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第6章 假设检验
假设检验的一般问题
单个总体参数的假设检验
两个总体参数的假设检验
学习目标
理解假设检验的基本原理
掌握均值、比例、方差检验的基本方法
熟悉运用Excel进行假设检验的操作过程，并能根据所学基本理论对输出结果做出合理分析与评价
6.1 假设检验的基本问题
6.1.1 假设检验的概念
假设检验是统计推断中的一项重要内容，它是先对总体的参数做出某种假设，然后通过样本的观察来决定假设是否成立。
6.1.2 假设检验的基本思想
假设检验的基本思想是应用小概率的原理。
所谓小概率原理是指发生概率很小的随机事件在一次实验中是几乎不可能发生的。
6.1.2 假设的建立方法
假设检验中，需要提出两种假设，即原假设和备择假设。
原假设通常是研究者想收集证据予以反对的假设，也称零假设，用 H0 表示。
备择假设通常是研究者想收集证据予以支持的假设，也称为研究假设，用 H1 表示。
实际中一般视问题的要求给出一个参考值α，然后依据检验时实际发生的概率 p 与α的比较加以判断。
【例6.1】一种零件的标准直径为10cm，为了对生产过程进行质量监控，研究人员定期对一台机床生产的零件进行抽检，确定是否符合标准，零件大于或小于10cm均属不正常，陈述用来检验生产过程是否正常的原假设和备择假设。
解：设这台机床生产的所有零件平均直径的真值为μ。如果μ=10表明生产过程正常，如果μ>10或μ<10，则表明机床的生产过程不正常，研究者要检测这两种可能情况中的任何一种。
根据原假设和备择假设的定义，研究者想收集证据予以证明的假设应该是“生产过程不正常”，因为如果研究者事先认为生产过程正常，他也就没有必要去进行检验了。
建立的原假设和备择假设应为：
(生产过程正常)
(生产过程不正常)
【例6.2】某品牌洗涤剂，厂家在它的说明书中声称，平均净含量不少于500克。从消费者利益出发，有关人员要通过抽检一批产品，来验证该产品制造商的说法是否属实。试陈述用于检验的原假设与备择假设。
解：设该品牌洗涤剂的平均净含量的真值为μ。如果抽检的结果发现μ<500，则表明该产品说明书中关于其净含量的内容是不真实的，有关部门应对其采取相应的措施。
一般来说，研究者抽检的意图是倾向于证实这种洗涤剂的平均净含量并不符合说明书中的陈述，因为这会损害消费者的利益，如果研究者对产品说明丝毫没有质疑，也就没有抽检的必要了。所以μ<500是研究者想要收集证据支持的观点。
建立的原假设和备择假设应为：
(净含量符合说明书)
(净含量不符合说明书)
【例8.3】一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30％。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设。
解：一家研究机构估计，某城市中家庭拥有汽车的比率超过30％。为验证这一估计是否正确，该研究机构随机抽取了一个样本进行检验。试陈述用于检验的原假设与备择假设。
建立的原假设和备择假设应为：
(家庭拥有汽车的比率不超过30％)
(家庭拥有汽车的比率超过30％)
6.1.4 假设检验的基本形式
假设检验的基本形式包括单侧检验与双侧检验。
在单侧检验中，由于研究者感兴趣的方向不同，又分为左侧检验和右侧检验。
1.双侧检验
双侧检验的目的是观察在给定的显著性水平下所抽取的样本统计量是否显著高于或低于假设的总体参数。
在正态分布的情况下，拒绝域就是标准正态分布曲线下两个尾部面积，左右各占α/2，如下图所示：
2.单侧检验
⑴左侧检验
当样本平均数显著地低于假设的总体参数，就拒绝原假设H0 接受备择假设H1，其拒绝域是在样本平均数分布的左端，所以称之为左侧检验。
该检验是被检验的数值越大越好，因此左侧检验也被称之为下限检验。
⑵右侧检验
当样本平均数显著地超过假设的总体参数，就拒绝原假设H0 接受备择假设H1 ,其拒绝域是在样本平均数分布的右端，所以称之为右侧检验。
右侧检验是被检验的数值越小越好，因此右侧检验也称之为上限检验。
6.1.5 假设检验的一般步骤
依据原假设与备择假设的定义提出原假设与备择假设，一般可分为三种。以总体均值为例，这三种提法如下：
1.提出假设
m > m0
m < m0
m ≠m0
H1
m m0
m m0
m = m0
H0
右侧检验
左侧检验
双侧检验
研究的问题
假设
2.确定适当的检验统计量
如同参数估计一样，选择什么统计量，要根据总体分布情况、样本容量大小、样本方差是否已知来确定。
例如，在总体平均数的假设检验中，如果总体近似服从正态分布，而且方差已知，则应采用统计量：
3.选择显著性水平α，确定检验统计量的临界值
如果总体方差未知而且是小样本，则要采用统计量：
显著性水平应根据研究问题所需的精确度和可靠程度而定，常用的是1%、5%、10%。
根据显著性水平，查对应的概率分布表得到检验统计量的临界值，即确定接受域与拒绝域的分界点。
4.将计算的检验统计量与临界值比较，做出决策
将利用样本数据计算的检验统计量值与临界值相比较，做出接受或者拒绝原假设的判断。如果检验统计量的绝对值大于临界值，则拒绝原假设；反之，则接受原假设。
/ 2
/ 2
z
0
临界值
临界值
拒绝
计算出的样本统计量
1/2 P 值
计算出的样本统计量
拒绝
1/2 P 值
6.2 单个总体参数的假设检验
6.2.1 单个总体均值的假设检验
1.总体方差已知
大样本情况下，无论总体是否为正态分布，由样本计算出的均值服从正态分布；而小样本情况下，则需要假定总体服从正态分布。
因而，在总体方差已知大样本或小样本的情况下，根据抽样分布理论，样本均值标准化后服从标准正态分布，检验统计量为：
设总体X~N(μ,σ2)，总体方差σ2为已知，(x1,x2,...,xn)为总体的一个样本，样本平均数为 。
现在的问题是对总体均值μ进行假设检验，即：
根据抽样分布理论，样本平均数
【例6.4】某食品厂生产一种罐装食品，每罐的标准净重为300克，根据以往的经验标准差是3.5克。目前企业生产一批这样的产品准备出口，为了检验产品净重的质量水平，从该批产品中随机抽取25罐进行净重检验，测得其平均净重为302克，假定罐装食品的净重服从正态分布，在α=5%的显著性水平下，分析该批产品净重是否符合标准要求。
解 根据给定资料，从供需双方利益来看，高于或低于标准都不符合要求，显然这是一个双侧假设检验问题。提出假设：
根据已知资料计算的检验统计量为：
已知n=25，临界值为：
z
0
1.96
-1.96
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
因为
所以拒绝原假设，接受备择假设。即该批罐装食品净重不符合标准要求，比标准显著地高。
2.总体方差未知，大样本
在总体方差未知、大样本的情况下，可以用样本方差代替总体方差。根据抽样分布理论，样本均值标准化后服从标准正态分布，检验统计量为：
【例6.5】某批发商购进一批灯泡，根据双方合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1100小时。在该批灯泡中随机抽取100个，测得样本均值为980小时，标准差为250小时，批发商是否应该购买这批灯泡？
解 批发商能接受的灯泡寿命是1100小时，超过越多越好，低于不能容忍。
但即使总体均值是1100小时，由于抽样的随机性，样本均值也可能低于1100小时，批发商更为关注可以容忍的下限。所以这是一个左测检验问题。
提出假设：
根据已知资料计算的检验统计量为：
已知n=25，临界值为：
z
0
-1.65
拒绝 H0
0.05
因为
该样本落在了左侧的拒绝域，所以拒绝原假设，接受备择假设。即批发商不应购买这批产品。
设总体X~N(μ,σ2)，总体方差σ2未知时，可以用样本方差来代替。
利用服从 t 分布的统计量去检验总体均值的方法称为 t 检验法。
3.正态总体，方差未知，小样本
根据抽样分布理论，样本均值标准化后不再服从标准正态分布，而是服从 t 分布，检验统计量为：
【例6.6】在某种染料中加入一种试剂，按规定其含量不能超过0.5%。现欲调查是否超过标准，随机抽查了5份样品，得到的数据为0.53%、0.542%、0.52%、0.496%、0.525%。若染料中该试剂含量符合正态分布，试在α=5%的显著性水平下，说明染料中该试剂含量是否符合规定。
解 根据已知资料得：
因此，可建立如下假设：
由α=0.05，n=5，查表得临界值：
拒绝原假设。即染料中该试剂的含量超过规定的标准。
根据要求0.5%是该试剂含量的最高限，只能低于，越低越好，但不能超过，现在样本值超过了，这一结果是偶然事件还是具有统计意义？显然这是一个检验样本是否超过某一个规定界限的右侧检验。
根据已知数据计算的检验统计量为：
因为：
t
0
拒绝域
0.05
2.1319
6.2.2 单个总体比例的假设检验
对总体比例的检验通常是在大样本条件下进行的，根据正态分布来近似确定临界值，即采用 z 检验法。
检验统计量为：
其中 P 为总体比例，通常用样本比例 p 或以前的总体比例P来代替。
【例6.7】某地环保部门声称，该地符合废气排放标准的工业企业至少达到70%，但某环境保护组织对此表示怀疑，于是从该地工业企业中随机抽取60家进行调查，发现有36家企业符合废气排放标准。试在α=5%的显著性水平下检验环保部门的结论是否属实？
解 依题意，环境保护组织怀疑该地环保部门的说法，力图搜集证据证实没有达到如此高的比例，这是个左侧检验问题。
检验的假设为：
已知n=60，n1=36，得：
根据已知资料计算的检验统计量为：
显著性水平α=5%，查表确定左侧检验的临界值：
z
0
-1.65
拒绝 H0
0.05
因为
所以拒绝原假设，接受备择假设。即可以认为环保部门所说的该地废气排放符合标准的企业至少达到70%是不可信的。
给定检验的置信水平α，可查分布表确定临界值和拒绝区域。
6.2.3 单个总体方差的假设检验
对总体指标的检验，除了均值、比例的检验外，还有方差的检验，这关系到产品的稳定性问题。与均值、比例不同的是，方差检验使用卡方检验。
统计量为：
【例6.8】根据正常生产资料可知，某厂生产的维尼纶的纤度服从正态分布，其方差为0.0026，现从某日产品中随机抽取20件，测得样本方差为0.0046，试判断该日纤度的波动与平时的正常情况有无差异(α=5%)。
解 根据已知资料建立假设：
右侧检验
检验统计量为：
根据α=5%，查表得：
拒绝原假设而接受备择假设，即这种产品该日纤度的波动与平时的正常波动情况比有显著差异。

2
0
32.8523
α/2=0.025
因为
单个正态总体参数的检验
单个正态总体参数的检验
z 检验
t 检验
均值
比例
方差
大样本
小样本
z 检验
检验
方差已知
方差未知
z 检验
6.3 两个总体参数的假设检验
6.3.1 两个总体均值之差的假设检验
1.两个总体均值之差的假设检验：独立样本
假设的形式：
假设
检验的形式
双侧检验
左侧检验
右侧检验
H0
1 – 2 = 0
1 – 2 0
1 – 2 0
H1
1 – 2 0
1 – 2 < 0
1 – 2 > 0
两个总体均值之差的假设检是以两个样本均值之差的抽样分布为基础构造出来的。由于总体分布、样本容量、总体方差是否已知等情况的差异，检验统计量也有所不同。
⑴两个总体方差已知
大样本情况下，无论两个总体是否服从正态分布，由两个独立样本计算出的均值之差服从正态分布；而小样本情况下，则需要假定两个总体都服从正态分布。
在方差已知、大样本或小样本的情况下，两个样本均值之差标准化后服从标准正态分布，检验统计量为：
⑵两个总体方差未知，大样本
如果两个总体方差未知，则可用样本方差代替。两个样本均值之差标准化后服从标准正态分布，检验统计量为：
【例6.9】某种产品其抗拉强度是重要的特征值，现在用两种不同的方法进行生产，为检测两种方法下抗拉强度的差异，从两种方法生产的产品中各抽取一个随机样本，测得样本数据(单位：千克)如下表所示。试在α=5%的显著性水平下，检验两种方法生产出来的产品平均抗拉强度是否有显著差异？
双侧检验
两个独立样本相关数据
方法2
方法1
解 根据已知资料，建立假设：
检验统计量为：
已知α=5%，查表得临界值：
z
0
1.96
-1.96
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
因为
所以，拒绝原假设而接受备择假设。
①两个总体方差未知，方差相等
当两个总体方差未知且相等时，需要利用样本资料计算出样本合并方差，作为总体方差的估计值。
样本合并方差为：
两个样本均值之差经过标准化后服从自由度为(n1+n2-2)的t 分布，检验统计量为：
【例6.10】甲乙两台机床同时加工某种同类型零件，已知两台机床加工的零件直径服从正态分布，并且方差相等。为比较两台机床加工零件的平均直径有无显著差异，分别从各机床加工的零件中随机抽取8个，通过测量获得数据如下表所示：
⑵两个总体方差未知，小样本
机床加工的零件直径
30.6
30.3
29.7
30.5
30.9
29.6
29.9
30.8
乙机床
30
29
30
30.2
30.5
29.8
29.9
30.6
甲机床
试在5%的显著性水平下，检验两台机床加工的零件直径是否一致。
解 建立假设：
根据上表样本数据计算得：
甲机床：
乙机床：
样本合并方差为：
双侧检验
检验统计量为：
显著性水平α=5%，查 t 分布概率表得临界值：
t
0
2.1448
-2.1448
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
因为
所以，接受原假设。即两台机床生产的产品平均直径没有显著差异。
②两个总体方差未知，方差不相等
当两个总体方差未知且不相等时，两个样本均值之差标准化后服从自由度为 v 的 t 分布，统计量为：
式中自由度的公式为：
【例6.11】为估计两种不同方法组装产品所需时间的差异，分别对两种产品组装方法各随机安排10名工人进行操作，每名工人组装一件产品所需的时间如下表所示：
两种方法组装产品所需时间
37.5
43.4
42.0
37.0
40.2
34.0
43.8
42.0
33.3
38.7
方法2
38.0
44.5
48.5
47.1
39.9
42.1
47.6
30.1
41.2
39.4
方法1
假定组装时间服从正态分布，方差未知且不相等，试在α=5%的条件下，检验方法1所需平均时间是否显著高于方法2？
右侧检验
解 建立假设：
根据表中样本数据计算得：
方法1：
方法2：
检验统计量为：
检验的自由度为：
已知α=5%，n=16，查表得临界值:
t
0
拒绝域
0.05
1.7459
因为
所以不能拒绝原假设，即第1种方法组装产品的平均时间没有显著地高于第2种方法。
第1步：选择“工具” 菜单，选择“数据分析”选项
第2步：选择“ t 检验，双样本异方差假设”
第3步：当出现对话框后
在“变量1的区域”方框内键入数据区域
在“变量2的区域”方框内键入数据区域
在“假设平均差”的方框内键入0
在“α(A)”框内键入0.05
在“输出选项”中选择输出区域
选择“确定”
两个总体方差未知且方差不相等的Excel操作：
2.两个总体均值之差的假设检验：匹配样本
检验两个总体的均值
配对或匹配
重复测量 (前/后)
假定条件
两个总体都服从正态分布
如果不服从正态分布，可用正态分布来近似 (n1 30 , n2 30 )
数据形式
观察序号 样本1 样本2 差值
1 x 11 x 21 d1 = x 11 - x 21
2 x 12 x 22 d2 = x 12 - x 22
i x 1i x 2i di = x 1i - x 2i
n x 1n x 2n dn = x 1n- x 2n
统计量为：
【例6.12】某饮料公司研制一种新品种，为比较消费者对新旧两种饮料口感的认可度，该公司随机抽取8名消费者进行调查，根据对两种饮料的品尝结果进行打分(评分0-10分)，评分结果如下表所示：
7
8
9
4
5
8
7
7
新饮料
7
6
9
6
4
8
5
6
旧饮料
8
7
6
5
4
3
2
1
编号
试在5%的显著性水平下，检验消费者对两种饮料的评价是否存在显著差异？
解 依据题意建立假设：
双侧检验
根据样本数据计算得：
检验统计量为：
显著性水平5%，n=8，查t分布概率表得临界值：
t
0
2.3646
-2.3646
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
因为
所以不能拒绝原假设，即消费者对两种饮料的评价没有显著差异。
6.3.2 两个总体比例之差的假设检验
假定条件
两个总体是独立的
两个总体都服从二项分布
可以用正态分布来近似
假设形式
检验统计量：
假设
研究的问题
双侧检验
左侧检验
右侧检验
H0
P1- P 2 = 0
P1- P 2 0
P1- P 2 0
H1
P1- P 2 0
P1- P 2 <0
P1- P 2 >0
【例6.13】某制造商认为广告可使对产品了解和喜欢的人增加10%。广告前调查500人，其中20%的人喜欢该产品；广告后调查400人，其中28%的人喜欢该产品。在α=5%的显著性水平下，该制造商的说法是否可信？
解 根据给定资料可知：
广告后调查人数：
样本比例
广告后调查人数：
样本比例
依题这是一个左侧检验问题，建立假设：
由于总体比例P1和P2未知，用样本比例p1和p2代替。检验统计量为：
左侧检验
根据显著性水平α=5%，查正态分布概率表得临界值：
-1.645
z
0
拒绝域
.05
因为
所以不能拒绝原假设，即同意制造商的说法，也就是说广告后比广告前对该产品喜欢人数超过10%。
6.3.3 两个总体方差之比的假设检验
假定条件
两个总体都服从正态分布，且方差相等
两个独立的随机样本
假设形式
假设
研究的问题
双侧检验
左侧检验
右侧检验
H0
s12 = s22
s12 s22
s12 s22
H1
s12 s22
s12 < s22
s12 > s22
检验统计量：
0
不能拒绝H0
F
拒绝H0
a/2
a/2
拒绝 H0
【例6.14】某公司准备购进一批电子产品，有两个供货商可以选择，两个供货商的产品价格和平均使用寿命很接近，现主要考虑两种产品的稳定性，即方差的大小。为此公司管理人员对两个供货商的产品进行了随机抽检，得数据如下表所示：
484
517
498
546
489
462
429
439
440
396
455
507
536
581
468
供货商2
532
609
489
551
623
586
380
611
480
483
524
517
606
528
537
496
530
522
460
550
供货商1
试在α=5%的显著性水平下，检验两个供货商的电子产品使用寿命是否有显著差异？
解：依题建立假设
双侧检验
根据样本资料计算得：
检验统计量为：
根据显著性水平α=5%，n1=20，n2=15，查F分布概率表得临界值：
0
F
0.3495
.025
拒绝 H0
拒绝 H0
.025
2.861
因为
所以不能拒绝原假设，即不能认为这两个供货商所生产电子产品的使用寿命的方差有显著差异。
两个正态总体参数的检验
两个正态总体参数的检验
z 检验
t 检验
均值之差
比例之差
方差比
方差未知
小样本
z 检验
F 检验
方差已知
大样本
z 检验
本章小结
1.假设检验的基本问题
2.单个总体参数的假设检验
3.两个总体参数的假设检验

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