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八上期末满分冲刺之填空压轴
一．一元一次不等式的整数解（共1小题）
1．若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是 　 　．
二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
2．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是　 　．
三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
3．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝　 　．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP'，连接CP'，则线段CP'的最小值为 　 　．
5．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　．
四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
6．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为 　 　．
五．三角形内角和定理（共1小题）
7．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 　 　°．
六．全等三角形的判定与性质（共3小题）
8．等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 　 　．
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连结BF，延长FE至点G，使FG＝FA．若△ABF的面积为6，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是 　 　．
10．如图，已知点A（2，2），点B在y轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，AB⊥AC，且AB＝AC．则OC﹣OB的值为 　 　．
七．角平分线的性质（共2小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45°，AC＝6，点D在AC上，过点D作AC的垂线，分别交射线BC，线段AB于点E，F，连结CF，CF恰好平分∠ACB，则线段BE的长是 　 　．
12．如图，∠AOB＝30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE＝OP＝6，则△ODE的面积为 　 　．
八．勾股定理（共2小题）
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠B＝30°，AE＝1．
（1）BE的长为 　 　；
（2）在△ABC的腰上取一点M，当△DEM是等腰三角形时，BM长为 　 　．
14．如图四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，AB＝AD，BC+CD＝12，则四边形ABCD面积为 　 　．
九．作图—基本作图（共1小题）
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于线段AC长度一半的长为半径作弧，相交于点F，G，作直线FG，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝5，AC＝13，则△ABE的周长为 　 　．
一十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，2），B是x轴上一点．以AB为腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC＝Rt∠，连结OC，则AC+OC的最小值为 　 　．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
17．如图，以长方形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，BC＝5，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段AF沿y轴正半轴向上平移，得到线段A'F'，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则F'的坐标是 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论①∠EAF＝45°；②FC＝BE；③EC＝3BE；④FC＝（﹣1）AE．正确的是 　 　．
19．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是 　 　．
20．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．当点O′在直线AB上时，OP的长为 　 　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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一．一元一次不等式的整数解（共1小题）
1．若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是 　 　．
二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
2．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是　 　．
三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
3．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝　 　．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP'，连接CP'，则线段CP'的最小值为 　 　．
5．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　 　．
四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
6．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为 　 　．
五．三角形内角和定理（共1小题）
7．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 　 　°．
六．全等三角形的判定与性质（共3小题）
8．等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 　 　．
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连结BF，延长FE至点G，使FG＝FA．若△ABF的面积为6，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是 　 　．
10．如图，已知点A（2，2），点B在y轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，AB⊥AC，且AB＝AC．则OC﹣OB的值为 　 　．
七．角平分线的性质（共2小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45°，AC＝6，点D在AC上，过点D作AC的垂线，分别交射线BC，线段AB于点E，F，连结CF，CF恰好平分∠ACB，则线段BE的长是 　 　．
12．如图，∠AOB＝30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE＝OP＝6，则△ODE的面积为 　 　．
八．勾股定理（共2小题）
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠B＝30°，AE＝1．
（1）BE的长为 　 　；
（2）在△ABC的腰上取一点M，当△DEM是等腰三角形时，BM长为 　 　．
14．如图四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，AB＝AD，BC+CD＝12，则四边形ABCD面积为 　 　．
九．作图—基本作图（共1小题）
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于线段AC长度一半的长为半径作弧，相交于点F，G，作直线FG，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝5，AC＝13，则△ABE的周长为 　 　．
一十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，2），B是x轴上一点．以AB为腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC＝Rt∠，连结OC，则AC+OC的最小值为 　 　．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
17．如图，以长方形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，BC＝5，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段AF沿y轴正半轴向上平移，得到线段A'F'，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则F'的坐标是 　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论①∠EAF＝45°；②FC＝BE；③EC＝3BE；④FC＝（﹣1）AE．正确的是 　 　．
19．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是 　 　．
20．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．当点O′在直线AB上时，OP的长为 　 　．
2023年12月25日微信用户的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．一元一次不等式的整数解（共1小题）
1．若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是 　﹣2≤m＜﹣1　．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式共有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组解得m的范围．
【解答】解：解不等式2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，
根据题意得：3＜2﹣m≤4，
解得：﹣2≤m＜﹣1．
故答案为：﹣2≤m＜﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2﹣m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
二．一元一次不等式组的整数解（共1小题）
2．已知关于x的不等式组恰好有2个整数解，则整数a的值是　﹣4，﹣3　．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】表示出不等式组的解集，由解集中恰好有2个整数解，确定出整数a的值即可．
【解答】解：不等式组，
由①得：ax＜﹣4，
当a＜0时，x＞﹣，
当a＞0时，x＜﹣，
由②得：x＜4，
又∵关于x的不等式组恰好有2个整数解，
∴不等式组的解集是﹣＜x＜4，即整数解为2，3，
∴1≤﹣＜2（a＜0），
解得：﹣4≤a＜﹣2，
则整数a的值为﹣4，﹣3，
故答案为：﹣4，﹣3．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确表示出不等式组的解集是本题的突破点．
三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）
3．如图，直线l的函数表达式为y＝x﹣1，在直线l上顺次取点A1（2，1），A2（3，2），A3（4，3），A4（5，4），…，An（n+1，n），构成形如“”的图形的阴影部分面积分别表示为S1，S2，S3，…，Sn，则S2021＝　4044　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：图形的变化类；一次函数的性质．
【分析】分别求出S1，S2，S3，S4的值，得出规律，根据规律即可求解．
【解答】解：由题意得：S1＝2×3﹣2×1＝4＝2×（1+1），
S2＝4×3﹣2×3＝6＝2×（2+1），
S3＝5×4﹣4×3＝8＝2×（3+1），
S4＝6×5﹣5×4＝10＝2×（4+1），

∴Sn＝2（n+1），
∴S2021＝2×（2021+1）＝4044．
故答案为：4044．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP'，连接CP'，则线段CP'的最小值为 　　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转；一次函数的性质．
【分析】由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
【解答】解：由已知可得A（0，2），B（2，0），
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（1，1），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∵P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝OB＝2，AB＝2，
∴NB＝2﹣2，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB＝2﹣，
∴CP'＝OB﹣BH﹣2＝2﹣（2﹣）﹣1＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
5．如图，直线AB的解析式为y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为 （3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则点D的坐标为　（4，3）或（3，4）　．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；全等三角形的判定；一次函数的性质．
【分析】求出B（0，3）、点C（﹣1，0），分当BD平行x轴、BD不平行x轴两种情况，分别求解即可．
【解答】解：将点A的坐标代入函数表达式得：0＝﹣3+b，
解得：b＝3，故直线AB的表达式为：y＝﹣x+3，
则点B（0，3），OB：OC＝3：1，则OC＝1，
即点C（﹣1，0）；
①如图，当BD平行x轴时，
点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，则四边形BDAC为平行四边形，
则BD＝AC＝1+3＝4，则点D（4，3），
②当BD不平行x轴时，
则S△ABD＝S△ABD′，则点D、D′到AB的距离相等，
则直线DD′∥AB，
设：直线DD′的表达式为：y＝﹣x+n，
将点D的坐标代入上式并解得：n＝7，
直线DD′的表达式为：y＝﹣x+7，
设点D′（n，7﹣n），
A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，
则BD′＝BC＝＝，
解得：n＝3，
故点D′（3，4）；
故答案为：（4，3）或（3，4）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，涉及到三角形全等、平行线的性质、勾股定理的运用等，并注意分类求解，题目难度较大．
四．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
6．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为 　﹣2＜x＜2　．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】先将点P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y＝2x+m落在y＝﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，
∴P（2，﹣4），
又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．
故答案为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．
五．三角形内角和定理（共1小题）
7．如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC＝2PB，已知∠ABC＝45°，∠APC＝60°，则∠ACB的度数是 　75　°．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DCP＝30°，求证PB＝PD；再根据三角形外角性质求证BD＝AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD＝DC，∠ACD＝45°从而求出∠ACB的度数．
【解答】解：过C作AP的垂线CD，垂足为点D．连接BD；
∵△PCD中，∠APC＝60°，
∴∠DCP＝30°，PC＝2PD，
∵PC＝2PB，
∴BP＝PD，
∴△BPD是等腰三角形，∠BDP＝∠DBP＝30°，
∵∠ABP＝45°，
∴∠ABD＝15°，
∵∠BAP＝∠APC﹣∠ABC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABD＝∠BAD＝15°，
∴BD＝AD，
∵∠DBP＝45°﹣15°＝30°，∠DCP＝30°，
∴BD＝DC，
∴△BDC是等腰三角形，
∵BD＝AD，
∴AD＝DC，
∵∠CDA＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝∠DCP+∠ACD＝75°，
故答案为：75．
【点评】此题主要考查学生三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，综合性较强，有一定的拔高难度，属于难题．
六．全等三角形的判定与性质（共3小题）
8．等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 　3或．　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】分两种情况，先证明△CAE≌△BAD（SAS），再根据全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：如图，E点在AD的右边，
∵△ADE与△ABC都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，
即∠CAE＝∠BAD．
在△CAE和△BAD中，
，
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD＝2，
∵BD＝2CD，
∴CD＝1，
∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，
∴等边三角形ABC的边长为3，
如图，E点在AD的左边，
同上，△BAE≌△CAD（SAS），
∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠EBD＝120°，
过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，
∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，
∴CF＝BF+BD+CD＝CD，
在Rt△EFC中，CE＝2，
∴EF2+CF2＝CE2＝4，
∴+＝4，
∴CD＝或CD＝﹣（舍去），
∴BC＝，
∴等边三角形ABC的边长为，
故答案为：3或．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明△CAE≌△BAD是解题的关键．
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连结BF，延长FE至点G，使FG＝FA．若△ABF的面积为6，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是 　　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】首先利用SAS证明△ACD≌△CBE，再证明△AFG是等边三角形，推出EG：GF＝2：5，可得结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠CBA＝60°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝60°，
∴∠AFG＝∠CAD+∠ACE＝60°，
∵FG＝FA，
∴△AFG是等边三角形，
∴AF＝FG，
∵AF：EF＝5：3，
∴FG：EF＝5：3，
∴EG：FG＝2：5，
∴S△AEG：S△AFG＝2：5，
∵∠GAF＝∠CAB＝60°，
∴∠GAB＝∠FAC，
∵AG＝AF，AB＝AC，
∴△GAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABG＝∠ACE，
∵∠AEC＝∠BEG，
∴∠BGE＝∠CAE＝60°，
∴∠AFG＝∠BGE＝60°，
∴AF∥BG，
∴S△AFG＝S△ABF＝6，
∴S△AEG＝×6＝．
故答案为：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
10．如图，已知点A（2，2），点B在y轴的负半轴上，点C在x轴正半轴上，AB⊥AC，且AB＝AC．则OC﹣OB的值为 　4　．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定与性质；坐标与图形性质．
【分析】过点A作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，先判断出四边形ADOE为正方形，得出OD＝OE＝2，∠DAE＝90°，进而判断出△ADB≌△AEC（SAS），得出BD＝CE，即可求出答案．
【解答】解：如图，
过点A作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，
∴AD＝AE＝2，∠ADO＝∠AEO＝90°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠ADO＝∠AEO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ADOE为正方形，
∴OD＝OE＝2，∠DAE＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AB＝AC，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD＝CE，
∴OC﹣OB＝OE+CE﹣OB＝OE+BD﹣OB＝OE+OB+OD﹣OB＝OE+OD＝4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
七．角平分线的性质（共2小题）
11．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC＝45°，AC＝6，点D在AC上，过点D作AC的垂线，分别交射线BC，线段AB于点E，F，连结CF，CF恰好平分∠ACB，则线段BE的长是 　3﹣3　．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过F点作FH⊥CE于H点，过A点作AG⊥CB于G点，如图，先利用三角形内角和定理计算出∠ACB＝60°，在Rt△ACG中可计算出CG＝3，AG＝3，再利用∠ABG＝45°得到BG＝AG＝3，接着根据角平分线的性质得到FD＝FH，∠FCH＝∠FCD＝30°，加上BH＝FH，设BH＝x，则FH＝FD＝x，接着表示出CD＝CH＝x，于是得到方程x+x＝3+3，解得x＝3，然后在Rt△CDE中计算出CE＝6，最后计算CE﹣CB即可．
【解答】解：过F点作FH⊥CE于H点，过A点作AG⊥CB于G点，如图，
∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝60°，
在Rt△ACG中，CG＝AC＝3，
∴AG＝CG＝3，
∵∠ABG＝45°，
∴BG＝AG＝3，
∴BC＝CG+BG＝3+3，
∵CF恰好平分∠ACB，FD⊥CA，FH⊥CB，
∴FD＝FH，∠FCH＝∠FCD＝30°，
∵∠FBH＝45°，
∴BH＝FH，
设BH＝x，则FH＝FD＝x，
在Rt△CDF中，CD＝x，
在Rt△CHF中，CH＝x，
∵BC＝CH+BH，
∴x+x＝3+3，
解得x＝3，
∴CD＝3，
在Rt△CDE中，∵∠DCE＝60°，
∴CE＝2CD＝6，
∴BE＝CE﹣CB＝6﹣（3+3）＝3﹣3．
故答案为：3﹣3．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．通过作高构建含30度的直角三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
12．如图，∠AOB＝30°，点D为∠AOB平分线OC上一点，OD的垂直平分线交OA，OB分别于点P，Q，点E是OA上异于点P的一点，且DE＝OP＝6，则△ODE的面积为 　9+9　．
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】连接PD，过点D作DF⊥OA，垂足为F，根据线段垂直平分线的性质可得OP＝PD，从而可得∠POD＝∠PDO，再利用角平分线的定义可得∠POD＝∠DOQ，从而可得∠PDO＝∠DOQ，进而可得PD∥OQ，然后利用平行线的性质可得∠FPD＝∠AOB＝30°，再在Rt△PDF中，利用含30度角的直角三角形的性质可得DF＝PD＝3，PF＝DF＝3，最后再利用等腰三角形的三线合一性质可得EP＝2PF＝6，从而可得OE＝6+6，进而利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【解答】解：连接PD，过点D作DF⊥OA，垂足为F，
∵PQ是OD的垂直平分线，
∴OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO，
∵OD平分∠AOB，
∴∠POD＝∠DOQ，
∴∠PDO＝∠DOQ，
∴PD∥OQ，
∴∠FPD＝∠AOB＝30°，
∵DE＝OP＝6，
∴OP＝PD＝DE＝6，
在Rt△PDF中，∠FPD＝30°，
∴DF＝PD＝3，PF＝DF＝3，
∵DP＝DE，DF⊥PE，
∴EP＝2PF＝6，
∴OE＝OP+PE＝6+6，
∴△ODE的面积＝OE DF
＝×（6+6）×3
＝9+9，
故答案为：9+9．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
八．勾股定理（共2小题）
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E．若∠B＝30°，AE＝1．
（1）BE的长为 　3　；
（2）在△ABC的腰上取一点M，当△DEM是等腰三角形时，BM长为 　3﹣或　．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得AB＝2AD＝2AE，便可求得结果；
（2）分两种情况：M点在AB边上时；M点在AC边上时；分别求得BM便可．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC于点D，∠B＝30°，
∴AB＝2AD，∠DAE＝60°，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝2，
∴AB＝2AD＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣1＝3，
故答案为：3；
（2）当点M在AB边上时，如图1，
∵DE⊥AB，
∵△DEM是等腰三角形，
∴DE＝EM，
∵DE＝，
∴EM＝，
∴BM＝BE﹣EM＝3﹣；
当点M在AC边上时，
若DM⊥AC，如图2，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB于点E，
∴DE＝DM＝，
此时△DEM为等腰三角形，
过点M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，
∵DE＝DM，AD＝AD，
由勾股定理知，AE＝AM＝1，
∵∠MAN＝∠B+∠C＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝，
∴MN＝，
∴BM＝＝，
若DE＝EM＝，如图3，
过点E作EF⊥AC，与CA的延长线交于点F，则∠EAF＝∠B+∠C＝60°，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝AE＝，
∴，
∴MF＝，
∴AM＝1，
再过M作MN⊥AB，与BA的延长线交于点N，
∵∠MAN＝∠B+∠C＝60°，
∴∠AMN＝30°，
∴AN＝AM＝，
∴MN＝，
∴BM＝＝，
若MD＝ME，如图4，
过点M作MP⊥DE于点P，与BD交于点Q，
∴EP＝PD＝，MQ∥AB，
∴∠MQC＝∠B＝30°，
∴DQ＝2PD＝，
∵CD＝BD＝，
∴CQ＝CD+DQ＝3，
∵∠MQC＝∠C＝30°，
∴MQ＝MC，
过M作MH⊥CQ于H，
∴QH＝CH＝，QM＝2MH，
∵QM2﹣MH2＝QH2，
∴，
∴，
∴＝＝；
综上，BM＝3﹣或，
故答案为：3﹣或．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，构造直角三角形和分情况讨论是解题的关键．
14．如图四边形ABCD中，AB⊥AD，CB⊥CD，AB＝AD，BC+CD＝12，则四边形ABCD面积为 　36　．
【考点】勾股定理；等腰直角三角形．
【分析】连接BD，在Rt△BCD中，已知BC，CD的长，运用勾股定理可求出BD的长，在Rt△ABD中，根据AB＝AD，运用勾股定理逆定理，可得BD2＝2AB2，进而得出AB2＝BD2＝＝x2﹣12x+72，故四边形ABCD的面积为Rt△ABD与Rt△CBD的面积之和
【解答】解：连接BD，
设BC＝x，则CD＝12﹣x
∵BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴BD2＝BC2+CD2＝x2+（12﹣x）2＝2x2﹣24x+144，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴BA2+AD2＝BD2，
∵BA＝AD，
∴BD2＝2AB2，
∴AB2＝BD2＝＝x2﹣12x+72，
∴S△ABD＝AB AD＝AB2
∴S△ABD＝，
∵S△BCD＝BC CD＝＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝＝36．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△CBD的形状是解答此题的关键．
九．作图—基本作图（共1小题）
15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于线段AC长度一半的长为半径作弧，相交于点F，G，作直线FG，与AC，BC分别交于D，E，连结AE，若AB＝5，AC＝13，则△ABE的周长为 　17　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】利用基本作图可判断GF垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，再利用勾股定理计算出BC，然后利用等线段代换得到△ABE的周长＝AB+BC．
【解答】解：由作法得GF垂直平分AC，
∴EA＝EC，
Rt△ABC中，∵∠B＝90°，
∴BC＝＝＝12，
∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5+12＝17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
一十．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，2），B是x轴上一点．以AB为腰，作等腰直角三角形ABC，∠ABC＝Rt∠，连结OC，则AC+OC的最小值为 　2　．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；等腰直角三角形．
【分析】作CD⊥x轴于点D，可证明△BDC≌△AOB，得DB＝OA＝2，DC＝OB，设B（m，0），则C（m+2，m），可证明点C在直线y＝x﹣2上运动，作点O关于直线y＝x﹣2的对称点H，连接OH交EF于点G，则G（1，﹣1），H（2，﹣2），连接AH交EF于点L，连接OL、HC，则OL＝HL，OC＝HC，因为AC+OC＝AC+HC≥AH，所以当点C与点L重合时，AC+OC＝AH，此时AC+OC的值最小，因为AH＝2，AC+OC的最小值为2．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴于点D，则∠BDC＝∠AOB＝90°，
∵BC＝AB，∠ABC＝90°，
∴∠DBC＝∠OAB＝90°﹣∠ABO，
在△BDC和△AOB中，
，
∴△BDC≌△AOB（AAS），
∵A（0，2），
∴DB＝OA＝2，DC＝OB，
设B（m，0），则D（m+2，0），
∴C（m+2，m），
当x＝m+2时，则y＝m＝x﹣2，
∴C（x，x﹣2），
∴点C在直线y＝x﹣2上运动，
设直线y＝x﹣2交x轴于点F，交y轴于点E，
当x＝0时，y＝﹣2，
当y＝0时，则x﹣2＝0，解得x＝2，
∴E（0，﹣2），F（2，0），
∴OE＝OF＝2，
作点O关于直线y＝x﹣2的对称点H，连接OH交EF于点G，
∵直线EF垂直平分OH，
∴G为线段EF的中点，
∴G（1，﹣1），H（2，﹣2），
连接AH交EF于点L，连接OL、HC，则OL＝HL，OC＝HC，
∴AL+OL＝AH，AC+OC＝AC+HC，
∵AC+OC＝AC+HC≥AH，
∴当点C与点L重合时，AC+OC＝AC+HC＝AL+OL＝AH，此时AC+OC的值最小，
∵AH＝＝2，
∴AC+OC的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求出点C运动路径的解析式是解题的关键．
一十一．翻折变换（折叠问题）（共4小题）
17．如图，以长方形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，BC＝5，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，点D恰好落在BC边上，记为点F．若线段AF沿y轴正半轴向上平移，得到线段A'F'，连结OF'．若△OA'F'是等腰三角形，则F'的坐标是 　（4，2）或（4，3）或（4，）　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．
【分析】根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF＝AD＝5，EF＝DE，进而求出BF的长，然后分三种情况讨论：若A'O＝A'F'，OF'＝F'A'，A'O＝OF'，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°，
由折叠对称性：AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝＝4，
如图，由平移可知：AF∥A′F′，AF＝A′F′，
∴四边形AA′F′F是平行四边形，
∴AA′∥FF′，AA′＝FF′，
∴FF′⊥BC，
如图，过点F'作F'H⊥AB于H，
∴∠F′HB＝∠F′FB＝∠ABC＝90°，
∴四边形HBFF′是矩形，
∴FH′＝BF＝4，
∴F′的横坐标为4，
分三种情况讨论：
若A'O＝A'F'＝OC＝5，
∴A'H＝＝＝3，
∴OH＝A′O﹣A′H＝2，
∴F'的坐标是（4，2）；
若OF'＝F'A'＝5，
∵F'H⊥AB，F'H＝4，
∴A'H＝OH＝3，
∴F'的坐标是（4，3）；
若A'O＝OF'，
在Rt△OHF中，OF'2＝OH2+HF'2，
设AA′＝m，
∴FF′＝OH＝AA′＝m，
∴A'O＝OF'＝m+3，
∴（m+3）2＝m2+16，
解得：m＝，
∴F'的坐标是（4，）；
综上所述，若△OA'F'是等腰三角形，F'的坐标是（4，2）或（4，3）或（4，），
故答案为：（4，2）或（4，3）或（4，）．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，坐标与图形变换﹣对称，平移，利用分类讨论思想是解本题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C′处，两条折痕与斜边BC分别交于E，F．以下四个结论①∠EAF＝45°；②FC＝BE；③EC＝3BE；④FC＝（﹣1）AE．正确的是 　①③④　．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C'处，可得∠BAE＝∠EAD＝∠BAD，∠CAF＝∠DAF＝∠DAC，即得∠EAF＝∠BAC＝45°，可判断①正确，由∠BAC＝90°，∠C＝30°，得∠B＝60°＝∠BDA＝∠C'DF，∠C'＝30°，即知△ABD是等边三角形，∠C'FD＝90°，设DF＝m，则C'D＝2m，C'F＝m＝CF，而∠DAC＝30°＝∠C，有AD＝CD＝（+1）m＝BD，即得BE＝DE＝BD＝m，可判断②错误，又CE＝CD+DE＝3m可判断③正确，根据∠AEC＝90°，∠C＝30°，得AE＝CE＝CEm，可判断④正确．
【解答】解：∵将边AB沿着AE翻折，使点B落在BC上的点D处，再将边AC沿着AF翻折，使得C落在AD延长线上的点C'处，
∴∠BAE＝∠EAD＝∠BAD，∠CAF＝∠DAF＝∠DAC，
∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝（∠BAD+∠DAC）＝∠BAC＝×90°＝45°，故①正确，
∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴∠B＝60°＝∠BDA＝∠C'DF，∠C'＝30°，
∴△ABD是等边三角形，∠C'FD＝90°，
设DF＝m，则C'D＝2m，C'F＝m＝CF，
∴CD＝（+1）m，
∵∠BDA＝60°，∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°＝∠C，
∴AD＝CD＝（+1）m＝BD，
∴BE＝DE＝BD＝m，
而CF＝m，
∴CF≠BE，故②错误，
∵CD＝（+1）m，BE＝DE＝m，
∴CE＝CD+DE＝m＝3BE，③正确；
∵∠AEC＝90°，∠C＝30°，
∴AE＝CE＝×m＝m＝
∴（ ﹣1）AE＝（﹣1）×（m＝m，
∴FC＝（﹣1）AE，故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】本题考查图形的折叠，熟练掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系是解题的关键．
19．如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，则AB2﹣AC2的值是 　8　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【分析】由折叠的性质可得∠ADC＝∠ADE＝90°，由∠C＝45°，∠B＝30°，AD＝2，可得，可求AB2﹣AC2的值．
【解答】解：∵将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处，
∴∠ADC＝∠ADE＝90°，
∵∠C＝45°，AD＝2，
∴，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝2×2＝4，
∴，
故答案为：8．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
20．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，点P在直线OA上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′．当点O′在直线AB上时，OP的长为 　4﹣4或4+4　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．
【分析】分类讨论点O′落在线段AB上，点O'落在AB延长线上，结合图形，根据翻折的性质求解．
【解答】解：如图，点O′落在线段AB上，
∵OA＝OB＝4，
∴△ABO为等腰直角三角形，∠BAO＝45°，
∴，
由折叠可得BO'＝BO＝4，PO′⊥AB，
∴，
如图，点O′落在AB延长线上，
由翻折可得BO′＝BO＝4，
∴，
∵∠BAO＝45°，PO'⊥AB，
∴△APO′为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：4﹣4或4+4．
【点评】本题考查图形的折叠问题，勾股定理，解题关键是通过分类讨论，结合图形求解．
考点卡片
1．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
2．一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
3．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
5．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
6．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
7．一次函数与一元一次不等式
（1）一次函数与一元一次不等式的关系
从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；
从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）
对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．
当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；
当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．
8．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
9．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
10．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
11．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
12．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
13．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
14．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
15．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
16．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
17．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
18．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
19．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
20．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
21．正方形的判定与性质
（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．
（2）正方形的判定
正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．
22．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
23．坐标与图形变化-对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m﹣a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n﹣b）
24．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
25．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
26．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
27．坐标与图形变化-旋转
（1）关于原点对称的点的坐标
P（x，y） P（﹣x，﹣y）
（2）旋转图形的坐标
图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
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