资源简介

2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试 A. BA B. CA C. CB D. AC
数学冲刺卷（一） 6. 方程 f x 2x 3x 4的零点所在的区间为（ ）
本试卷共 4页，22 小题，满分 150 分，考试用时 90 分钟。 1,0 0, 1 1 4 A. B. C. ,1 D. 1,
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、考场号和座位号 2

2 3
写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右
7. 已知扇形的半径为 1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（ ）
上角“条形码粘贴处”。
π π 2π
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需 A. B. C. D. 60
6 3 3
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
8. 把黑、红、白 3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。 9. 要得到函数 y si（n 4x ）的图象，只需要将函数 y sin4x的图象3
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
12 12

一、选择题（本大题共 12小题，每小题 6分，共 72分.在每小题给出的四个选项中，只有 C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位3 3
一项是符合题目要求的） 10. 已知两条直线 l，m与两个平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
1. A 2,0,1, 2 B x∣ 2 x 1 设集合 ， ，则 A B （ ） A. 若 l // ， l m，则m B. 若 / / ，m / / ，则m / /
A. 2 B. 1 C. {-2,0,1} D. 0,1,2 C. 若 l // ，m / / ，则 l //m D. 若 l ， l // ，则
2. 已知角 的终边过点 P 1,2 ，则 tan 等于（ ）
x 2 , x 0,
1 11. 已知函数 f x 则 f f 2 （ ）
A. 2 B. 2 C. D. 1 log 1 x, x 0,
2 2 2
3. 下列函数中是减函数且值域为 R的是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
f (x) 1 f (x) x 1
1
A. B. C. f (x) ln x D. f (x) x3 7
x x 12. a log 1
3
b c log 5已知 3 ， ， 1 ，则 a、b、 c的大小关系为（ ）2 4 3
4. 不等式 2x2 x 15 0的解集为（ ） A. a b c B. a c b
5 5 C. b a c D. c b a
A. x x 3 B. x x 或 x 3
2 2
5 5 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分）
C. x 3 x D. x x 3或 x 2 2 4i13. 已知 i是虚数单位，则复数 的虚部为__________.
1 i
5. 化简： AB OC OB （ ） 14. 函数 y a x 5 1且（ (a 0且 a 1）的图象必经过定点______________．
21. 某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为 2.6公里，收费 10元；若超过 2.6公里的，每公里
15. 如果函数 f x sin x 0 的最小正周期为 ，则 的值为___________.
6 2 按 2.4元收费.
16. 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____． （1）设 A地到 B地的路程为 4.1公里，若搭乘出租车从 A地到 B地，需要付费多少？
17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的 （2）若某乘客搭乘出租车共付费 16元，则该出租车共行驶了多少公里？
质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取___
件.
18. 已知 f x x是定义在 R上的偶函数，当 x≥0时，f x 2 2，则不等式 f x 2的解集是_______；
三、解答题（本大题共 4小题，第 19~21题各 10分，第 22题 12分，共 42分.解答需写出
文字说明，证明过程和演算步骤.）
4
19. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a,b,c，已知 a 6,b 5,cos A
5 22. 如图，在三棱锥 V-ABC中，平面 VAB 平面 ABC, VAB为等边三角形， AC BC ,且
（1）求角 B 的大小；
AC=BC= 2 ,O,M分别为 AB,VA的中点.
（2）求三角形 ABC 的面积.
20. 某大学艺术专业 400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样
的方法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组： 20,30 ， 30,40 ， ， 80,90 ，
并整理得到如下频率分布直方图： (1)求证：VB//平面 MOC；
(2)求三棱锥 V-ABC的体积.
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70的男女生人数相等.试估计总体
中女生的人数.
2024 年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试
数学冲刺卷（一）答案解析
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 6分，共 72分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
A 2,0,1, 2 B x∣ 2 x 11. 设集合 ， ，则 A B （ ）
A. 2 B. 1 C. {-2,0,1} D. 0,1,2
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】解：因为 A 2,0,1, 2 ，B x∣ 2 x 1 ，
所以 A B {-2,0,1}
故选：C
2. 已知角 的终边过点 P 1,2 ，则 tan 等于（ ）
1
A. 2 B. 2 C. D. 1
2 2
【答案】B
【解析】
【分析】由正切函数的定义计算．
【详解】由题意 tan 2 2．
1
故选：B．
3. 下列函数中是减函数且值域为 R的是（ ）
f (x) 1 f (x) x 1A. B. C. f (x) ln x D. f (x) x3
x x
【答案】D
【解析】
【分析】由幂函数及对数函数的图象与性质即可求解.
【详解】解：对 A：函数 f (x)的值域为 ,0 0, ，故选项 A错误；
对 B：函数 f (x)为 , 0 和 0, 上的增函数，故选项 B错误；
ln x, x 0
对 C：函数 f (x) ln x ，所以 f (x)在 0, 上单调递增，在 , 0 上单调递减，故选
ln x , x 0
项 C错误；
对 D：由幂函数的性质知 f (x)为减函数且值域为 R，故选项 D正确；
故选：D.
4. 不等式 2x2 x 15 0的解集为（ ）
5 5
A. x x 3 B. x x 或 x 3 2 2
x 3 x 5 5C. D. x x 3 或 x
2 2


【答案】B
【解析】
【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；
5
【详解】解：依题意可得 2x2 x 15 0，故 2x 5 x 3 0，解得 x 或 x 3，
2
5
所以不等式的解集为 x x 或 x 3
2
故选：B．

5. 化简： AB OC OB （ ）

A. BA B. CA C. CB D. AC
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据向量的线性运算法则，可得 AB OC OB AB (OC OB) AB BC AC .
故选：D.
6. 方程 f x 2x 3x 4的零点所在的区间为（ ）
1,0 0, 1 1 A. B. C. ,1 D. 1,
4
2 2 3
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数 f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.
【详解】因为函数 y 2x 、 y 3x 4均为 R上的增函数，故函数 f x 在 R上也为增函数，
f 1 1 0 f 0 0 f 5因为 ， ， 2 0， f 1 1 0，
2 2
由零点存在定理可知，函数 f x 1 的零点所在的区间为 ,1 .
2
故选：C.
7. 已知扇形的半径为 1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（ ）
π π 2π
A. B. C. D. 60
6 3 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.
60 π π π【详解】易知 ，由扇形弧长公式可得 l 1 .
3 3 3
故选：B
8. 把黑、红、白 3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 不可能事件 D. 必然事件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这 2个事件外，还有事件“丙分得
红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．
【详解】根据题意，把黑、红、白 3张纸牌分给甲、乙、丙三人，
事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，
但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，
则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；
故选： B．
【点睛】本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立，属于基础题.

9. 要得到函数 y si（n 4x ）的图象，只需要将函数 y sin4x的图象
3

A. 向左平移 个单位
12

B. 向右平移 个单位
12

C. 向左平移 个单位
3

D. 向右平移 个单位3
【答案】B
【解析】
【详解】因为函数 y sin 4x

sin[4(x )]

，要得到函数 y sin
3 12
4x 的图象，只需要将函
3
数 y sin4x 的图象向右平移 个单位．
12
本题选择 B选项.
点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取 x的系数，进行周期变换时，需要将 x的系数变为原来的ω倍，
要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．
10. 已知两条直线 l，m与两个平面 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 l // ， l m，则m
B. 若 / / ，m / / ，则m / /
C. 若 l // ，m / / ，则 l //m
D. 若 l ， l // ，则
【答案】D
【解析】
【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.
由 l // ，过 l作平面 ，有 m，利用线面平行的性质定理得到得到 l //m，再利用面面垂直的判定
定理判断.
【详解】A.若 l // ， l m，则m / / ,m 或m, 相交，故错误；
B.若 / / ，m / / ，则m / / 或m ，故错误；
C.若 l // ，m / / ，则 l //m，l，m相交或异面，故错误；
D.若 l // ，过 l作平面 ，有 m，则 l //m，
因为 l ，所以m ，又m ，则 ，故正确.
故选：D
2
x , x 0,
11. 已知函数 f x log x, x 0,则 f f 2 （ ）
1 2
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】先根据分段函数求出 f 2 ，再根据分段函数，即可求出结果.
1
【详解】因为 f 2 2 2 ，
4
所以 f f 2 f 1 1 log 1 2 .
4 2 4
故选：D.
1
7
12. 已知 a log ，b 1
3 c log1 5
3 a c ， ，则 、b、 的大小关系为（ ）2 4 3
A. a b c B. a c b C. b a c D. c b a
【答案】A
【解析】
【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出 a、b、 c的大小关系.
1 0
【详解】因为 a log 7 1 3 1 c log 5 log 1 03 log3 3 1，2 0 b
1 1 1， ，
4 4 3 3
因此， a b c .
故选：A.
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 6分，共 36分.
4i
13. 已知 i是虚数单位，则复数 的虚部为__________.
1 i
【答案】 2
【解析】
【分析】先把复数化简为 2 2i，再根据虚部定义得出即可.
4i 4i 1 i 4i 1 i= 4i
2 4i
【详解】 2 2 2i ,1 i 1 i 1 i 1 i 2
则复数的虚部为 2 .
故答案为: 2 .
14. 函数 y a x 5 1且（ (a 0且 a 1）的图象必经过定点______________．
【答案】 (5,2)
【解析】
【分析】由指数函数的性质分析定点
【详解】令 x 5 0，得 x 5，此时 y 2
故过定点 (5,2)

15. 如果函数 f x sin x

0

的最小正周期为 ，则 的值为______________.
6 2
【答案】4
【解析】
2
【分析】根据正弦型函数的周期计算公式T 即可求解.

T 2
2 2
4
【详解】 ，∴ T . 2
故答案为：4.
16. 已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____．
【答案】 48π .
【解析】
【分析】先由球的表面积为 48π求出球的半径，然后由圆柱的侧面积公式算出即可
【详解】因为球的表面积 S 4πR2 48π
所以 R=2 3
所以圆柱的底面直径与高都为 4 3
所以圆柱的侧面积： 2π 2 3 4 3=48π
故答案为： 48π
【点睛】本题考查的是空间几何体表面积的算法，较简单.
17. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件，为检验产品的质量，
现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.
【答案】18
【解析】
300
【详解】应从丙种型号的产品中抽取60 18件，故答案为 18．
1000
点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体
数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即 ni∶Ni＝n∶N．
18. 已知 f x 是定义在 R上的偶函数，当 x≥0时， f x 2x 2，则不等式 f x 2的解集是_______；
【答案】 2,2
【解析】
【分析】判断函数当 x 0时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．
x
【详解】∵当 x≥0时， f x 2 2，
∴偶函数 f x 在[0,＋∞)上单调递增，且 f 2 =2，
所以 f x 2，即 f x f 2 ，
∴ x 2，解得 2 x 2 .
故答案为： 2,2 .
三、解答题：本大题共 4小题，第 19~21题各 10分，第 22题 12分，共 42分.解答需写出文
字说明，证明过程和演算步骤.
a,b,c a 6,b 5,cos A 419. 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 ，已知
5
（1）求角 B 的大小；
（2）求三角形 ABC 的面积.
0 S 9 3 12【答案】（1）B=30 （2） ABC 2
【解析】
3
【详解】分析：（1）由同角三角函数关系先求 sin A ，由正弦定理可求 sinB的值，从而可求 B的值；
5
（2）先求得 sinC sin A B sin A 30 的值，代入三角函数面积公式即可得结果.
详解：(1)由正弦定理
3
又 ∴B为锐角 sinA= , 由正弦定理 B=300
5
(2) sinC sin A B sin A 30
,
∴
S 1 absinC 9 3 12 ABC 2 2
点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进
行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正
余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记
于心.
20. 某大学艺术专业 400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方
法从中随机抽取了 100名学生，记录他们的分数，将数据分成 7组： 20,30 ， 30,40 ， ， 80,90 ，
并整理得到如下频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的 70%分位数；
（2）已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70的男女生人数相等.试估计总体中女
生的人数.
【答案】（1）77.5；（2）160 (人).
【解析】
【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；
（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于 70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最
后求出总体中女生的人数.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70的频率为 0.02 0.04 10 0.6，
从而有：样本中分数小于 70的频率为1 0.6 0.4，
又由频率分布直方图可得：样本中分数小于 80的频率为 0.8，
所以样本数据的 70%分位数必定位于 70,80 之间.
70 10 0.7 0.4计算为： 77.5
0.8 0.4
所以其分数的样本数据的 70%分位数估计值为 77.5.
（2）由题知，样本中分数不小于 70的学生人数为 0.02 0.04 10 100 60，
从而有，样本中分数不小于 70的男生人数为60 1 30，
2
进而得，样本中的男生人数为30 2 60，女生人数为100 60 40，
40
所以总体中女生人数为 400 160 (人).
100
21. 某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为 2.6 公里，收费 10 元；若超过 2.6 公里的，每公里按
2.4元收费.
（1）设 A地到 B地的路程为 4.1公里，若搭乘出租车从 A地到 B地，需要付费多少？
（2）若某乘客搭乘出租车共付费 16元，则该出租车共行驶了多少公里？
【答案】（1）13.6元
（2）5.1公里
【解析】
【分析】（1）设出租车行驶 x公里，根据题设写出付费额 f (x)的分段函数形式，进而求从 A地到 B地需要
的付费；
（2）由题意出租车行驶公里数 x 2.6，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数.
【小问 1详解】
10,0 x 2.6
设出租车行驶 x公里，则付费额 f (x) ，
10 2.4(x 2.6), x 2.6
所以 f (4.1) 10 2.4 (4.1 2.6) 13.6元.
【小问 2详解】
由题意，出租车行驶公里数 x 2.6，
令10 2.4(x 2.6) 16，则 x 5.1公里.
22. 如图，在三棱锥 V-ABC中，平面 VAB 平面 ABC, VAB为等边三角形，AC BC ,且 AC=BC= 2 ,O,M
分别为 AB,VA的中点.
(1)求证：VB//平面 MOC；
(2)求三棱锥 V-ABC的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2 3） ．
3
【解析】
【详解】试题分析：（1）要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，
注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；（2）要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中
有面面垂直，由此易得VO与底面 ABC垂直，因此VO就是高，求出其长，及 ABC面积，可得体积．
试题解析：（1）证明： 点 O,M分别为 AB,VA的中点
OM / /VB又 OM 平面MOC,VB 平面MOC VB / /平面MOC
(2)解：连接 VO，则由题知 VO 平面 ABC, VO为三棱锥 V-ABC的高.
又 S 1 ABC 2 2 1，VO 32
V 1 1 3 V ABC S ABC .VO 1 3 3 3 3
考点：线面平行的判断，体积．

展开更多......

收起↑