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专题14 复数的运算
【题型01 复数的加法与减法】
【题型02 复数的乘法】
【题型03 复数加减的几何意义】
一、复数的加法
1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数的减法
1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
三、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量，，
如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量，
而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，
这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、复数的乘法
1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.，显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
【题型01 直接进行加减运算】
【典例1】已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【答案】z＝4＋i
【解析】 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
【典例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
【答案】3
【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，
所以a2－2a－3＝0，a2－1≠0，)解得a＝3.
【题型02 需要设复数标准式的加减运算】
【典例1】设，（为虚数单位），且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由，，得，
又，，即．
【典例2】已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
【答案】±23－2i【解析】因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±23，所以z＝±23－2i.
【题型03 复数加减的几何意义】
【典例1】在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则等于( )
A.2 B．2 C.10 D．4
【答案】B【解析】∵复数1＋i与1＋3i分别对应向量和
∴，，
∴
∴
【典例2】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【答案】D【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
【题型04 复数的乘法】
【典例1】设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】，
在复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第三象限.
【典例2】计算:（1）; （2）.
【解析】（1）
（2）
.
【典例3】设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】因，故由题设，故，故选D．
练 习
一、单选题
1．已知i是虚数单位，若是实数，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B【解析】为实数，∴．故选：B
2．若复数 (为虚数单位)，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】，.故选：A.
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因为，所以所以
故选：A
4．（多选）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．的值可能为 D．
【答案】BCD【解析】因为.
所以，，即，，则.解得或，
故A错误，B，C，D均正确.故选：BCD.
5．已知复数和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意，
6．设复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C【解析】由，得，因此，故.故选：C.
7．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A解析】，，所以在复平面内对应的点坐标为，所以在复平面内对应的点位于第一象限，故选：A.
8．已知复数z满足，（i为虚数单位），则（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z是方程的一个虚根
【答案】D【解析】：，所以，故A错误；，故B错误；
复数z的虚部为－1，故C错误；因为，所以的根为，D正确．故选：D
二、解答题
1.计算：（1）； （2）已知，，求，．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）；
（2），，
，
2.计算：①；②；③．
【答案】①；②；③．
【解析】①；
②；③．
3．计算下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】(1)2-2i(2)1+5i (3)-4+5i
【解析】解：（1）；（2）；（3）.
3．计算：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）【解析】（1）原式.
（2）原式.（3）原式.
4.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）表示的复数； （2）对角线表示的复数； （3）对角线表示的复数．
【答案】（1）－3－2i （2）5－2i （3）1＋6i
【解析】（1）因为，所以表示的复数为－3－2i.
（2）因为，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
（3）因为对角线，
所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
1专题14 复数的运算
【题型01 复数的加法与减法】
【题型02 复数的乘法】
【题型03 复数加减的几何意义】
一、复数的加法
1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，
规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．
注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、复数的减法
1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，
存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．
2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．
三、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其对应的向量，，
如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量，
而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．
2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应，
这就是复数减法的几何意义．
【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．
（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．
（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．
拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、复数的乘法
1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1，
并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.，显然两个复数的积仍是复数．
2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立．
【题型01 直接进行加减运算】
【典例1】已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【典例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
【题型02 需要设复数标准式的加减运算】
【典例1】设，（为虚数单位），且，则( )
A． B．
C． D．
【典例2】已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝________．
【题型03 复数加减的几何意义】
【典例1】在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则等于( )
A.2 B．2 C.10 D．4
【典例2】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【题型04 复数的乘法】
【典例1】设，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】计算:（1）; （2）.
【典例3】设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
练 习
一、单选题
1．已知i是虚数单位，若是实数，则实数（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2．若复数 (为虚数单位)，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）若实数，满足，则（ ）
A．的共轭复数为 B．
C．的值可能为 D．
5．已知复数和，则（ ）
A． B． C． D．
6．设复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知复数z满足，（i为虚数单位），则（ ）
A． B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数z是方程的一个虚根
二、解答题
1.计算：（1）； （2）已知，，求，．
2.计算：①；②；③．
3．计算下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
3．计算：（1）；
（2）；
（3）.
4.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）表示的复数； （2）对角线表示的复数； （3）对角线表示的复数．
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