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2023-2024学年度第一学期高一数学期末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则=（ ）
A．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．(1,2]
2.如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．或
3.若.则=( )
A. B. C. D.
4.著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初试热度为，经过时间(天）之后的新闻热度变为,其中为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数,要使该篇新闻的热度降到初试热度的10％以下，需要经过（ ）天.（参考数据：）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5.已知,则（ ）.
A. B. C. D.
6.如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
7.函数，其单调性是（ ）
A.在上是增函数，在上是减函数.
B.在上是增函数，在和上都是减函数.
C.在上是增函数，在上是减函数.
D.在和上都是增函数，在上是减函数.
8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知是第四象限角，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C. D．
10.下列说法正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”.
B.若集合A={x|ax2+x+1=0}只有一个元素，则 .
C.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是（-2，3），则不等式cx2-bx+a<0的解集是.
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.
11.已知函数,则（ ）
A.是图象的一条对称轴 B.图象关于点对称
C.将的图象向右平移得到的图象 D.的值域为[-1,3]
12.已知函数的定义域为（0，+∞），对都有，且当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.函数在（0，+∞）上单调递减
C.
D.满足不等式的x的取值范围是
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数的图象经过定点A，则点A的坐标为 .
14.的值是 .
15.函数的值域是 .
16.给出下列命题：
①幂函数图象不过第四象限；
②y＝x0的图象是一条直线；
③若函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
④若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
⑤若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
其中所有假命题的序号是 ．
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分亲，18题、19题、20题、21题、23题满分各12分.
17.（本题满分10分）
如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
⑴求tan(α+β)的值;
⑵求α+2β的值.
18.（本题满分12分）
f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数．
⑴用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
⑵解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
19.（本题满分12分）
已知“ x∈(-1,1)，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．
⑴求实数m的取值集合A；
⑵设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．
20.（本题满分12分）
有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图.
⑴设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；
⑵当满足取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角的值及的最大值.
21.（本题满分12分）
已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2）．
⑴求f（x）的定义域及单调区间；
⑵求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
⑶设函数g（x）＝log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
22.（本题满分12分）
已知.
⑴若对于恒成立，求实数k的取值范围；
⑵设函数,在区间（0，+∞）上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合,,则=（ ）
A．[0,2] B．(0,2] C．(0,2) D．(1,2]
【答案】B
【解析】集合A={x|0≤x≤2},B={x|x>0},则A∩B={x|02.下如果不等式|x﹣a|＜1成立的充分不必要条件是，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】根据题意，不等式|x﹣a|＜1的解集是a﹣1＜x＜a+1，设此命题为p，
命题 ，为q；
则p的充分不必要条件是q，即q表示的集合是p表示集合的真子集；
则有 ，（等号不同时成立）；解可得；故选A．
3.若.则=( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由
,则.故选D.
4.著名物理学家牛顿在17世纪提出了牛顿冷却定律，描述温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.新闻学家发现新闻热度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，新闻热度会逐渐降低，假设一篇新闻的初试热度为，经过时间(天）之后的新闻热度变为,其中为冷却系数.假设某篇新闻的冷却系数,要使该篇新闻的热度降到初试热度的10％以下，需要经过（ ）天.（参考数据：）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】 依题意得，,即,∴
7.677,则经过8天后，热度下降到初试热度的10％.故选C．
5.已知,则（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，故选C.
6.如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
【答案】B
【解析】∵不等式x2函数，其单调性是（ ）.
A.在上是增函数，在上是减函数.
B.在上是增函数，在和上都是减函数.
C.在上是增函数，在上是减函数.
D.在和上都是增函数，在上是减函数.
【答案】A
【解析】∵函数上单调递减，在上单调递增，∴的单调性是：在上是增函数，在上是减函数.故选A．
8.已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B　
【解析】∵函数为偶函数，则，可得，
∵函数为奇函数，则，∴，
∴，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
则，其它三个选项未知.故选B.
选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知是第四象限角，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C. D．
【答案】BD
【解析】由是第四象限角，得,∴
,即,,而得符号无法确定，故选BD.
10.下列说法正确的是（ ）
A.命题“”的否定是“”.
B.若集合A={x|ax2+x+1=0}只有一个元素，则 .
C.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是（-2，3），则不等式cx2-bx+a<0的解集是.
D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分不必要条件.
【答案】CD
【解析】命题“”的否定是“”,则A错误；当x=0时，集合A中也只有一个元素，B错误；∵不等式ax2+bx+c>的解集为（-2，3），∴
,则,∴不等式cx2-bx+a<0可化为,其解集为,
C正确；D显然是正确的.故选CD.
11.已知函数,则（ ）
A.是图象的一条对称轴 B.图象关于点对称
C.将的图象向右平移得到的图象 D.的值域为[-1,3]
【答案】ABCD
【解析】由的图象可得，ABCD都正确.
12.已知函数的定义域为（0，+∞），对都有，且当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.函数在（0，+∞）上单调递减
C.
D.满足不等式的x的取值范围是
【答案】ACD
【解析】方法1：∵对都有，∴，得，A正确；对，，
即有，则在（0，+∞）上单调递增，B错误；
∵,则C正确 ；
由得，∵在（0，+∞）上单调递增，
∴不等式 解得，D正确
故选ACD.
方法2：直接取，满足函数性质，验证得ACD正确.故选ACD.
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数的图象经过定点A，则点A的坐标为 .
【答案】（，0）
【解析】令,解得,则定点A的坐标为（，0）.
14.的值是 .
【答案】-1
【解析】
.
15.函数的值域是 .
【答案】[,1].
【解析】方法1(基本不等式法）：∵
而,即或4.
∴或,
则此函数的值域为[,1].
方法2（判别式法）：当x=-1时，y=0;当1时，由函数式可得yx2-yx+2y=x+1,
即yx2-(y+1)x+2y-1=0,由于这个一元二次方程有解，
∴,解得,
则此函数的值域为[,1].
16.给出下列命题：
①幂函数图象不过第四象限；
②y＝x0的图象是一条直线；
③若函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；
④若函数y＝的定义域是{x|x>2}，则它的值域是；
⑤若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|－2≤x≤2}．
其中所有假命题的序号是 ．
【答案】②③④⑤
【解析】由幂函数图象易知①正确；y＝x0的图象是直线y＝1上去掉点(0，1)，②错误；函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|02}，则它的值域是，④错误；若函数y＝x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域也可能是{x|0≤x≤2}，⑤错误．所以假命题的序号是②③④⑤.
四、解答题：本题共6道题，共70分.第17题10分，18题、19题、20题、21题、22题满分各12分.
17.如图,在平面直角坐标系中,以x轴非负半轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
⑴求tan(α+β)的值;
⑵求α+2β的值.
【答案】⑴-3 ⑵
【解析】 由条件得cos α=,cos β=.
∵α,β均为锐角,∴sin α==,sin β==.
因此tan α==7,tan β==.
⑴tan(α+β)===-3.
⑵∵tan 2β=tan(β+β)===,
∴tan(α+2β)===-1.
又∵α,β均为锐角,∴0<α+2β<,则α+2β=.
18.f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数．
⑴用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
⑵解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.
【答案】⑴详见解析 ⑵.
【解析】⑴证明：设x1，x2∈(－1，1)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴x1－x2＜0，1－x1x2＞0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
则函数f(x)在(－1，1)上是增函数．
⑵由函数f(x)是定义在(－1，1)上的奇函数且f(t－1)＋f(t)＜0，
得f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)，又由(1)可知函数f(x)在(－1，1)上是增函数，
∴有 0＜t＜，
∴不等式的解集是.
19.已知“ x∈(-1,1)，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．
⑴求实数m的取值集合A；
⑵设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为B，若x∈A是x∈B的必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】⑴{m|；⑵.
【解析】⑴由题意，知m＝x2－x＝.
由－1故A＝{m|.
⑵由x∈B是x∈A的必要条件，知A B.
①当a>2－a，即a>1时，B＝{x|2－a则 解得.
②当a<2－a，即a<1时，B＝{x|a则 解得.
③当a＝2－a，即a＝1时，B＝ ，不满足A B.
综上可得，实数a的取值范围为.
20.有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在半圆周上，如图.
⑴设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；
⑵当满足取得最大值时，开发效果最佳，求出开发效果最佳的角的值及的最大值.
【答案】⑴；
⑵时，有最大值.
【解析】⑴如图，连接，在中，，
因为 ,
⑵，
令=，∵，
∴， ，
∵在上单调递增，
∴时有最大值，此时.
21.已知函数f（x）＝log4（2x+3﹣x2）．
⑴求f（x）的定义域及单调区间；
⑵求f（x）的最大值，并求出取得最大值时x的值；
⑶设函数g（x）＝log4[（a+2）x+4]，若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】⑴定义域为（﹣1，3），单调增区间为（﹣1，1]，单调减区间为[1，3）;
⑵当x＝1时，f（x）取最大值1 ； ⑶ a≥﹣2．
【解析】⑴令2x+3﹣x2＞0，解得x∈（﹣1，3），即f（x）的定义域为（﹣1，3），
令t＝2x+3﹣x2，则y＝log4t，∵y＝log4t为增函数，
x∈（﹣1，1]时，t＝2x+3﹣x2为增函数；
x∈[1，3）时，t＝2x+3﹣x2为减函数；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，1]；f（x）的单调减区间为[1，3）
⑵由（1）知当x＝1时，t＝2x+3﹣x2取最大值4，此时函数f（x）取最大值1；
⑶若不等式f（x）≤g（x）在x∈（0，3）上恒成立，
则2x+3﹣x2≤（a+2）x+4在x∈（0，3）上恒成立，
即x2+ax+1≥0在x∈（0，3）上恒成立，即a≥﹣（x+）在x∈（0，3）上恒成立，
当x∈（0，3）时，x+≥2，则﹣（x+）≤﹣2，故a≥﹣2．
22.已知.
⑴若对于恒成立，求实数k的取值范围；
⑵设函数,在区间（0，+∞）上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.
【答案】(1)∴；(2)详解见解析
【解析】(1)
∵恒成立， ∴恒成立.
∵, ∴,,即
∴.
⑵函数在区间（0，+∞）上连续不断，
①∵和在区间(0,2[上都单调递增，∴在区间（0，2]上单调递增.
又∵,,∴,
根据零点存在性定理，存在,使得,
∴在区间（0，2]上有且只有一个零点；
②当时，单调递增，∴,
又∵1，∴，在上没有零点.
综上，有且只有 一个零点.
∵,∴
∴,,
∵函数在区间上单调递减，∴,
则.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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