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专题12 平面与平面的位置关系
【题型01 平面与平面的位置关系】
【题型02 平面与平面平行】
【题型03 平面与平面垂直】
【题型04 二面角 】
1．两个平面之间的位置关系
(1)两个平面平行一一没有公共点；
(2)两个平面相交一一有一条公共直线．
2．平面与平面位置关系的图形表示和符号表示
3.平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2、符号语言：a β，b β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α β∥α.
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
4、平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3、图形：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
5.利用判定定理证明两平面平行的步骤
1、在一个平面内找出两条相交直线；
2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；
3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。
6.二面角的概念
1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3、画法：
4、记法：二面角或或或.
5、二面角的平面角：若有①；②，；
③，，则二面角的平面角是．
7.平面与平面垂直概念
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、图形语言：
3、符号语言：α⊥β.
8.平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
9.平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
4、作用：①面面垂直 线面垂直；②作面的垂线
5、平面与平面垂直的其他性质
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即；
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即；
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即；
（5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即
10.垂直问题转化关系如下所示
【题型01 面面平行的辨析】
【典例1】已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断的条件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】根据题意，由直线与平面平行的性质和判定定理分析4个条件，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析4个条件：
对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，可以判断，
对于②，平面同一平面的两条直线可以平行、也可以相交或异面，不可以判断，
对于③，两个平行平面内的两条直线，可以平行、也可以相交或异面，不可以判断，
对于④，由直线与平面平行的性质分析，可以判断，
则可以判断的是①④；故A，B，C错误.
故选：D．
【典例2】如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.
【答案】证明见解析.
【分析】根据棱台的特征易知平面BB1D1D，再由面面平行的性质即可证结论.
【详解】根据棱台的特征知：侧棱BB1与DD1相交，所以平面BB1D1D.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥BD.
【题型02 面面垂直的辨析】
【典例1】已知两条不同的直线，与两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，，则直线与是异面直线
D．若，，，则直线与是异面直线
【答案】B
【分析】利用线面平行的性质定理，面面平行性质定理，面面垂直的判定定理逐个判断即可.
【详解】若，，则与平行或异面，A错；
若且，则内有垂直于的直线，故，B正确；
若，，则直线与是相交，平行或异面直线，C错；
若，，，则直线与平行或异面，D错.
故选：B
【典例2】在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）

【答案】平面，平面（答案不唯一）
【分析】证明出线面垂直，得到面面垂直，得到答案.
【详解】连接，
因为四边形为正方形，所以⊥，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
因为，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以平面⊥平面，
同理平面，
所以平面⊥平面，
故垂直于平面的平面有平面，平面

故答案为：平面，平面(答案不唯一)
【题型03 二面角】
【典例1】如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
【详解】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故选：B.
【典例2】若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（ ）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
【答案】C
【分析】根据二面角的性质进行求解即可.
【详解】若方向相同则相等，若方向相反则互补，
故选：C.
练 习
一、单选题
1．平面α//平面β，直线l//α，则（　　）
A．l//β B．l β
C．l//β或l β D．l，β相交
【答案】C
【分析】根据面面平行的性质结合选项可得答案.
【详解】因为平面α//平面β，直线l//α，
所以直线l可能和平面β平行，也可能在平面β内．
故选：C.
2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】ABD均可举出反例，
由线面垂直的性质可得得到C正确.
【详解】对于A，垂直于同一平面的两平面相交或平行，如图1，，，而，相交，故A错误；
对于B，平行于同一直线的两平面相交或平行，如图2，
满足，，但相交，B错误；
对于C，垂直于同一平面的两直线平行，故C正确；
对于D，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，
如图3，满足，，但相交，故D错误.
故选：C.
3．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
其中正确的命题是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
【答案】C
【分析】根据线线，线面位置关系，数形结合解决即可.
【详解】对于（1），，则可能平行，也可能相交，参照正方体同一顶点处相邻的三个面即可，故（1）错误；
对于（2），当时，就不能得出，如图，故（2）错误；
对于（3），若，则平面与平面无公共点，又，所以直线与平面也没有公共点，所以，故（3）正确；
对于（4），因为，由得，又，所以，同理，所以，故（4）正确.
故选：C
4．已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据空间中线面之间的关系逐一判断即可.
【详解】对于A ，若，则，故A正确；
对于B，若，则，平行或相交，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：B.
5．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
【答案】D
【分析】根据面面平行的判定一一判定即可.
【详解】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；
对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；
对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；
对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．
故选：D
6．若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
【答案】D
【详解】平面平面，直线，点，故点，过直线和点可以确定唯一一个平面，且，则直线就是唯一的一条满足条件的直线，故选D.
7．已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据空间中线面之间的关系逐一判断即可.
【详解】对于A ，若，则，故A正确；
对于B，若，则，平行或相交，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：B.
8．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】由线面位置关系的判定，分析选项中结论是否正确.
【详解】A选项，缺条件，结论不成立；
B选项，直线与直线可能平行可能异面，结论不成立；
C选项，由直线与平面垂直的定义可知，结论正确
D选项，直线可能与平行，可能在内，也可能与相交，不一定满足垂直，结论不成立.
故选：C
9．已知空间中三条不重合的直线，两个不重合平面，以下证明推导过程错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A选项为面面平行的性质，B选项为线面平行的性质；C选项，可以通过垂直关系推导出线面平行；D选项可以举出反例
【详解】A选项，由面面平行的性质可以得到线面平行，A正确；
B选项，由线面平行的性质得到线线平行，B正确；
C选项，设，因为，设，且，则有，
因为，，所以，因为，，所以，C正确；
D选项，若，则此时不能推出，D错误
故选：D
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】AB选项，可以举出反例，C选项，可以通过面面垂直的性质和线面垂直的性质进行证明；D选项可以证明出.
【详解】如图，满足，但不垂直，A错误；
若，则或异面，或相交，B错误；
因为，则或，又因为，所以，C正确；
因为，所以，
又因为，设，则，所以
则，D错误.
故选：C
11．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有条件（　　）
A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
【答案】D
【分析】根据二面角的定义即可判断得到答案
【详解】根据题意， 是与平面的交线，则根据二面角的定义，若， ，且 ,则为二面角的平面角
故选：D
12．二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二面角的定义和线面垂直的性质可得选项.
【详解】解：因为二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为，
故选：B.
13．长方体中，，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先二面角的定义得到是二面角的平面角，根据图形即可计算.
【详解】由图可知，，所以是二面角的平面角，
，所以.
故选：D
14．已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据条件作出相应图形，结合图形证明或举出反例即可求解.
【详解】对于A，如下图，，则，
满足题中条件，但与相交，故错误;
对于B，若，
当在内且与的交线垂直时，符合题中条件，但不满足结论，故B错误;
对于C，设过的平面与相交于直线，则，且，
由，则，由面面垂直的判定定理可得：，故C正确;
对于D，若，则与可能平行，如下图中，
也可能在内，如图中，故D错误.
故选：C.
15．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
【答案】C
【分析】ABD选项，可以举出反例，C选项，可以利用面面垂直的性质进行证明
【详解】A选项，若，，，则或异面，A错误；
B选项，如图，
满足，，，而，故B错误；
C选项，因为，设，，
所以，因为，所以，
因为，，所以，则，
C正确；
D选项，如图，
满足，，而，D错误.
故选：C
16．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由二面角的定义判断.
【详解】根据二面角的定义知①两个相交的半平面所组成的图形叫做二面角，故错误；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作棱的垂线所成的角，故错误；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关，故错误．
所以①②③都不正确．
故选：A
17．在长方体中，，，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为，，可得就是二面角的平面角，又因为，在直角三角形中计算正切值.
【详解】∵，，由二面角的平面角的定义知，就是二面角的平面角，又，所以 .
故选：D
二、填空题
1．以下四个命题中，真命题是 （只填真命题的序号）.
①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行；
③若直线a，b和平面满足，，则；
④若直线a，b和平面满足，，，则.
【答案】④
【分析】根据点线面的位置关系即可判断.
【详解】解析：对于①，当经过b的平面也经过a时，不成立，故①为假命题；
对于②，a与内的直线平行或异面，故②为假命题；
对于③，直线a与b三种位置关系都有可能，故③也为假命题；
对于④，因为，过作平面交于直线，则，
又因为，所以，而，，所以.故④为真命题.
故答案为：④
2．两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 ，，
图形语言
【答案】 平行 //
【详解】略
3．正方体中，平面平面，点在上，点在上，且，则四边形的形状是 ．
【答案】平行四边形
【分析】由面面平行的性质得到，结合，得到四边形的形状.
【详解】因为，所以四点共面，
因为平面平面， 平面平面，平面平面，
由面面平行的性质可得：，
又因为，
所以四边形是平行四边形.
故答案为：平行四边形
4．如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
【答案】平行
【分析】根据线线平行即可判断面面平行.
【详解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案为：平行
5．二面角的平面角的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二面角的取值范围可得结果.
【详解】二面角的平面角的取值范围是.
故答案为：.
6．在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是 ．
【答案】/
【分析】画出空间图形，说明为二面角的平面角，且，再结合三角函数求解.
【详解】解：如图所示，两平面相交于，，，，
，，．
则为二面角的平面角，且，
所以所以.
即点到二面角的棱的距离为．
故答案为：．
7．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
【答案】/
【分析】根据与二面角大小互补进行求解.
【详解】设二面角的大小为，
因为，，垂足为、，
所以，又，所以.
故答案为：
8．如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相 ．
【答案】垂直
【分析】略
【详解】略
9．在正方体中，二面角的大小是 .
【答案】/
【分析】根据二面角的定义判断二面角的大小.
【详解】画出图象如下图所示，
由于，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知.
故答案为：
10．如图，在长方体中，，则二面角的平面角大小是，则 ．
【答案】/0.5
【分析】由题可得为二面角的平面角，即可求解.
【详解】在长方体中，平面，为二面角的平面角，
在中，，
，即.
故答案为：.
11．已知平面，和直线，且，则“”是“”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）
【答案】充分不必要
【分析】从充分性和必要性两方面分析判断得解.
【详解】由题得，所以“”是“”的充分条件；
当时，不一定有，有可能不与平面b垂直，也有可能在平面b内.
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故答案为：充分不必要
【点睛】本题主要考查充要条件的判断和空间几何元素的位置关系的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是 (填序号)． ①平面ABC⊥平面； ②平面ABC⊥平面；③平面ABC⊥平面，且平面平面； ④平面ABC⊥平面，且平面平面.
【答案】③
【分析】由AB=BC，AD=CD，说明对棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出结论．
【详解】因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．
因为AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，
故答案为：③．
【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
25．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ．
【答案】
【分析】由侧面底面及，利用面面垂直的性质定理可得平面，从而，利用勾股定理计算即可得解.
【详解】∵侧面底面，交线为，(即)，平面PAC，
∴平面，又平面，
∴，∴.
【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了空间线、面垂直的相互转化，属于基础题.
三、解答题
1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
【答案】证明见解析
【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根据面面垂直的性质定理可得平面，进而即得.
【详解】证明：在四边形中，因为，，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
2．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
(1)求证：平面；
【答案】(1)证明见解析
【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解.
【详解】（1）∵四边形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
3．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证结论.
（2）由（1）及面面垂直的判定可得面面APD，再由面面垂直的性质有面，根据线面垂直的性质即可证结论.
【详解】（1）由AD⊥平面PAB，面，则，
又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD；
（2）由（1）及面，则面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．
4．如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
所以二面角的大小为.
5．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的正切值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圆的半径，分别求得圆柱的侧面积和底面积，进而可求得表面积；
（2）方法一：连接，可证得，则可得所求二面角的平面角为，根据长度关系可得结果；
【详解】（1），，，
底面圆的半径，圆柱的侧面积为，
又圆柱的底面积为，圆柱的表面积.
（2）方法一：连接，
平面，平面，；
，即，，平面，
平面，又平面，；
即为二面角的平面角，
，，，，
6．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
【详解】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.
7．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由题意易知，根据线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定证平面平面．
（2）由（1）结合勾股逆定理知，根据线面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.
【详解】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上，即为在面上的射影，而，所以，
∵，，
∴平面，又平面，
∴平面平面．
（2）由（1）知：，在中，有，即，
∴，又，，即面，
∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
8．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果.
【详解】（1）设,连接,如图所示:
因为O,E分别为,的中点,所以,
又因为平面,平面,
所以平面．
（2）连接,如图所示:
因为,为的中点,所以,
又因为四边形为菱形,所以,
因为平面,平面,且,
所以平面,又因为平面,
所以平面平面．
9．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用直线和平面平行的判定定理即可证明；
（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可证明；
【详解】（1）证明：连接、，在平行四边形中，为、的中点，
∵为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）证明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
10．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)连接AC交BD于O，连接OE，由中位线即可得，得证；
(2)证明BD⊥平面PAC即可.
【详解】（1）连接AC，交BD于O，连接OE，
在△CAP中，，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；
（2）∵PO⊥底面ABCD，则PO⊥BD，
又∵是正方形，则AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）利用面面垂直的判定定理即可证明.
【详解】（1）由E，F分别是棱PB，PC的中点.
则且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的对角线，
，
四棱锥P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因为平面PBD，
所以面PBD面PAC
12．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【分析】由面面垂直的性质可得面，根据面面垂直的判定即可证平面平面．
【详解】证明：由底面为矩形，则，
∵面面，面面，面，
∴面，又平面，
∴平面平面．
13．如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
【答案】（1）见解析【分析】（1）由是等边三角形,,得．再证明,,从而和证明平面,故平面平面得证．
【详解】解:（1）证明:因为是等边三角形,,
所以,可得．
因为点是的中点,则,,
因为,平面PBD,平面,
所以平面,因为平面,
所以平面平面．
14．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴.
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
15．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．
【答案】证明见解析
【分析】证明，进而证明出平面BCHG，再证明，得到平面BCHG，从而证明面面平行.
【详解】证明：∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，且
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，
∴平面平面BCHG．
16．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由平面，得，再根据线面垂直的判定定理和性质定理得证（2）由证明平面，由证明平面，再由面面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.
（2）由分别是线段的中点，所以，又为正方形，，所以，又平面，所以平面.因为分别是线段的中点，所以，又平面，所以平面.因为平面，所以平面平面.
17．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】由面面平行的性质得到线线平行.
【详解】因为平面平面，四点共面，
且平面平面，平面平面，
所以．
1专题12 平面与平面的位置关系
【题型01 平面与平面的位置关系】
【题型02 平面与平面平行】
【题型03 平面与平面垂直】
【题型04 二面角 】
1．两个平面之间的位置关系
(1)两个平面平行一一没有公共点；
(2)两个平面相交一一有一条公共直线．
2．平面与平面位置关系的图形表示和符号表示
3.平面与平面平行的判定定理
1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
(简记为“线面平行 面面平行”)
2、符号语言：a β，b β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α β∥α.
3、图形：
4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行．
4、平面与平面平行的性质定理
1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3、图形：
4、平面与平面平行其他常用性质推论
（1）平行于同一个平面的两个平面平行.
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.
（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
5.利用判定定理证明两平面平行的步骤
1、在一个平面内找出两条相交直线；
2、证明着两条相交直线分别平行于另一个平面；
3、利用平面与平面平行的判定定理得出结论。
6.二面角的概念
1、定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
2、相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
3、画法：
4、记法：二面角或或或.
5、二面角的平面角：若有①；②，；
③，，则二面角的平面角是．
7.平面与平面垂直概念
1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2、图形语言：
3、符号语言：α⊥β.
8.平面与平面垂直的判定定理
1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
9.平面与平面垂直的性质定理
1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，
那么这条直线与另一个平面垂直
2、图形语言：
3、符号语言：
4、作用：①面面垂直 线面垂直；②作面的垂线
5、平面与平面垂直的其他性质
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即
（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即；
（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即；
（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即；
（5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即
10.垂直问题转化关系如下所示
【题型01 面面平行的辨析】
【典例1】已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则可以用来判断的条件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【典例2】如图所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱台，求证：B1D1∥BD.
【题型02 面面垂直的辨析】
【典例1】已知两条不同的直线，与两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若且，则
C．若，，则直线与是异面直线
D．若，，，则直线与是异面直线
【典例2】在如图所示的正方体中，垂直于平面的平面有 .（写出两个，多写不加分，写错扣分）

【题型03 二面角】
【典例1】如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（ ）
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．不确定
练 习
一、单选题
1．平面α//平面β，直线l//α，则（　　）
A．l//β B．l β
C．l//β或l β D．l，β相交
2．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
3．设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则．
其中正确的命题是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
4．已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
6．若平面平面，直线，点，过点M的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线
7．已知是空间中三个不同的平面，是空间中两条不同的直线，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9．已知空间中三条不重合的直线，两个不重合平面，以下证明推导过程错误的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．自二面角棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，则必须具有条件（　　）
A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
12．二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成的角为（ ）
A． B．
C． D．
13．长方体中，，，则二面角为（ ）
A． B． C． D．
14．已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
16．下列说法：
①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；
③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．在长方体中，，，则二面角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．以下四个命题中，真命题是 （只填真命题的序号）.
①若a，b是两条直线，且，则a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面满足，则a与内的任何直线平行；
③若直线a，b和平面满足，，则；
④若直线a，b和平面满足，，，则.
2．两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线
符号语言 ，，
图形语言
3．正方体中，平面平面，点在上，点在上，且，则四边形的形状是 ．
4．如图，三条直线、、不共面，但交于一点，若，，，那么平面和平面的位置关系是 ．
5．二面角的平面角的取值范围是 .
6．在60°的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10cm，则该点到二面角的棱的距离是 ．
7．如图，已知，，垂足为、，若，则二面角的大小是 ．
8．如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相 ．
9．在正方体中，二面角的大小是 .
10．如图，在长方体中，，则二面角的平面角大小是，则 ．
11．已知平面，和直线，且，则“”是“”的 条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）
12．如图所示，在三棱锥中，若，，是的中点，则下列命题中正确的是 (填序号)． ①平面ABC⊥平面； ②平面ABC⊥平面；③平面ABC⊥平面，且平面平面； ④平面ABC⊥平面，且平面平面.
25．如图，在三棱锥内，侧面底面，且，则 ．
三、解答题
1．如图，在四棱锥中，平面底面，，，，．证明：
2．如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面．
(1)求证：平面；
3．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求证：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．
4．如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
5．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，，，为的中点.
(1)求圆柱的表面积；
(2)求二面角的正切值
6．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
7．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
8．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
9．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，平面，，为中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面.
10．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：面面．
11．如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分别是棱PB，PC的中点.
求证：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
12．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面．
13．如图,在三棱锥中,是等边三角形,,点是 的中点,连接．
（1）证明:平面平面;
14．如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
15．如图所示，在三棱柱中，E，F，G，H分别是AB，AC，，的中点．求证：平面平面BCHG．
16．如图，在四棱锥中，是正方形，平面，， 分别是的中点．
(1)求证：；
(2)求证：平面平面．
17．如图，在多面体中，面是正方形，平面，平面平面，四点共面，，．求证：.
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