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专题3 正弦型函数的图像和性质
【题型01 五点作图法】
【题型02 正弦型函数的伸缩平移变换】
知识点一：五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,,
知识点二：三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
知识点三：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
【题型01 五点作图法】
【典例1】已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【答案】(1)答案见解析
(2)振幅为，周期，初相为
(1)列表如下：
0
0 2 0 0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：
(2)由可知，振幅，初相为，
最小正周期.
【典例2】 用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案.
【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标，
故选：B.
【典例3】函数的最大值和最小正周期分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数有界性得到最大值，根据求出最小正周期.
【详解】因为，所以，
故最大值为3，
且最小正周期为.
故选：D
【题型02 伸缩平移变换】
【典例1】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．
故选：D.
【典例2】将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
【答案】
【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.
故答案为：
【题型03 正弦型函数的性质】
【典例1】函数是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数
【答案】D
【分析】根据正弦型函数的周期公式和奇函数的定义即得.
【详解】由知其最小正周期为，函数的定义域为，由知函数是奇函数.
故选：D.
【典例2】已知函数，.
(1)求出该函数的最小正周期；
(2)求出该函数取最大值时自变量的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）使用最小正周期公式进行求解即可；
（2）由，，求出的取值范围即可.
【详解】（1）设函数，的最小正周期为，
则，
∴函数，的最小正周期为.
（2）令，，
解得，，
∴函数，取最大值时，自变量的取值集合为.
练 习
一、单选题
1．从函数的图象来看，对应于的x有（ ）
A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值
【答案】B
【分析】作出函数的图象，确定直线与图象交点个数即可.
【详解】函数的图象，如图：

观察图象知，直线与函数的图象有两个交点，
所以使的x有2个值.
故选：B
2．函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】C
【分析】根据正弦函数的有界性可得.
【详解】由正弦函数性质可知，，
所以，所以，
所以，函数的最大值是，最小值是.
故选：C
3．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到函数的定义域，再利用函数的奇偶性得到答案.
【详解】A选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，A错误；
B选项，的定义域为R，
且，故为奇函数，B错误；
C选项，的定义域为R，
且，故为偶函数，C正确；
D选项，的定义域为R，
且，故不是偶函数，D错误.
故选：C
4．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】D
【分析】利用三角函数的图象变换关系求解.
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选:D.
5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】,根据三角函数的图象变换即可求解.
【详解】，
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
故将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
故选:D.
6．为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
【答案】A
【分析】根据三角函数图象变换规律分析判断即可
【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，
再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．
故选：A
7．为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
【答案】B
【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可
【详解】因为，
所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，
故选：B
8．为了得到函数，的图像，只需将正弦曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
【答案】A
【分析】利用三角函数的变换公式即可求解.
【详解】到，变为，可得图像向左平移了个单位；
故选：A.
二、填空题
1．五点法
（1）在函数的图象上，以下五个点 ， ， ， ， 在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象.
【答案】
【分析】略
【详解】略
2．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，， ．
【答案】.
【分析】根据三角函数的“五点法”作图的规则，令，即可求解.
【详解】用“五点法”画在一个周期内的简图时，
分别令，当，可得，此时，
所以五个点分别为，，，，.
故答案为：.
3．函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据得到函数的值域，得到答案.
【详解】因为，所以，
故最小值为.
故答案为：
4．函数的最大值为 .
【答案】3
【分析】算出的最大值即可计算出的最大值.
【详解】因为的最大值为，
所以的最大值为3.
故答案为：.
5．函数的最小正周期是，则 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的周期公式直接求出即可.
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案为：.
6．已知函数的最小正周期为，则 .
【答案】/
【分析】利用正弦函数的周期公式即可得解.
【详解】因为的最小正周期为，
所以，则.
故答案为：.
7．函数的最小正周期为 .
【答案】4
【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】由正弦型函数的周期公式可得：,故数的最小正周期为4.
故答案为：4.
8.把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是___________.
【答案】
【详解】把函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，即得到函数解析式为，
故答案为：
三、解答题
1．已知函数
(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；
列表：
作图：
(2)直接写出函数的值域和最小正周期．
【答案】(1)答案见解析；
(2)值域，最小正周期为.
【分析】（1）由正弦型函数解析式，列出一个周期内五个点，在坐标系中描点用平滑的曲线画出函数图象即可；
（2）由正弦型函数性质求值域，应用最小正周期的求法求最小正周期．
【详解】（1）列表:
0
图象如图所示：
（2）因为，则，
故函数的值域为，最小正周期为.
2．利用“五点法”作出函数的简图.
【答案】简图见解析
【分析】利用“五点法”，列表、描点、连线，作出函数图像.
【详解】取值列表：
0
0 1 0 －1 0
1 0 1 2 1
描点连线，如图所示.

3．用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）（2）（3）在坐标系中描出相应的五点，在用平滑的曲线连起来.
【详解】（1）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（2）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

（3）按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图

4．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图．
【答案】作图见解析
【分析】由于正弦函数的周期是，取一个周期内的五个关键点，即令，分别将五个点的横坐标代入中，求出对应的纵坐标的值，列出表格，然后描点连线即可画出函数简图.
【详解】（1）取值列表如下：
x 0 π
0 1 0 －1 0
（2）描点、连线，如图所示．
【点睛】本题考查了用五点法画三角函数简图问题，考查了数学运算能力和画图能力，属于一般题目.
5．用五点法作出下列函数在区间上的简图.
(1);
(2).
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】(1) 取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可；
(2) 取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可；
【详解】解:(1)列表,描点,连线得的图像,如图.
x 0
0 1 0 0
2 3 2 1 2
描点作图，如图所示，
(2)列表,描点,连线得的图像,如图.
x 0
0 1 0 0
0 3 0 0
描点作图，如图所示，
【点睛】本题考查五点法作图，是基础题.
6．函数的图象与函数的图象有什么关系？
【答案】向左平移个单位，即可得到的图象
【分析】根据相位变换，即可得出答案.
【详解】将函数的图象，向左平移个单位，即可得到函数的图象.
7．怎样由函数的图像变换得到的图像
【答案】答案见解析
【分析】根据函数图像变换的规则.
【详解】现将向右平移个单位，得到，然后使得纵坐标不变，横坐标变为原来的即可.
8．已知函数求的最大值及取得最大值时x的值.
【答案】时，最大值为1
【分析】利用正弦函数的图像与性质求函数的最大值以及取得最大值时x的值.
【详解】
当
即时，函数取最大值，且最大值为1.
1
2专题3 正弦型函数的图像和性质
【题型01 五点作图法】
【题型02 正弦型函数的伸缩平移变换】
知识点一：五点法作图
必备方法：五点法步骤
③
①
②
对于复合函数， 第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行） 第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。） 第三步：得到五个关键点为：，,,,
知识点二：三角函数图象变换
参数,,对函数图象的影响
1.对函数,的图象的影响
2、()对函数图象的影响
3、()对的图象的影响
4、由的图象变换得到(，)的图象的两种方法
知识点三：根据图象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.
②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.
2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.
【题型01 五点作图法】
【典例1】已知函数.
(1)试用“五点法”画出它的图象；
列表：
作图：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【典例2】 用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】函数的最大值和最小正周期分别是（ ）
A． B． C． D．
【题型02 伸缩平移变换】
【典例1】为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【典例2】将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.
【题型03 正弦型函数的性质】
【典例1】函数是（ ）
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的奇函数
【典例2】已知函数，.
(1)求出该函数的最小正周期；
(2)求出该函数取最大值时自变量的取值范围.
练 习
一、单选题
1．从函数的图象来看，对应于的x有（ ）
A．1个值 B．2个值 C．3个值 D．4个值
2．函数的最大值与最小值分别是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
3．下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度
7．为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向左平行移动个单位长度
8．为了得到函数，的图像，只需将正弦曲线上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
二、填空题
1．五点法
（1）在函数的图象上，以下五个点 ， ， ， ， 在确定函数图象时取确定性作用，描出这5个点，就可确定出前者的图象.
2．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，， ．
3．函数的最小值为 ．
4．函数的最大值为 .
5．函数的最小正周期是，则 ．
6．已知函数的最小正周期为，则 .
7．函数的最小正周期为 .
8.把函数的图象向右平移个单位，得到的解析式是___________.
三、解答题
1．已知函数
(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的图象；
列表：
作图：
(2)直接写出函数的值域和最小正周期．
2．利用“五点法”作出函数的简图.
3．用“五点法”画出下列函数的简图：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
4．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图．
5．用五点法作出下列函数在区间上的简图.
(1);
(2).
6．函数的图象与函数的图象有什么关系？
7．怎样由函数的图像变换得到的图像
8．已知函数求的最大值及取得最大值时x的值.
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