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2024年江西中考数学中考模拟卷(一)
(本试卷满分120分，考试时间120分钟)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
1．下列各数中，绝对值最大的是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C． D．－5
2．下列运算正确的是(　　)
A．a2＋a2＝2a4 B．2＝－6a2b4
C．a6÷2＝a4 D．2＝a2－b2
3．下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是(　　)
4.如图，点A和点B恰好分别在GH和EF上，GH∥EF且BA平分∠DBE.若∠C＝90°，∠CAD＝32°，则∠BAD的度数为(　　)
A．28° B．29°
C．30° D．31°
5．已知矩形的长和宽是方程x2－7x＋8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为(　　)
A．6 B．7
C． D．
6．如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律，第22个图案中六边形的个数为(　　)
　
A．131 B．132
C．133 D．134
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7．在函数y＝中，自变量x的取值范围是________．
8.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，∠BCD＝60°，AD＝CD＝6，对角线BD恰好平分∠ABC，则BC－AB＝________．
9．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题，其大意为：甲、乙两人一起放牧，两人心里暗中数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同，请问甲、乙各有多少只羊？设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列方程组为________________．
10．若(x＋8)2＋＝0，则代数式(x＋y)2 024的值是________．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，在上取一点D，使＝2，则∠CBD＝________．
12.如图，直线y＝－x＋与坐标轴分别交于A，B两点，在平面直角坐标系内有一点C(不与原点重合)，使△ABC与△ABO全等，则点C的坐标为________．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13．(1)计算：2－－2sin 45°＋0；
(2)解方程：＝－3.
14．(2023·南昌模拟)如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：
(1)小明掷出骰子，数字“6”朝下的是________事件；
A．不可能　　 B．必然　　　C．随机
(2)用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．
15．如图，在正方形ABCD中，AB＝4 cm，延长AB至点E，使BE＝8 cm，F是DE的中点，求线段BF的长度．
16．为了解学生的睡眠情况，某校随机抽取部分学生对他们最近两周的睡眠情况进行调查，得到他们每日平均睡眠时长x(单位：h)的一组数据，将所得数据分为四组(A：x＜8；B：8≤x＜9；C：9≤x＜10；D：x≥10)，并绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了________名学生；
(2)求出扇形统计图中D组所对应的扇形圆心角的度数；
(3)将条形统计图补充完整；
(4)若该校共有1 200名学生，请估计最近两周有多少名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9 h.
17．如图，在网格纸中，O，A都是格点，以O为圆心，OA为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图．(不写画法)
(1)在图1中画圆O的一个内接正六边形ABCDEF；
(2)在图2中画圆O的一个内接正八边形ABCDEFGH.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝(x＞0)的图象同时经过点A(2，m)，B(4，n)两点．
(1)则＝________．
(2)若∠OAB＝90°.
①求反比例函数的解析式；
②延长AB交x轴于C点，求C点坐标．
19．如图1，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点O在边AD上运动，以O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC交于A，E两点．
(1)如图2，当⊙O与边CD相切于点F时，求AO的长；
(2)不难发现，当⊙O与边CD相切时，⊙O与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AO的变化，⊙O与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AO的值的取值范围________．
20．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60 m，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A，H，F在同一条直线上，支架AH段的长为1 m，HF段的长为1.50 m，篮板底部支架HE的长为0.75 m.
(1)求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数；
(2)求篮板顶端F到地面的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：cos 75°≈0.258 8，sin 75°≈0.965 9，tan 75°≈3.732，≈1.732，≈1.414)
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21．手机随拍已经成为旅游爱好者生活的一部分．某超市计划购进甲、乙两种型号的手机支架共60个，甲种型号的进价为30元/个，乙种型号的进价为45元/个，下表是近两周甲、乙两种型号手机支架的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
甲种型号 乙种型号
第一周 3个 5个 420元
第二周 5个 10个 800元
(1)求甲、乙两种型号手机支架的销售单价．
(2)设该超市计划购进甲种型号手机支架x个，销售完这批手机支架所获总利润为w元，请写出w与x的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)
(3)在(2)的条件下，若该超市要将这批手机支架的进货成本控制在2 370元以内(含2 370元)，且甲种型号手机支架最多购进24个，则进货方案有几种，最大利润为多少？
22．弹球游戏规则：弹球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图，甲站在原点处，从离地面高度为1 m的点A处抛出弹球，当弹球运动到最高处，即距离地面2 m时，弹球与甲的水平距离为2 m．弹球在B处着地后弹起，此次弹起的最大高度为原来最大高度的一半，再落至点C处．
(1)求弹球第一次着地前抛物线的解析式．(不要求写出x的取值范围)
(2)若不考虑筺的因素，求弹球第二次着地点到点O的距离．
(3)如果摆放一个底面半径为0.5 m，高0.5 m的圆柱形筐， 且筐的最左端距离原点9 m, 那么甲能投球成功吗？
六、解答题(本大题共12分)
23．【操作发现】
(1)如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则∠ABD的度数是________．
【类比探究】
(2)如图2，在等腰直角三角形ABC内取一点P，使∠APB＝135°，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP′，连接PP′.请猜想BP与CP′有怎样的位置关系，并说明理由．
【解决问题】
(3)如图3，在等腰直角三角形ABC内任取一点P，连接PA，PB，PC.求证：PC＋PA＞PB.
2024年江西中考数学中考模拟卷(一)答案
1．D　|2|＝2，|－2|＝2，||＝，|－5|＝5，
∵5＞2＞，
∴各数中，绝对值最大的数是－5.
2．C　a2＋a2＝2a2，故A运算错误，不符合题意；
2＝9a2b4，故B运算错误，不符合题意；
a6÷2＝a4，故C运算正确，符合题意；
2＝a2－2ab＋b2，故D运算错误，不符合题意．
3．D　根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开平铺在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形，又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形．
4．B　∵∠C＝90°，∠CAD＝32°，
∴∠ADC＝90°－32°＝58°.
∵GH∥EF，
∴∠DBE＝∠ADC＝58°.
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠DBE＝29°.
∵GH∥EF，
∴∠BAD＝∠ABE＝29°.
5．D　设矩形的长和宽分别为a，b.
∵矩形的长和宽是方程x2－7x＋8＝0的两个实数根，
∴a＋b＝7，ab＝8，
∴矩形的对角线长为＝＝＝.
6．C　观察题图可知，第1个图案中六边形的个数为7；第2个图案中六边形的个数为13＝7＋6；第3个图案中六边形的个数为19＝7＋6＋6……按此规律，第n个图案中六边形的个数为7＋×6＝6n＋1.故第22个图案中六边形的个数为6×22＋1＝133.
7．解析：根据题意得2－x≠0，
解得x≠2.
答案：x≠2
8．解析：在BC上截取BE＝BA，连接DE.
∵
∴△DBA≌△DBE(SAS)，
∴AD＝DE＝6.
∵AD＝CD＝6，
∴DE＝DC.
∵∠C＝60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴EC＝DE＝6，
∴BC－AB＝BC－BE＝EC＝6.
答案：6
9．解析：根据“乙给甲9只羊，那么甲的羊数为乙的2倍”可知x＋9＝2(y－9)；根据“甲给乙9只羊，那么两人的羊数相同”可知x－9＝y＋9, 故可列方程组
答案：
10．解析：∵(x＋8)2＋|y－7|＝0，(x＋8)2≥0，≥0，
∴2＝0，＝0，
则x＋8＝0，y－7＝0，
∴x＝－8，y＝7，
则2 024＝2 024＝2 024＝1.
答案：1
11．解析：∵＝2，
∴∠BCD＝2∠ACD.
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ABD＝30°.
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠CBD＝30°＋45°＝75°.
答案：75°
12．解析：令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝3，
∴A(0，)，B(3，0)，
∴OA＝，OB＝3.
∵tan ∠ABO＝＝，
∴∠ABO＝30°，∠BAO＝60°.
当△OAB≌△C1BA时，
∴C1B＝OA＝，C1A＝OB＝3，
∴C1 (3，)；
当△OAB≌△C2AB时，
∴C2B＝OB＝3，C2A＝OA＝，
∴∠C2AD＝180°－60°－60°＝60°，则∠DC2A＝30°，
∴AD＝C2A＝，DC2＝，
∴C2 ；
当△OAB≌△C3BA时，
同理得C3.
综上，点C的坐标为(3，)或或.
答案：(3，)或或
13．解：(1)2－－2sin 45°＋0
＝4－－2×＋1
＝5－2.
(2)方程两边同乘(x－2)，得1＝－(1－x)－3(x－2).
解这个方程，得x＝2.
检验：当x＝2时，x－2＝0，所以x＝2是增根，原方程无解.
14．解：(1)∵正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，
∴数字“6”朝下为不可能事件，
故答案为A.
(2)根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
共有16种等可能的情况，和为5即骰子前进到数字“6”那一格的情况有4种，所以骰子前进到数字“6”那一格的概率为.
15．解：如图，连接CF并延长交BE于点G.
在正方形ABCD中，CD∥AB，
∴∠CDE＝∠E.
∵F是DE的中点，
∴DF＝EF.
∵∠DFC＝∠EFG，
∴△DFC≌△EFG(ASA)，
∴CF＝FG，CD＝EG＝4 cm，
∴BG＝BC＝4 cm，F是CG的中点．
在正方形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠CBG＝90°，
∴CG＝＝＝4.
∴BF＝CG＝2 cm.
16．解：(1)本次调查的学生人数为16÷32%＝50(名)，
故答案为50.
(2)表示D组的扇形圆心角的度数为360°×＝14.4°.
(3)A组人数为50－(16＋28＋2)＝4(名)，
补全图形如下：
(4)1 200×＝720(名).
答：估计该校最近两周有720名学生的每日平均睡眠时长大于或等于9 h．
17．解：(1)设AO的延长线与圆交于点D,
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB＝AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，如图1，正六边形ABCDEF即为所求．
(2)圆的内接正八边形的中心角为360°÷8＝45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°，
∴在图2所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，
交圆于点B，此时∠AON＝45°.
∵∠NOP＝45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C，
同理，即可确定点D，E，F，G，H的位置，顺次连接，
如图2，正八边形ABCDEFGH即为所求．
18．解：(1)∵A(2，m)，B(4，n)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，
∴m＝，n＝，
＝＝×＝，
故答案为.
(2)①过A作y轴的垂线，垂足为D点，过B作y轴的平行线，并交DA延长线于E点，
∴∠ODA＝∠E＝90°，∴∠AOD＋∠DAO＝90°.
∵∠OAB＝90°，∴∠DAO＋∠EAB＝90°，∴∠DOA＝∠EAB，∴△AOD∽△BAE，
∴＝，∴＝.
又m＝2n，n＞0，∴n＝，∴k＝4，
故反比例函数解析式为y＝.
②法一：由①可知，A，B.
设直线AB解析式为y＝ax＋b，将A，B两点坐标代入，
得解得
故y＝－x＋3.当y＝0时，x＝6，∴C点坐标为(6，0).
法二：延长EB交x轴于F点．
∵EB＝BF，∠E＝∠EFC，∠ABE＝∠CBF，∴△AEB≌△CFB(ASA)，
∴AE＝FC＝2，
故C点坐标为(6，0).
19．解：(1)如图1所示，连接OF.
在平行四边形ABCD中，CD＝AB＝6.
在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝＝8.
设AO＝x，则DO＝10－x，OF＝x.
∵⊙O与边CD相切于点F，∴OF⊥CD.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥OF，
∴△DOF∽△DAC，∴＝，∴＝，
∴x＝，即AO＝.
(2)当⊙O与BC相切时，设切点为G，如图2，
S ABCD＝×6×8×2＝AD×OG＝10×OG，OG＝.
①当⊙O与边AD，CD分别有两个公共点时，＜AO＜，即此时⊙O与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4；
②⊙O过点A，C，D三点，如图3，⊙O与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AO＝5，
综上所述，AO的值的取值范围为＜AO＜或AO＝5.
故答案为＜AO＜或AO＝5.
20．解：(1)由题意可得cos ∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°.
(2)延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G.
在Rt△ABC中，tan ∠ACB＝，
∴AB＝BC·tan 75°≈0.60×3.732＝2.239 2(m)，
∴GM＝AB＝2.239 2(m).
在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin ∠FAG＝，
∴sin 60°＝＝，
∴FG≈2.165(m)，
∴FM＝FG＋GM≈4.4(m)，
答：篮板顶端F到地面的距离是4.4 m．
21．解：(1)设甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为a元、b元，
则解得
答：甲、乙两种型号手机支架的销售单价分别为40元、60元．
(2)由题意可得，
w＝(40－30)x＋(60－45)(60－x)＝－5x＋900，
即w与x的函数关系式是w＝－5x＋900.
(3)由题意可得，
30x＋45(60－x)≤2 370，
解得x≥22.
∵x≤24，x为整数，
∴x＝22，23，24.
∵w＝－5x＋900，
∴当x＝22时，w取得最大值，此时w＝790，
答：进货方案有三种，最大利润为790元．
22．解：(1)由题意可得，弹球第一次着地前抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋2，将A代入，得a＝－，
故弹球第一次着地前抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋2.
(2)当y＝0时，－(x－2)2＋2＝0，
解得x1＝2＋2，x2＝2－2，
∴B.
由从点B弹起的最大高度为原来最大高度的一半，可知第二段抛物线的最高点的纵坐标为1，故可设该抛物线的解析式为y＝－(x－b)2＋1，
将B代入，得b1＝2(舍去)，b2＝4＋2，
∴y＝－(x－4－2)2＋1，且对称轴为直线x＝4＋2，
∴C(6＋2，0)，即OC＝(6＋2) m.
故弹球第二次着地点到点O的距离为(6＋2) m.
(3)当x＝9时，y＝－(9－4－2)2＋1≈－0.18＜0，故甲不能投球成功．
23．解：(1)由题意可知AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝45°.
(2)BP⊥CP′.
理由：∵△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP′，
∴AP＝AP′，∠PAP′＝90°，∠AP′C＝∠APB＝135°，
∴∠APP′＝∠AP′P＝45°.
∵∠APB＝135°，
∴∠APB＋∠APP′＝180°，
∴点B，P，P′在同一直线上．
∵∠AP′C＝135°，∠AP′P＝45°，
∴∠PP′C＝∠AP′C－∠AP′P＝90°，
∴BP⊥CP′.
(3)如图，将△ABP绕顶点A逆时针旋转90°得到△ACP′，
∴△ACP′≌△ABP，
∴P′C＝PB，PA＝P′A.
连接PP′，∵∠PAP′＝90°，
∴PP′＝PA.
在△PCP′中，PC＋PP′＞P′C，

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