资源简介

立体几何
一、知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.平面的基本性质
（1）三个性质
如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内．
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线
不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面
（2）三个结论．
直线与这条直线外的一点可以确定一个平面
两条相交直线可以确定一个平面
两条平行直线可以确定一个平面
2.异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
3.直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线与平面平行，记作∥.
（2）直线与平面平行的判定
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
（3）直线与平面平行的性质
如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.
4.平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．
平面与平面平行，记做∥．
（2）平面与平面平行的判定
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
（3）平面与平面平行的性质
如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．
5.直线与平面垂直的判定与性质
1.直线与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．
2.直线和平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
6.面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．
2.平面与平面垂直的性质
7.空间两条直线所成的角
1.定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角
2.范围：
3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
8.直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
9.平面与平面所成的角
（1）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（2）二面角的平面角
过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角
（3）二面角的范围
二面角取值范围是．
四、常考题型探究
考点一 文字语言、符号语言和图形语言的相互转化
例1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内，
表示为：，，．故选B.
例2．如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．
【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A．
【变式探究】1. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　B　)
A．A∈l，l α　　　 B．A∈l，l α C．A l，l α　　 D．A l，l α
考点二 线线位置关系的判断
例3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　C　)
A．3条　 B．4条　　
C．6条　 D．8条
[解析]　与AC1异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条．
例4．下列说法中正确的是(　B　)
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
[解析]　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．
【变式探究】1. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线 B．相交直线
C．异面直线 D．无法判断位置关系
【答案】C
【解析】作出正四面体，如图，

因为平面，平面，，平面，
所以与是异面直线.故选：C.
2. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
【答案】D
【解析】垂直于同一条直线的两条直线有可能平行，也有可能相交于一点，也有可能异面．故选：D．
考点三 线面位置关系的判断
例5. 若直线是平面的一条斜线，则在平面内与垂直的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有无数条
C．有且只有两条 D．不存在
【答案】B
【解析】如图设斜线与平面交于点，在平面内过点作直线，
则在平面内所有与直线平行的直线均与直线垂直，
故在平面内与垂直的直线有无数条.故选：B
例6. 已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为 .
【答案】
【解析】根据面面平行的性质即可判断.
【详解】若，则与没有公共点，
，则与没有公共点，故.
故答案为：.
【变式探究】1. 如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（ ）
A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行
【答案】B
【分析】根据正方体性质判断直线与面的位置关系即可.
【详解】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直.
故选：B
2. 过平面外一点，能做（ ）条直线与平面平行.
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】D
【分析】根据线面平行的定义判断可得；
【详解】解：过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，这些直线在与这个平面平行的平面内
故选：D
考点四 线面平行的判定和性质
例7. 已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（　　）
A．存在一条直线b，a//b且b α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a β且α//β
D．存在一个平面β，a//β且α//β
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定方法，结合选项可得答案.
【详解】在A，B，D中，均有可能a α，错误；
在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线都平行于另一平面.
故选：C．
例8. 在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面
【答案】D
【分析】由线面线线的位置关系可得答案.
【详解】直线∥面，直线平面，可知，m与n平行或异面．
故选：D
【变式探究】1. 下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
【答案】C
【分析】根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.
【详解】对A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故A错误；
对B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；
对C，能推出与平行；
对D，当直线在平面内时，与不平行.
故选：C.
2. 已知直线l∥平面α，l 平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面
【答案】B
【分析】根据直线l∥平面α，l 平面β，α∩β=m，结合直线与平面平行的性质定理可知直线l，m平行
【详解】∵由题意，有
∴根据直线与平面平行的性质定理，知：l∥m
故选：B
考点五 面面平行的判定和性质
例9. 已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（ ）
A．、都垂直于一个平面
B．平面内有无数条直线与平面平行
C．l、m是内两条直线，且，
D．l、m是两条异面直线，且，，，
【答案】D
【分析】ABC选项，举出反例，D选项可以利用面面平行的判定进行证明.
【详解】A选项，如图所示，、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误；
B选项，如图，已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误；
C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误；
D选项，因为，，则在平面内存在，
因为l、m是两条异面直线，
所以为相交直线，
因为，，
所以，，
故可以判定平面与平面平行.
故选：D
例10. 设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【分析】根据面面平行、相交的知识确定正确选项.
【详解】A选项，内有无数条直线与平行，与可能相交，A选项错误.
B选项，垂直于同一平面，与可能相交，B选项错误.
C选项，平行于同一条直线，与可能相交，C选项错误.
D选项，内的任何直线都与平行，则，D选项正确.
故选：D
【变式探究】1. 设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.
【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；
对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；
对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．
故选：D
2. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
[解析]　∵ABA1B1，C1D1A1B1，
∴ABC1D1．
∴四边形ABC1D1为平行四边形.
∴AD1∥BC1．
又AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
同理BD∥平面AB1D1．
又∵BD∩BC1＝B，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
考点六 线面垂直的判定和性质
例11. 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定及性质判断①②③；由面面垂直的判定定理判断④.
【详解】如果一条直线与一个平面内的无数条平行线垂直，这条直线可能在平面内，可能与面平行，也可能与平面斜交，故①错误；
由线面垂直的性质可知，过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直，故②正确；
由线面垂直的性质可知，垂直同一平面的两条直线互相平行，故③正确；
由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故④正确.
故选：C.
例12. 在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线垂直的面的个数.
【详解】
如上图示，仅有平面和平面与直线垂直.
故选：B
【变式探究】已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【分析】利用空间中的垂直关系和充分条件、必要条件的定义进行判定.
【详解】因为，所以，
又因为，所以，
即“”是“”的充分条件；
如图，在长方体中，设面为面、面为面，
则，且与面不垂直，
即“”不是“”的必要条件；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
考点七 面面垂直的判定和性质
例13. 设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由面面垂直的判定定理判断．
【详解】由面面垂直的判定定理知，若，，则，
反之，若，，不一定垂直，
故”是“”的充分不必要条件，
故选：A
例14. 空间四边形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
【答案】D
【分析】证明线面垂直，从而证明面面垂直.
【详解】∵，，，平面，
∴平面BDC．
又∵AD平面ADC，
∴平面平面DBC．
故选：D
【变式探究】1. 下列命题中正确的是（　　）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
【答案】C
【分析】根据线面垂直的判定及面面垂直的判定方法结合选项可得答案.
【详解】当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A不正确;
一条直线垂直于平面内的两条相交直线才能得出线面垂直，
由平面与平面垂直的判定定理知B，D均不正确，C正确.
故选：C.
考点八 异面直线所成的角
例15. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正方体性质，将直线平移到，再利用即可求得角的大小.
【详解】连接，如下图所示：

根据正方体性质可知，所以直线与所成的角即为直线与所成的角；
设正方体棱长为2，易知，，，
在中，满足，即，
因此，所以.
故选：B
【变式探究】已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小.
【详解】由于在正方体中，平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，平面,故，
所以直线与直线所成角为，
故选：A

考点九 直线与平面所成的角
例16. 已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据线面角的知识求得正确答案.
【详解】由于平面，平面，
所以，故是与平面所成角，
由于正方形的边长为，所以，
所以.
故选：B
例17. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　）
A．20° B．70°
C．90° D．110°
【答案】B
【分析】由直线与平面所成角的概念求解
【详解】∵l∥m，
∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，
又直线l与平面α所成的角为70°，
∴m与α所成的角为70°
故选：B
【变式探究】1. 如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方体的性质可得为与平面所成的角，从而可求得结果.
【详解】因为在正方体中，平面，
所以为与平面所成的角，
因为为等腰直角三角形，
所以，
所以直线与平面所成的角为，
故选：A
考点十求二面角
例18. 如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
所以二面角的大小为.

对D，平面与平面交于，且，，故平面与平面所成的二面角为，故D错误.
【变式探究】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？
【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90°
【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小.
【详解】解：在正方体中，考虑平面与平面ABCD，
平面，平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角，
即平面与平面ABCD成角，
同理平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，
又因为平面，平面与平面垂直，即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.
所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°.立体几何
一、知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
1.平面的基本性质
（1）三个性质
如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内．
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线
不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面
（2）三个结论．
直线与这条直线外的一点可以确定一个平面
两条相交直线可以确定一个平面
两条平行直线可以确定一个平面
2.异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
3.直线与平面平行
（1）直线与平面平行的定义
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线与平面平行，记作∥.
（2）直线与平面平行的判定
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
（3）直线与平面平行的性质
如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行.
4.平面与平面平行
（1）平面与平面平行的定义
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．
平面与平面平行，记做∥．
（2）平面与平面平行的判定
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
（3）平面与平面平行的性质
如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行．
5.直线与平面垂直的判定与性质
1.直线与平面垂直的判定
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．
2.直线和平面垂直的性质
垂直于同一个平面的两条直线互相平行．6.面与平面垂直的判定与性质
1.平面与平面垂直的判定
一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．
2.平面与平面垂直的性质
7.空间两条直线所成的角
1.定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角
2.范围：
3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b．
8.直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA
斜足 斜线和平面的交点，图中点A
射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
9.平面与平面所成的角
（1）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
（2）二面角的平面角
过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角
（3）二面角的范围
二面角取值范围是．
四、常考题型探究
考点一 文字语言、符号语言和图形语言的相互转化
例1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
例2．如图所示，用符号语言可表达为（ ）

A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【变式探究】1. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　 　)
A．A∈l，l α　　　 B．A∈l，l α C．A l，l α　　 D．A l，l α
考点二 线线位置关系的判断
例3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　 　)
A．3条　 B．4条　　
C．6条　 D．8条
例4．下列说法中正确的是(　 　)
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
【变式探究】1. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A．平行直线 B．相交直线
C．异面直线 D．无法判断位置关系
2. 垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
考点三 线面位置关系的判断
例5. 若直线是平面的一条斜线，则在平面内与垂直的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有无数条
C．有且只有两条 D．不存在
例6. 已知平面，，直线，若，，则直线与平面的位置关系为 .
【变式探究】1. 如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（ ）
A．直线在平面内 B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直 D．直线与平面平行
2. 过平面外一点，能做（ ）条直线与平面平行.
A．0 B．1 C．2 D．无数
考点四 线面平行的判定和性质
例7. 已知直线a和平面α，那么a//α的一个充分条件是（　　）
A．存在一条直线b，a//b且b α
B．存在一条直线b，a⊥b且b⊥α
C．存在一个平面β，a β且α//β
D．存在一个平面β，a//β且α//β
例8. 在空间中，直线∥面，直线平面，则（ ）
A．m与n平行 B．m与n平行或相交 C．m与n异面或相交 D．m与n平行或异面
【变式探究】1. 下列条件中，能得出直线与平面平行的是（ ）
A．直线与平面内的所有直线平行
B．直线与平面内的无数条直线平行
C．直线与平面没有公共点
D．直线与平面内的一条直线平行
2. 已知直线l∥平面α，l 平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或异面
考点五 面面平行的判定和性质
例9. 已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（ ）
A．、都垂直于一个平面
B．平面内有无数条直线与平面平行
C．l、m是内两条直线，且，
D．l、m是两条异面直线，且，，，
例10. 设为两个不同的平面，则的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行
B．垂直于同一平面
C．平行于同一条直线
D．内的任何直线都与平行
【变式探究】1. 设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
2. 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
考点六 线面垂直的判定和性质
例11. 下面四个说法：①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直.其中正确的说法个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例12. 在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式探究】已知直线、，平面、，满足且，则“”是“”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分条 C．充要 D．既非充分又非必要
考点七 面面垂直的判定和性质
例13. 设是两个不同的平面，b是直线且，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例14. 空间四边形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
【变式探究】1. 下列命题中正确的是（　　）
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
考点八 异面直线所成的角
例15. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【变式探究】已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
考点九 直线与平面所成的角
例16. 已知正方形的边长为平面，则与平面所成角是（ ）
A． B． C． D．
例17. 直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（　　）
A．20° B．70°
C．90° D．110°
【变式探究】1. 如图所示，在正方体中，直线与平面所成的角是（ ）
A． B． C． D．
考点十求二面角
例18. 如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【变式探究】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？

展开更多......

收起↑