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27世纪教自
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18.2.3正方形
学习泪标
1.掌握正方形的概念、性质及判定方法
2.会运用正方形的性质和判定方法进行有关的证
明和计算，
3.通过分析平行四边形、矩形、菱形和正方形的
概念、性质之间的联系与区别，进一步加深对
“特殊与一殷”的认识，培养辩证统一的思想.
4.掌握正方形的对称性以及面积的计算方法.
@生活中，我们经常
瘟故知新
会遇到各种各样的正方
1.矩形的判定：(1)三个角都是直角的四边形；
形图案，这节课大家
(2)对角线相等的平行四边形；
起来认识一下正方
(3)有一个角是直角的平行四边形
形吧！
2.菱形的判定：(1)四条边都相等的四边形；
(2)一组邻边相等的平行四边形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形.
课堂直播间
沿能免所不能的你
1
正方形的概念和性质
②正方形的对角线相等且互相垂
(1)概念
直平分，每条对角线平分一组对角：
四条边都相等，四个角都是直
③正方形是中心对称图形，对
角的四边形叫做正方形.
角线的交点是它的对称中心；
识多一点点丫正方形既是有一组邻边相等
④正方形是轴对称图形，两条
的矩形，又是有一个角是直角的菱形，既是矩
对角线所在的直线以及过每一组对
形，又是菱形的四边形是正方形.
边中点的直线都是它的对称轴，
识多一点点
(2)性质
(1)正方形具有菱形和矩形的
一切性质。
①正方形的四条边都相等，四
(2)正方形的每一条对角线把正方形分成
个角都是直角：
配人教版数学八年级下199
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两个全等的等腰直角三角形，两

.四边形PECF为矩形，
条对角线把正方形分成四个小的
.PC=EF,.'.AP=EF.
全等的等腰直角三角形
视频讲解
解题有妙招(1)在正方形中，常利用对角
(3)若正方形的边长为，则对角线的长
线互相垂直平分证明线段相等：(2)无论是正
为√2a,面积为a2.
方形还是矩形，经常通过连接对角线使分散
(4)正方形是轴对称图形，它有四条对
的条件集中。
称轴】
【即学即试】见P104各个击破一
(5)正方形一条对角
平行四边形
线上的一点到另一条对角
正方形的判定
正
线的两瑞距离相等，
菱
判定一个四边形是正方形可以
形
(6)矩形、菱形、正方
先判定它是矩形，再判定它是菱形；
形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系
或先判定它是菱形，再判定它是矩
如图所示.
形.具体方法：(1)先证它是矩形，再
证它有一组邻边相等或对角线互相
18
例①如图，过正方形ABCD的对角线
垂直；(2)先证它是菱形，再证它有
BD上一点P,作PE⊥BC于点E,
章
一个角是直角或对角线相等.
作PF⊥CD于点F.求证：AP=EF.
学霸笔记。
(1)正方形的两种判定方法均要用到矩形
项井解
和菱形的判定定理，矩形和菱形的判定定理
是判定正方形的基础.(2)上述两种判定方法
是判定四边形是正方形的一般方法，可当作
分析连接AC,PC,由PE⊥BC,PF
判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱
⊥CD,知四边形PECF为矩形，故
形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以
有EF=PC,这时只需证AP=CP
判定一个四边形是不是正方形的具体方法也
由正方形的对角线互相垂直平分，
可作相应变化，在应用时要仔细辨别，然后作
知AP=CP
出判断.(3)对角线互相垂直平分且相等的四
证明胆如图，连接AC,PC
边形是正方形
四边形ABCD是正方形，
例②如图所示，在
.BD垂直平分AC,.AP=CP.
△ABC中，∠ACB=
,PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD
90°，CD
平分
=90°，
1001配人敦版数学八年级下~
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八级
数
424
17
cm.
∴BM=BC-CM=B-1，
2
学
当CD为斜边时，CD3=AC2+AD2,即(34
∴.BH=√HME+BE=√2.
参
x)2=62+x2+242,解得x=8,即BC=8cm.
故答案为√2.
综上，当点C距离点B号cm或8cm时，
案
△ACD是直角三角形，并且AD是其中一条
直角边
第十八章
平行四边形
9解曰四边形ABCD是平行四边形，
SABCD=2SAABC.
18.1平行四边形
,'BF=2AF,△BEA与△BEF中过点E的
18.1.1平行四边形的性质
高相等，S%E=号S6
“极速特训营
同理，S△AC=
23
S△EF=
1解3图中共有18个平行四边形.
9
S△m.
表示略。
2D 3B 4D 5B 6B 7B
六SD=2SAc=2X号SAF=2X
8√2解析如图所示，过点H作HM⊥BC于
9
X2=9(cm2).
点M,
18.1.2平行四边形的判定
由作图方法可知，BH平分∠ABC,
∠ABH=∠CBH,
极速特训营
四边形ABCD是平行四边形，
1解9CD∥AE且CD=AE.
.BC=AD=√3+1，AB∥CD,
证明如下：，∠EAO=∠OCD,∴·AE∥CD
.∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=
又，EC∥AD,
30°，
四边形ADCE为平行四边形，
∴∠CBH=∠CHB,
.CD∥AE且CD=AE.
.CH=BC=√3+1，
2B3D
HM-CH-+1
4证明E在平行四边形AECF中，OA=OC,OE
2
=OF.
∴CM-=√CH-HMP-3+E
:E,F分别是BO,OD的中点
2221配人敷版数学八年级下，
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D八级
..2OE=2OF,即OB=OD.
∠OBE=∠ODF,
数
又.OA=OC,
在△BOE和△DOF中，OB=OD,
学
四边形ABCD是平行四边形
∠BOE=∠DOF,
5证明3(1)，BE=CF,
∴.△BOE2△DOF(ASA).
..BE+EC=EC+CF.
(2),△BOE≌△DOF,
.BC=EF,
..EO=FO.
参考答案
在△ABC和△DFE中，
.OB=OD.
(AB=DF.
,四边形BEDF是平行四边形
AC=DE,
.DE=BF.
BC=FE.
7C解析如图所示，过点B作BE⊥AC,垂足
..△ABC≌△DFE(SSS),
为E.由题意知OC是△ABE的中位线，则h1
∠ABC=∠DFE,
=20C,同理可得h2=2OC..h1=h2=2OC
∴.AB∥DF,
B
又AB=DF,
,四边形ABDF是平行四边形
(2)由(1)知，△ABC≌2△DFE.
8B
解折，D,E,F分别是BC,AC,AB的
∴∠ACB=∠DEF,AC=DE,
AE=AC,
中点，
.·∠AEC=∠ACE=∠DEF,AE=DE,
∴.EF,ED都是△ABC的中位线，
,.∠AEB=∠DEB,
:EF/∥BC,ED/AB且EF=合BC=号X8
在△AEB和△DEB中，
=4,ED=2AB=2×6=3,
EB=EB.
X∠AEB=∠DEB,
四边形BDEF是平行四边形，
AE=DE.
∴.BD=EF=4,BF=ED=3,
,.△AEBC2△DEB(SAS),
'.四边形BDEF的周长为BF十BD十ED十
∴.AB=DB.
EF=3+4+3十4=14.
6证明照(1)，四边形ABCD是平行四边形，O
故选B.
是BD的中点，
9(1)证明E由题意，得
AB∥DC,OB=OD,
∠1=∠2，∠ANB=∠AND=90°
,.∠OBE=∠ODF
在△ABN和△ADN中，
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