资源简介

串讲 复数
一、知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
（一）复数的概念
1.虚数单位
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律）.
2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系
对于复数（），
复数的分类如下:
（）
4.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
5.复数相等的模
定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
公式：|z|＝|a＋bi|＝.
6.共轭复数
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
（二）复数的运算
1.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
（三）复数范围内实系数一元二次方程的解
在复数范围内讨论实系数一元二次方程(a≠0)的解的情况为
四、常考题型探究
考点一 复数的概念
例1．复数，则复数的实部和虚部分别是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
【答案】C
【详解】由题意，则复数的实部和虚部分别是1和2.
故选：C
例2．已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：
(1)实数；(2)纯虚数.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：若为实数，则，得：.
（2）解：若为纯虚数，则且，解得：.
例3．适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．
【详解】根据复数相等的定义可得，，解得.
故选：A．
【变式探究】1. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】应用复数加法求，根据实部、虚部定义得答案.
【详解】因为，，所以，其实部与虚部分别为，.
故选：A
2．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】化简后，得到方程与不等式，求出.
【详解】因为为纯虚数，
所以，解得.
故选：D．
3．若，则____.
【答案】0
【详解】，又，
则，解之得，则
故答案为：0
考点二 复数的几何意义
例1．设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【详解】，，
在复平面内对应的点为，在第一象限，
故选：A.
例2．设，则对应的复数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，所以对应的复数是.
故选：D.
例3．复数（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知．
故选：D．
例4．关于复数的方程在复平面上表示的图形是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线
【答案】B
【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案.
【详解】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，
所以关于复数的方程在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.
故选：B
【变式探究】1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义求出即可.
【详解】因为，
所以对应复平面内点的坐标，
所以位于第二象限，
故选：B
2. 如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可知，，所以z在复平面内所对应的点为，
则.
故选：C.
3. 若，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【详解】由，
故选：A
4. 若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，进而求出其面积.
【详解】在复平面对应的点是半径为2的圆及圆内所有点，，
故选：D.
考点三 复数的运算
例1. 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据复数的加减运算逐一计算即可得出（1）~（4）的答案；
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
例2. 若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出复数后再计算模长即可得.
【详解】由，则，
则.
故选：A.
例3. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.
【详解】因为，所以虚部为1.
故选：D．
例4. 在复平面内，复数对应的点位于 ．
【答案】第一象限
【分析】先化简，再利用复数的几何意义即可判断.
【详解】因为,所以复数对应的点，位于第一象限.
故答案为：第一象限
【变式探究】1. 设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】讲复数转化为复平面上的点的坐标进行判断即可.
【详解】根据复数运算可知：，在复平面对应的点的坐标为，
位于第二象限.
故选：B
2. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的除法法则直接计算.
【详解】由，
得，
故选：C．
3. 计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据复数的乘法运算计算即可得出答案.
【详解】（1）解：；
（2）解：.
考点四 解实系数一元二次方程
例1. 已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．
(1)求和．
(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．
【答案】(1)，(2)（答案不唯一）
【详解】（1）解：因为是实系数一元二次方程的两个虚数根，
则互为共轭复数，
设，，代入中，
得，整理得，
，解得，，；
（2）；，
以和为根的实系数一元二次方程可以为．
【变式探究】已知复数是关于的方程的一个根，则__________.
【答案】
【详解】由求根公式可得或，
所以
故答案为：串讲 复数
一、知识网络
二、常考题型
三、知识梳理
（一）复数的概念
1.虚数单位
（1）它的平方等于，即；
（2）与－1的关系: 就是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；
（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律）.
2. 概念
形如（）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部。
说明：这里容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。
3.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系
对于复数（），
复数的分类如下:
（）
4.复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：
如果，那么.
特别地: .
5.复数相等的模
定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.
记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.
公式：|z|＝|a＋bi|＝.
6.共轭复数
两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：
复数和（）互为共轭复数。
（二）复数的运算
1.复数的代数形式
复数通常用字母表示，即（），把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式。
2.四则运算
；；
复数除法通常上下同乘分母的共轭复数：
（三）复数范围内实系数一元二次方程的解
在复数范围内讨论实系数一元二次方程(a≠0)的解的情况为
四、常考题型探究
考点一 复数的概念
例1．复数，则复数的实部和虚部分别是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
例2．已知复数，试求实数为什么值时，复数分别为：
(1)实数；(2)纯虚数.
例3．适合的实数x、y的值为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【变式探究】1. 已知复数，，则的实部与虚部分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．若，则____.
考点二 复数的几何意义
例1．设复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．设，则对应的复数是（　　）
A． B． C． D．
例3．复数（i为虚数单位），则（ ）
A．1 B． C． D．
例4．关于复数的方程在复平面上表示的图形是（ ）
A．椭圆 B．圆 C．抛物线 D．双曲线
【变式探究】1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2. 如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A． B． C． D．
3. 若，则（ ）
A． B． C．3 D．2
4. 若复数满足，则复数在复平面内对应点组成图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点三 复数的运算
例1. 计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2. 若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
例3. 已知为虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A． B． C．0 D．1
例4. 在复平面内，复数对应的点位于 ．
【变式探究】1. 设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
3. 计算：
(1)；
(2)．
考点四 解实系数一元二次方程
例1. 已知是实系数一元二次方程的两个虚数根，且满足方程．
(1)求和．
(2)写出一个以和为根的实系数一元二次方程．
【变式探究】已知复数是关于的方程的一个根，则__________.

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