮南一模）如图，已知，是的直径，点为圆上一点．
（1）如图①，将沿弦翻折，交于，若点与圆心重合，，则的半径为 　2　；
（2）如图②，将沿弦翻折，交于，把沿直径翻折，交于点．
（Ⅰ）若点恰好是翻折后的的中点，则的度数为 　　；
（Ⅱ）如图③，连接，若，，求线段的长．
【解答】解：（1）如图①，过点作，垂足为，交圆于点，则，
将沿弦翻折，交于，点与圆心重合，
，
在中，，
，
，
的半径为2，
故答案为：2；
（2）（Ⅰ）如图②，连接、、，
点恰好是翻折后的的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
故答案为：；
（Ⅱ）如图③，连接连接、、，
，，
，，
由（Ⅰ）知，，
又，
与都是等腰三角形，且有公共，
，
，即，
，
．
14．（2023 凤台县校级三模）如图，在中，，点在边上，，经过，，三点，连接并延长交于点，与交于点，连接，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）证明：如图，连接．
，
．
，，
．
是的直径，
，
，
，
，
半径．
是的切线．
（2）解：如图，延长交于点．
是的直径，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
，
．
，
，
，
即，
．
在中，
．
15．（2023 朝阳区校级一模）在半径为2的中，为的直径，点从点出发，顺时针在圆周上以为每秒个单位的速度运动，当点重新回到点处时停止运动，设点的运动时间为秒．
（1）直接写出劣弧的长与的函数关系式；
（2）当，且时求出的值及此时的面积；
（3）过点作交于点，交于点，
①当或者时，求的值；
②当的面积最大时，直接写出的值．
【解答】解：（1）当点在上半部分时，．
当点在下半都分时，．
（2）当时，如图：
，，
，
是的外角，．
，
，
过点作交于，连接，
在中，，
，
；
（3）①当点在上方时，连接，，如图：
，过圆心，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点在上方时，如图：
同理可得，
，
的运动路程为，
，
综上，的值为或；
②由（2）可知为的中点，随的变化而变化，
，
要使最大，即求最大，
过点作交于点，如图：
，为定值，
当最大时，最大，
当点在上方时，，此时与点重合，最大，
，
最大值为，
，
；
当点在下方时，如图：
同理可得的运动路程为，
综上，的值为或．
16．（2023 文成县一模）如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连结．
（1）若，求证：．
（2）若，．
①求的长．
②连结，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连结，若的延长线经过点，且，求的值．
【解答】（1）证明：为直径，
．
在和中，
，
和；
（2）解：①与相切，
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
．
在中，
，
，
；
②若是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ．当时，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，
，
，
，
解得：，
；
Ⅱ．当时，
，
．
．
．
，，
，
，
，
．
由（2）知：，
，
，
．
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或；
（3）解：为圆的直径，
．
在和中，
，
，
，．
，，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
，
．
为的中位线，
，
．
设，则，
．
取的中点，连接，如图，
则为梯形的中位线，
．
，
．
，
，
，
．
17．（2023 拱墅区校级模拟）如图，内接于，连接，，记，，．
（1）证明：；
（2）设与交于点，半径为2，
①若，，求由线段，，弧围成的图形面积；
②若，设，用含的代数式表示线段的长．
【解答】（1）证明：连接，如图，
，，
．
，
．
，
．
；
（2）解：①，，
．
．
，，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
，
．
，
．
过点作于点，如图，
则．
，
．
．
．
，
．
②，，
．
延长，交圆于点，连接，如图，
，
．
，
．
．
过点作于点，则，．
，，
，
．
设，则，
，
．
．
．
解得：．
．
18．（2023 南岗区校级模拟）如图，为的直径，弦与相交于点，弧弧．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数：
（3）在（2）的条件下，点在外，连接、分别交于点和点，点在线段上，连接，且，，若，，求圆的半径长．
【解答】（1）证明：连接，，，
为直径，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
（2）解：取中点，连接，
则为斜边中线，
，
，
，
是等边三角形，
，
答：的度数为．
（3）解：连接，，
在中，，
，
，且，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
连接，设，
则，，
在中，，
，
，
，，
在中，，
在 中，，
．
答：圆的半径长为7．
19．（2023 松北区三模）已知，的弦，交于点，连接，，，交于点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作的直径，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长．
【解答】（1）证明：，，，
，
，
．
（2）证明：如图，连接，
则，
，，
，，
，
，
．
（3）解：设、交于点，连接，，
，，
由（1）知，
，
，
，，
，
，
平分，
点到，的距离相同，设距离均为，
，
，
，
，
设，，，，
如图，过点作，
则，，
由勾股定理可得，，
解得，
，
，
，
，，
．
答：线段的长为4．
20．（2023 姜堰区二模）如图，是的内接三角形，点、分别在直径、弦上，点在线段的延长线上，连接．
（1）请从下列三条信息中选择两条作为补充条件，余下的一条作为结论组成一个真命题，并说明理由．
①；②；③是的切线；
你选择的补充条件是 　①②　，结论是 　　；（填写序号）
（2）在（1）的条件下，若，，，求的半径．
【解答】解：补充条件是①②，结论是③，理由如下：
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）作于，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长是19.5．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/10/3 10:58:39；用户：菁优小艺；邮箱：18778610308；学号：23854719

展开更多......

收起↑