资源简介

2024上海春考数学试卷
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.的定义域_______.
2.直线 的倾斜角_______.
3.已知,则_______.
4. 展开式中 的系数为______.
5.三角形ABC中，,则
6.已知的最小值为_______.
7.数列的取值范围为_______.
8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.
9.已知,求的的取值范围_______.
10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______.
11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到0.01)
12.,任意,满足,求有序数列有_____对.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13.,下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A.事件与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立
C.事件与事件BUC互斥 D.事件与事件相互独立
16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数.
现有,当时,与均为延展函数,则以下结论( )
(1)存在与有无穷个交点
(2)存在与有无穷个交点
A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立.
三、解答题（本大题共5题，共分）
17.已知
(1)设,求解:的值域;
(2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.
18.如图,、、为圆锥三条母线,.
(1)证明:；
(2)若圆锥侧面积为为底面直径,,
求二面角的大小.
水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。
(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;
(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;
(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.
20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点。
(1)若点的横坐标为2,求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围
(3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
21.记
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.2024上海春考数学试卷解析
一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)
1.的定义域_______.
【考点】函数定义域
【答案】
2.直线 的倾斜角_______.
【考点】直线的倾斜角
【答案】
【解析】
3.已知,则_______.
【考点】夏数
【答案】
4. 展开式中 的系数为______.
【考点】二项式展开
【答案】15
【解析】
5.三角形ABC中，,则
【考点】解三角形
【答案】
【解析】在三角形中
由正弦定理,解得
6.已知的最小值为_______.
【考点】基本不等式
【答案】12
【解析】由当且仅当,
即或时取最小值12.
7.数列的取值范围为_______.
【考点】等差数列
【答案】
【解析】由,知数列为等差数列..故的取值范围为.
8. 三角形三边长为,则以边长为6的两个顶点为焦点,过另外一个顶点的双曲线的离心率为______.
【考点】双曲线的定义、离心率
【答案】3
【解析】由双曲线的定义,
9.已知,求的的取值范围_______.
【考点】分段函数运算
【答案】
【解析】根据题意知
所以当时,,解得
同理当时,,解得
综上所述:
10.已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且,求异面直线与的夹角_______.
【考点】立体几何线线角
【答案】
【解析】
11.正方形草地边长到距离为到距离为0.4,有个圆形通道经过,且经过上一点,求圆形通道的周长_______.(精确到0.01)
【考点】解析几何、数学建模
【答案】2.73
【解析】以为原点建系,易知,不妨设中点为直线EF中垂线所在直线方程为,化简得
所以圆心为,半径为,且经过点
即
化简得
12.,任意,满足,求有序数列有_____对.
【考点】数列
【答案】48
【解析】以题易知,
满足,
不妨设由单调性则必有
(1),解得
(2),解得
所以2种.
综上共有对
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)
13.,下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
【考点】不等式的性质
【答案】B
【解析】对于,若,则,选项不成立,故A错误;
对于C、D,若,则选项不成立,故C、D错误;故答案选B.
14.空间中有两个不同的平面和两条不同的直线,则下列说法中正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
【考点】立体儿何
【答案】A
【解析】对于,若,则或,又,所以,故A正确;
对于,若,则或,由,则与斜交、垂直、平行均有可能,故B错误;
对于,若,则或,由,则与相交、平行、异面均有可能,故错误;
对于,若,则或,又,则或,故错误.故答案选A.
15.有四种礼盒,前三种里面分别仅装有中国结、记本本、笔袋,第四个礼盒里面三种礼品都有,现从中任选一个盒子,设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（ ）
A.事件与事件B互斥 B.事件A与事件B相互独立
C.事件与事件BUC互斥 D.事件与事件相互独立
【考点】事件的关系
【答案】B
【解析】对于A,事件A和事件B可以同时发生,即第四个礼盒中既有中国结,又有记事本,所以A与B互斥,故A错误;
对于,符合,B正确;
对于,事件与事件可以同时发生,所以错误;
对于,而,所以与不独立,故错误。
故答案选.
16.现定义如下:当时,若,则称为延展函数.
现有,当时,与均为延展函数,则以下结论( )
(1)存在与有无穷个交点
(2)存在与有无穷个交点
A.(1)(2)都成立 B.(1)(2)都不成立 C.(1)成立(2)不成立 D.(1)不成立(2)成立.
【考点】图像与导数
【答案】D
【解析】根据题目所给条件,画出与图像即可,
因为,所以(1)错;当!时,存在使得直线可以与在区间的函数部分重合,因而有无穷个交点,所以(2)正确,故选D
三、解答题（本大题共5题，共分）
17.已知
(1)设,求解:的值域;
(2)的最小正周期为,若在上恰有3个零点,求的取值范围.
【考点】三角函数周期与零点
【答案】(1);
(2)
【解析】(1).因为,所以令
所以在上単调递增,在上单调递减
所以,因此
(2)由题知,所以.
当时,,即.
当时,,所以,即.因此,.
18.如图,、、为圆锥三条母线,.
(1)证明:；
(2)若圆锥侧面积为为底面直径,,
求二面角的大小.
【考点】圆锥体中的线面关系
【答案】(1)证明见解析 (2)
【解析】(1)取中点,连接、,
因为,所以,
又因为面面,
所以面,因为面,所以.
(2)如图建立空间直角坐标系
因为圆锥侧面积为为底面直径,,
所以底面半径为1,母线长为,所以,
则可得,
故,
设为面的法向量,则,令,则,所以.
设为面的法向量,
则,
令,则,所以.
则,
设二面角为,所以二面角的大小为.
19.水果分为一级果和二级果,共136箱,其中一级果102箱,二级果34箱。
(1)随机挑选两箱水果,求恰好一级果和二级果各一箱的概率;
(2)进行分层抽样,共抽8箱水果,求一级果和二级果各几箱;
(3)抽取若干箱水果,其中一级果共120个,单果质量平均数为303.45克,方差为603.46;二级果48个,单果质量平均数为240.41克,方差为648.21;求168个水果的方差和平均数,并预估果园中单果的质量.
【考点】概率、统计
【答案】(1); (2)一级果抽取6箱,二级果抽取2箱；
（3)平均数:285.44,方差:1426.46,预估平均287.69
【解析】
(1)古典概型:设事件为恰好选到一级果和二级果各一箱,
.
(2)一级果箱数:二级果箱数,因此一级果抽取6箱,二级果抽取2箱.
(3)设一级果平均质量为,二级果质量为,总体样本平均质量为
平均值:
方差:
预估:平均质量
20.在平面直角坐标系中,已知点为椭圆上一点,、分别为椭圆的左、右焦点。
(1)若点的横坐标为2,求的长;
(2)设的上、下顶点分别为、,记的面积为的面积为,若,求的取值范围
(3)若点在轴上方,设直线与交于点,与轴交于点延长线与交于点,是否存在轴上方的点,使得成立 若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】解析几何
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)设,因为点为椭圆上一点,则,得。
又,所以
(2)设,则
因为,即,即,
又,所以,得
所以,所以的范围是
(3)设,由图像对称性,得、关于轴对称,所以,又,所以
,
所以;
同理
因为,所以
所以,或(无解)
设直线,与椭圆联立得,
则得,得,
由,得，所以
21.记
(1)若,求和;
(2)若,求证:对于任意,都有,且存在,使得.
(3)已知定义在上有最小值,求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数,均有”.
【考点】导数
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得:
；
(2)证明:由題意知，
记,有或2
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
现对分类讨论:
(1)当,有为严格增函数,因为,
所以此时符合条件;
(2)当时,先增后减,
因为(取等号,所以,
则此时也符合条件；
(3)当时,,在严格增,在严格减,在严格增,,
因为,当时,,则
则此时成立;
综上可知,对于任意,都有,且存在,使得.
(3)证明:
(1)必要性:若为偶函数,
则
当,因为故;
(2)充分性：若对于任意正实数，均有,
其中
因为有最小值，不妨设,
由于任意，令则最小元素为
中最小元素为
又对任意成立
若,则对任意成立是偶函数
若此后取
综上,任意,即是偶函数
【参考证法2】
(3)证明:记
则是在上的值域,是在上的值域。
(1)必要性
若是偶函数,则,从而是偶函数,
显然在与的值域相同,即;
(2)充分性
设,不妨设,则在上的最小值为
当,则也在内,所以在上的最小值为,
因为,所以;
当,则,时,,其中,
即在的最小值为,故
因为即,且,
所以,则有
从而,故
所以对任意正实数成立,是偶函数;
综上,“是偶函数”的充要条件是“对任意正实数,都有,证毕。

展开更多......

收起↑