资源简介

考点19 三角函数的概念及变换
【考纲要求】
①了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
②理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
③理解任意角的三角函数的概念，记住三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
④掌握同角三角函数两个基本关系式、诱导公式，会运用它们进行运算、化简
⑤会根据已知三角函数值求角(0～2π内特殊角)
⑥掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，会用它们进行运算、化简
【考向预测】
1．三角函数定义的理解，三角函数值的符号判断．
2．同角三角函数的关系与诱导公式用于化简或求值．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．任意角的三角函数
(1)设角α为任意角，P(x，y)是角α终边上除顶点外的任一点，设点P与原点的距离为r，则角α的三个三角函数的定义如下：
sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)任意角α的三角函数在各象限的符号，见下表：
α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα ＋ ＋ － －
cosα ＋ － － ＋
tanα ＋ － ＋ －
(3)特殊角的三角函数值，见下表：
α 0 π
sinα 0 1 0
cosα 1 0 1
tanα 0 1 不存在 0
2．扇形的弧长公式，面积公式：S＝r＝.
3．同角三角函数的两个基本关系式为_＋＝1_、____.
4．含有同角三角函数式求值与化简的常用方法
(1)化切为弦：tanα＝__；
(2)sinα·cosα与sinα±cosα之间的联系：＝__1±2sinαcosα__.
5．诱导公式
sin(2kπ＋α)＝____，cos(2kπ＋α)＝___，tan(2kπ＋α)＝__tanα_.
sin(－α)＝__，cos(－α)＝___，tan(－α)＝__tanα_.
sin(π＋α)＝__，cos(π＋α)＝__，tan(π＋α)＝_tanα__.
sin(π－α)＝___，cos(π－α)＝__，tan(π－α)＝__tanα_.
sin＝___，cos＝___.sin＝____，cos＝__.
6．两角和与差的三角函数
①sin(α＋β)＝__sinαcosβ＋cosαsinβ_，②sin(α－β)＝_sinαcosβ－cosαsinβ_，
③cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ_，④cos(α－β)＝_cosαcosβ＋sinαsinβ_，
⑤tan(α＋β)＝__，⑥tan(α－β)＝__.
7．二倍角公式
sin 2α＝_2sin αcos α_；
cos 2α＝___＝_2－1_＝_1－2_；
tan 2α＝__.
8．变形公式
cos 2α＝1－2 ＝__，＝__；
cos 2α＝2－1 ＝__，＝__.
【考点分类剖析】
考点一三角函数的基本概念
【例1】2023°是(　C　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【思路点拨】本题考查的是终边相同的角，2023°＝223°＋5×360°.
【举一反三1】下列各角中，与角的终边相同的角是(　D　)
B． C． D．
【提示】与角α终边相同的角满足β＝α＋2kπ(k∈Z).
【例2】如果角β的终边经过点P(－3，－4)，则sinβ＋cosβ＋tanβ的值为(　B　)
A． B．－ C． D．－
【思路点拨】　本题考查的是三角函数的定义，应明确题中的x，y，r. ∵x＝－3，y＝－4，r＝＝5，
∴∴sinβ＋cosβ＋tanβ＝
【变式训练2】　设a<0，若点P(－3a，4a)在角α的终边上，则sinα＋2cosα＝________.
【提示】本题考查三角函数的定义，根据题意可得r＝－5a，进而可得sinα，cosα的值，从而求得结果．
【例3】已知角α的终边在函数y＝2x(x≤0)的图像上，求cosα和tanα的值．
【思路点拨】根据三角函数的定义，可在角α的终边上取点．由于x≤0，可取点P(－1，－2)，根据三角函数的定义即可求．
【解】∵终边在函数y＝2x(x≤0)的图像上，
∴取点P(－1，－2)，则r＝，
∴
【变式训练3】已知角α的终边在直线y＝－x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【提示】角α的终边落在某直线上，一般要分类讨论，可通过终边所在象限或横坐标的正负进行讨论取点．
【解】∵角α的终边在直线y＝－x上，∴角α的终边可以在第二象限也可以在第四象限．
若α是第二象限角，取点(－1，)，则r＝2，
若α是第四象限角，取点(1，－)，则r＝2，
考点二同角的三角函数关系式
【例4】已知α∈ ，且cosα＝，求sinα和tanα的值.
【思路点拨】本题考查同角三角函数的基本关系式，同时要注意角α的象限，并明确sinα，tanα的符号.【解】∵cosα＝，∴＝，而α∈
∴sinα<0，∴sinα＝，而.
【举一反三4】已知sinα＝，且α为钝角，求cosα和tanα的值.
【提示】用同角三角函数基本关系式解题时，要注意角α的终边所在象限．
【解】∵α是钝角，
【例5】已知tanα＝3，求：
(1) 的值； (2)＋sinαcosα－3的值．
【思路点拨】本题解法有多种．解法一：由得sinα＝tanα·cosα，代入原式化简；解法二：分子与分母同时除以cosα(或)可得；解法三：先利用同角三角函数的两个基本关系式得到方程组求得sinα和cosα的值，再代入．
【解】(1)原式
(2)原式
【举一反三5】已知tanα＝3，求：
(1)的值； (2)－2sinαcosα＋1的值．
【提示】已知tanα求cosα和sinα组成的齐次式是常见题型，会用“sinα＝cosα·tanα”或“分子、分母同时除以cosα或”等方法求关于tanα的代数式．
【解】(1)原式
(2)原式
【例6】已知sinα＋cosα＝，且α∈，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα－cosα的值．
【思路点拨】本题考查＝1＋2sinαcosα；＝1－2sinαcosα，同时要注意三角函数的符号．
【解】(1)∵sinα＋cosα＝，∴＝，即1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝
(2)由(1)得＝1－2sinαcosα＝∵α∈，∴sinα>0，cosα<0，则sinα－cosα>0，
∴sinα－cosα＝
【举一反三6】已知sinα－cosα＝，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα＋cosα的值．
【提示】根据“＋＝1”可建立“sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα”三者之间的关系.
【解】(1)∵sinα－cosα＝，∴＝1－2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝
(2)由(1)得＝1＋2sinαcosα＝，∴sinα＋cosα＝.
考点三诱导公式
【例7】化简：
【思路点拨】本题考查诱导公式运用，要注意书写规范．
【解】原式
【举一反三7】化简：
【提示】利用诱导公式直接化简，可通过“切化弦、通分”进行进一步整理．
【解】原式
【例8】已知sin(π＋θ)＝，且 ≤θ≤π，求cos(π－θ)的值.
【思路点拨】本题考查诱导公式和同角三角函数的平方关系，要注意象限．
【解】∵sin(π＋θ)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝.
∵θ∈，∴cosθ<0，∴cosθ＝－，∴cos(π－θ)＝－cosθ＝.
【举一反三8】已知sin(θ－π)＝，则cosθ＝ .
【提示】通过象限判断三角函数值的符号，反之可通过三角函数值的正负来判断角的范围．
【解】 ∵sin(θ－π)＝－sinθ＝－，∴sinθ＝，∴cosθ
【例9】已知sinα＝，且α∈(0，2π)，则α＝__
【思路点拨】考查特殊三角函数值及诱导公式．
∵sin，而sin(π－α)＝sinα，∴α＝
【举一反三9】已知cosα＝，且α∈(－π，0)，则α＝____；
【提示】∵cos，而cos(－α)＝cosα，∴α＝
考点四两角和与差的三角函数
【例10】求值：(1)sin15°； (2)tan105°.
【思路点拨】“15°＝60°－45°，105°＝60°＋45°”，利用两角和与差的正弦及正切公式进行计算．
【解】(1)sin15°＝sin(60°－45°)＝sin60°cos45°－cos60°sin45°
(2)tan105°＝tan(60°＋45°)＝
【举一反三10】求值：(1)cos75°； (2)tan15°.
【提示】利用两角和与差的正弦、余弦、正切，会计算sin15°，sin75°，cos15°，cos75°，tan15°，tan75°，并且能熟记这些值．
【解】(1)原式＝cos(45°＋30°)＝cos45°cos30°－sin45°sin30°
【例11】已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α＋β的值．
【思路点拨】已知三角函数值求角，一般分两步：①“恰当”地根据角的范围选择一个三角函数值；②根据角的范围与三角函数值确定该角的值．
【解】∵α，β均为锐角，∴cosα＝，cosβ＝∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝
【变式训练11】　已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α－β的值．
【提示】分析角的范围并合理选择一个三角函数值．
【解】∵α和β均是锐角，
考点五二倍角公式
【例12】已知sin α＝，且α为锐角，求sin 2α＋cos 2α的值．
【思路点拨】本题考查同角三角函数的平方关系及二倍角公式．
【解】∵α为锐角，∴cos α＝∴sin2α＝2sin αcos α＝2×
cos 2α＝＝∴sin2α＋cos 2α＝
【变式训练12】已知角α的终边经过点(3，4)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【解】∵x＝3，y＝4，∴r＝5，
∴sin α＝,cos α＝,∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
cos 2α＝2－1＝2×
∴tan2α＝
【例13】求值：(1)＝________；
(2)15°－15°＝______.
【思路点拨】二倍角公式“sin2α＝2sin αcos α，cos 2α＝”的逆用．
(1)
(2)sin215°－cos215°＝－cos30°＝
【变式训练13】求值：(1) ＝________；　　　　　　　
(2) ＝____1____.
【提示】 (1)原式＝
(2)原式＝＝tan45°＝1.
【例14】已知 ，且α∈，求sin 4α的值．
【思路点拨】先用两角和与差的正弦公式或观察＋α与－α两角之间的关系．
【解】原式＝∴cos 2α＝ .
∵α∈，∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－，
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－
【变式训练14】已知cos θ＝－，且θ∈，求cos和tan的值．
【解】考点19 三角函数的概念及变换
【考纲要求】
①了解正角、负角、零角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
②理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
③理解任意角的三角函数的概念，记住三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
④掌握同角三角函数两个基本关系式、诱导公式，会运用它们进行运算、化简
⑤会根据已知三角函数值求角(0～2π内特殊角)
⑥掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切公式，会用它们进行运算、化简
【考向预测】
1．三角函数定义的理解，三角函数值的符号判断．
2．同角三角函数的关系与诱导公式用于化简或求值．
【本节内容结构】
【知识清单】
1．任意角的三角函数
(1)设角α为任意角，P(x，y)是角α终边上除顶点外的任一点，设点P与原点的距离为r，则角α的三个三角函数的定义如下：
sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
(2)任意角α的三角函数在各象限的符号，见下表：
α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sinα
cosα
tanα
(3)特殊角的三角函数值，见下表：
α 0 π
sinα
cosα
tanα
2．扇形的弧长公式，面积公式：S＝r＝.
3．同角三角函数的两个基本关系式为_______________、__________________.
4．含有同角三角函数式求值与化简的常用方法
(1)化切为弦：tanα＝________；
(2)sinα·cosα与sinα±cosα之间的联系：＝________________.
5．诱导公式
sin(2kπ＋α)＝________，cos(2kπ＋α)＝________，tan(2kπ＋α)＝________.
sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
sin＝________，cos＝________.sin＝________，cos＝________.
6．两角和与差的三角函数
①sin(α＋β)＝____________________，②sin(α－β)＝____________________，
③cos(α＋β)＝____________________，④cos(α－β)＝____________________，
⑤tan(α＋β)＝____________，⑥tan(α－β)＝____________.
7．二倍角公式
sin 2α＝____________；
cos 2α＝____________＝____________＝____________；
tan 2α＝____________.
8．变形公式
cos 2α＝1－2 ＝____________，＝____________；
cos 2α＝2－1 ＝____________，＝____________.
【考点分类剖析】
考点一三角函数的基本概念
【例1】2023°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【举一反三1】下列各角中，与角的终边相同的角是(　　)
B． C． D．
【例2】如果角β的终边经过点P(－3，－4)，则sinβ＋cosβ＋tanβ的值为(　　)
A． B．－ C． D．－
【变式训练2】　设a<0，若点P(－3a，4a)在角α的终边上，则sinα＋2cosα＝________.
【例3】已知角α的终边在函数y＝2x(x≤0)的图像上，求cosα和tanα的值．
【变式训练3】已知角α的终边在直线y＝－x上，求sinα，cosα，tanα的值．
考点二同角的三角函数关系式
【例4】已知α∈ ，且cosα＝，求sinα和tanα的值.
【举一反三4】已知sinα＝，且α为钝角，求cosα和tanα的值.
【例5】已知tanα＝3，求：
(1) 的值； (2)＋sinαcosα－3的值．
【举一反三5】已知tanα＝3，求：
(1)的值； (2)－2sinαcosα＋1的值．
【例6】已知sinα＋cosα＝，且α∈，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα－cosα的值．
【举一反三6】已知sinα－cosα＝，求：
(1)sinαcosα的值； (2)sinα＋cosα的值．
考点三诱导公式
【例7】化简：
【举一反三7】化简：
【例8】已知sin(π＋θ)＝，且 ≤θ≤π，求cos(π－θ)的值.
【举一反三8】已知sin(θ－π)＝，则cosθ＝ .
【例9】已知sinα＝，且α∈(0，2π)，则α＝________.
【举一反三9】已知cosα＝，且α∈(－π，0)，则α＝________；
考点四两角和与差的三角函数
【例10】求值：(1)sin15°； (2)tan105°.
【举一反三10】求值：(1)cos75°； (2)tan15°.
【例11】已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α＋β的值．
【变式训练11】　已知sinα＝，sinβ＝，且α和β均为锐角，求α－β的值．
考点五二倍角公式
【例12】已知sin α＝，且α为锐角，求sin 2α＋cos 2α的值．
【变式训练12】已知角α的终边经过点(3，4)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．
【例13】求值：(1)＝________；
(2)15°－15°＝________.
【变式训练13】求值：(1) ＝________；　　　　　　　
(2) ＝________.
【例14】已知 ，且α∈，求sin 4α的值．
【变式训练14】已知cos θ＝－，且θ∈，求cos和tan的值．

展开更多......

收起↑